微积分之函数、极限与连续
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。
它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。
本文将对进行详细的阐述和探讨。
一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。
它是微积分学中最基本的概念之一。
如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。
如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。
如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。
如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。
设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。
一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。
因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。
三、的关系是密不可分的概念。
在进行微积分运算时，是不可缺少的。
一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。
同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。
可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。
因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。
反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。
四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。
以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。
例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。
而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。
数学公式知识：微积分中的极限与连续性
数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。
其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。
本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。
一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。
在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。
数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。
例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。
当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。
当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。
二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。
2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。
3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。
4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。
三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。
也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。
例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。
在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。
四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。
2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。
3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。
四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这一数学领域中，函数极限与连续性是两个至关重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基石，也是解决各种实际问题的有力工具。
让我们先从函数极限开始说起。
简单来讲，函数极限描述的是当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
想象一下，我们有一个函数 f(x)，当 x 越来越接近某个特定的数 a 时，f(x) 会趋近于一个确定的值 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。
举个例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1)，当 x 趋近于 1 时，分母和分子都趋近于 0。
但是，如果我们直接约分，就会得到 f(x) ＝ 1。
所以，当 x 趋近于 1 时，这个函数的极限就是 1。
这是一个比较简单直观的例子，但在实际情况中，函数可能会复杂得多。
函数极限的存在与否以及具体的值，对于理解函数的性质有着重要的意义。
如果函数在某个点的极限存在，那么它在这个点附近的行为就会相对比较“规律”。
再来说说函数的连续性。
一个函数在某一点是连续的，意味着当自变量在这一点有微小的变化时，函数值也会有相应微小的变化，而不会出现突然的跳跃或者中断。
用更通俗的话来说，如果我们能够一笔不间断地画出函数在某一点及其附近的图像，那么这个函数在这一点就是连续的。
比如说，常见的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，y 都能随之平滑地变化，不会出现突然的断开或者跳跃。
那函数的极限和连续性之间有着怎样紧密的联系呢？实际上，如果一个函数在某一点是连续的，那么它在这一点的极限就等于这一点的函数值。
反之，如果函数在某一点的极限存在，并且等于这一点的函数值，那么这个函数在这一点就是连续的。
这种联系为我们研究函数的性质提供了极大的便利。
通过判断函数的极限是否存在以及是否等于函数值，我们可以迅速确定函数在某一点是否连续，进而了解函数在这一点附近的行为特征。
微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
x 1
x 1
左右极限存在不相等
所以 x =1为跳跃间断点
前页 后页 结束
3.无穷间断点
f(x)在点 x的0 左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 x 为0 f(x)的无穷间断点
例4y
1 x
x=0为无穷间断点
4.振荡间断点
当 x时x，0 函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
续函数。 因此,基本初等函数在其定义域内连续.
定理3设函数y = f(u)在点 处u 0连续,u= f (x)在点 处连x 0 续,
且 u0 ,则复(x合0)函数
在点yf处[连(x续)]. x 0
即： lx ix0m f[(x) ]f[(x0)]
因此,一切初等函数在其定义区间内连续. 前页 后页 结束
解 函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义
所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点
(Ⅰ)
x2 x
lim
x1
x (x2 1)
所以x = -1是函数的无穷间Fra bibliotek点(Ⅱ)
x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x11) 1 x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x1 1) 1
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这门学科中，函数极限与连续性是两个极为重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基础，也在解决各种实际问题中发挥着关键作用。
让我们先从函数极限说起。
想象一下，有一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个特定的值 a 时，函数 f(x) 的值会越来越接近一个确定的数 L ，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L 。
这里的“趋近”可以是从左边趋近，也可以是从右边趋近。
举个简单的例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1) ，当 x 趋近于1 时，分母和分子都趋近于 0 。
但是，如果我们直接把 x ＝ 1 代入函数，会得到 0/0 这种不确定的形式。
然而，当 x 非常接近但不等于 1 时，比如 10001 或者 09999 ，我们会发现函数的值非常接近 1 。
所以，我们就说这个函数在 x 趋近于 1 时的极限是 1 。
函数极限的定义是非常严谨和精确的。
用数学语言来表述，就是对于任意给定的一个很小的正数ε ，都存在一个正数δ ，使得当 0 ＜｜x a| ＜δ 时，｜f(x) L| ＜ε 成立。
这个定义虽然看起来有点复杂，但它的核心思想就是说，只要 x 与 a 足够接近（但不等于 a ），那么 f(x) 与 L 的差距就可以任意小。
了解了函数极限，接下来谈谈函数的连续性。
一个函数在某一点处连续，直观地说，就是当自变量在这一点处有一个很小的变化时，函数值也会有一个相应的很小的变化，而且函数在这一点没有“跳跃”或者“断裂”。
比如说，常见的一次函数 y ＝ x ＋ 1 ，在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，只要变化量很小，函数值 y 的变化也会很小，而且图像是一条连续不断的直线。
再看一个稍微复杂点的例子，函数 f(x) ＝｜x| 。
在 x ＝ 0 处，当 x从负数趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于 0 ；当 x 从正数趋近于 0 时，f(x)的值也趋近于 0 ，并且 f(0) ＝ 0 。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
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A． B． C． 且 D． 且 提示：关于 ，要求分母不能为0 ，即 ；关于 ，要求 ，即 。 的定义域为 且
6．函数 的定义域是（ ）．答案：D
A． B． C． D． 提示：关于 ，要求分母不能为0，即 ；关于 ，要求 ，即 。因此函数 的定义域是
7．设 ，则 （）答案：C
A．0B．1 C． D．
提示：当 时，称函数 在 连续。因为 ，因此当 3时，函数 ，在 处连续
12．函数 的间断点是（）答案：A
A． B． C． D．无间断点
提示：若 在 有下列三种情况之一，则 在 间断：①在 无定义；②在 极限不存在；③在 处有定义，且 存在，但 。题中，分母 ，因此在 和 处无定义
作业（一）————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
2．函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
3.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即； 关于，要求，即且； 因此函数的定义域是
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：因为 ，因此 是奇函数。
3．函数 的图形是关于（ ）对称．答案：D
A． B． 轴C． 轴D．坐标原点提示：因为 ，是奇函数，因此 的图形是关于坐标原点对称
4．下列函数中为奇函数是（无）．
A． B． C． D． 提示：A. ,即 是偶函数； B. 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； C． 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； D． ，既非奇函数，也非偶函数。 因此本题没有一个待选答案是奇函数
2．曲线 在 点的切线方程是．答案： 提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。若给定曲线上的一点 ，则通过该点的切线方程为 。题中 ，将 代入上式，得 ，因此通过点(0,1)切线方程为 ，即
3．曲线 在点 处的切线方程是． 答案： 提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。若给定曲线上的一点 ，则通过该点的切线方程为 。题中 ，将 代入上式，得 ，因此通过点(0,1)切线方程为 ，即
4． ．答案：
提示：依照复合函数求导法则计算。
5．若y=x(x– 1)(x– 2)(x– 3)，则 (0)=． 答案：
提示：依照有限多个函数的乘积的求导法则（见P45），
+
6．已知 ，则 =．答案：
提示：
7．已知 ，则 =． 答案：
提示： ，
8．若 ，则 ． 答案：
9．函数 的单调增加区间是． 答案：
A． B． C． D．
提示：注意 比 少1，因此
8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．答案：D
A． ， B． ，
C． ， D． 提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中，A定义域不同；B对应的规则不同；C定义域不同；D对应的规则相同，定义域相同
9．当 时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：C.
三、解答题（每小题7分，共56分）
⒈计算极限 ．
解
2．计算极限
解
3. 解
4．计算极限
解
5．计算极限 ．
解
6.计算极限 ．解
7．计算极限 解
8．计算极限 ．
解
作业（二）————导数、微分及应用
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．曲线 在 点的斜率是．答案：
提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。题中 ，将 代入上式，得
6．曲线 在 处切线的斜率是（ ）． 答案：C
A． B． C． D．
提示：若已知曲线方程 ，则它在任一点 处的斜率为 。 ，将 代入上式得
7．若 ，则 （ ）．答案：CA． B． C． D． 提示：
8．若 ，其中 是常数，则 （）．答案C
A． B． C． D． 提示： ，
9．下列结论中（ ）不正确． 答案：C A． 在 处连续，则一定在 处可微. B． 在 处不连续，则一定在 处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D．若 在[a，b]内恒有 ，则在[a，b]内函数是单调下降的.提示：极大值可能出现在：①驻点（驻点是 的点）；② 连续但导数不存在的点。
4.函数，则．答案：提示：因为，因此
5．函数，则．答案：提示：因为当是在区间，应选择进行计算，即
6．函数，则．答案：提示：因为，பைடு நூலகம்此
7．函数的间断点是．答案：
提示：若在有下列三种情况之一，则在间断：①在无定义；②在极限不存在；③在处有定义，且存在，但。题中在处无定义
8.．答案：1；提示：
9．若 ，则 ．答案：2提示：因为 ，因此
A． B． C． D．
提示：以0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当 时，A趋向∞；B的极限为1；C的极限为0；D趋向∞。
10．当 （）时，函数 ，在 处连续.答案：B
A．0B．1 C． D．
提示：当 时，称函数 在 连续。因 ，因此当 1时，函数 ，在 处连续
11．当 （）时，函数 在 处连续答案：D
10．若 ，则 ．答案：1.5；提示：因为 ，因此
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1．设函数 ，则该函数是（ ）．答案：B
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
提示：奇函数是指 ，关于坐标原点对称；偶函数是指 ，关于 轴对称。题中 ，因此函数 是偶函数。
2．设函数 ，则该函数是（ ）．答案：A
10．函数 在区间 内单调增加，则a应满足．答案： 提示；当 时，函数 单调增加。题中， ，因此函数 在区间 内单调增加，a应满足 。
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
1．函数 在区间 是（ ） 答案：D
A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增
提示： 当 时，函数 单调增加当 时，函数 单调减少。题中， ，令 ，得驻点 。当 时， ，函数单调减少；当 时， ，函数单调增加。因此函数 在区间 是先减后增。
2．满足方程 的点一定是函数 的（ ）答案：C.
A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点
提示：使 的点，成为函数 的驻点（P69定理3.2）
3．若 ，则 =（ ）． 答案：C
A.2B.1C.-1D. –2提示： ，
4．设 ，则 （ ）． 答案：B
A． B． C． D．
提示：
5．设 是可微函数，则 （）． 答案：DA． B． C． D． 提示：