等比数列知识点总结

等比数列知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

等比数列

知识梳理：

1、等比数列的定义：

()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=

?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=?

4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na =

（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --=

=-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q

=-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠?或

为常数，为等比数列

（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列

（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列

6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：

（1）当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；

②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q

--==-=-?=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。

（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当1m =时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n

k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列

（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列

（7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列

（8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列

（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列

②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*2()n n N ∈时，1S S q =奇偶