椭圆二级结论大全

椭圆专题--史上最全椭圆二级结论大全

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1.122PF PF a +=

2.标准方程22

221x y a b += 3.11

1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.

9．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时

A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

10．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

11．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线

方程是00221x x y y a b

+=.

12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

?=-.

13．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.

14．若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.

15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111

(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.

16．若椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)

211A B a b

+=+

;(2) L =17．给定椭圆1C ：2

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22

2222

()a b b x a y ab a b

-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222

222(,)a b a b x y a b a b

---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'

P 点.

18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22

221x y a b

+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2

斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2

12211m b k k m a

+?=-

?-. 19．过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，

则直线BC 有定向且20

BC b x k a y =（常数）.

20．椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆

的焦点三角形的面积为122

tan 2

F PF S b γ?=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则tan tan 22

a c a c αβ

-=+.

22．椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，

00(,)M x y ).

23．若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当

11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

24．P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是2222

0222

()a b x a b k

-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切

线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ??=??

（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2

11sin e ?=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22

221x y a b

+=相交于,P Q ,则

AP BQ =.

30．在椭圆22

221x y a b

+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为

()222

2222221()cos sin x y m a b a b αα??=-++????,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=o .

31．设S 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，

00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =

-222(c a b =-,c

e a

=);当l S <Φ时，有

0max ()x =

0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b

+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C +≥.

33．椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2

中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+. 35．经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相

交于P 1和P 2，则2

1122||||P A P A b ?=.

36．已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN

的弦，则2

||2||AB a MN =.

38．MN 是经过椭圆2

b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则

22111

||||a MN OP a b

+=+. 39．设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条

直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2

a x m

=(或

b y m

=)上.

40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'

y k x =上,而

且2'

2b kk a

=-.

43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22

221x y a b

+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD

相交于P,且P 不在椭圆上,则22222

222

cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα?+=?+. 44．已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线

为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是

222x y a +=(()()

22222

222a y b x x c c y a y b x c ??+±??=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.

46．过椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交

x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21

b x a y -的直线L ，又设d

是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A

ab =.

48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22

22x y a b

λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、

D 四点，则│AB│=|CD│.

49．已知椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点

0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<.

50．设P 点是椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122

tan 2

PF F S b θ?=.

51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP

和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()2

90()

a n m a m MBN a m

b n a --∠=?=++o

. 52．L 是经过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是

离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.

53．L 是椭圆22221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，

H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab

PH c

=时取等号）.

54．L 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,

离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2

sin arc e α≤

（当且仅当||PH =号）.

55．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与

椭圆左焦点F 1连结起来，则2222

112

(2)||||a b b F A F B a

-≤?≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当

且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.

56．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)222

22|cos |

||s ab PA a c co αα

=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 2222

2cot PAB a b S b a

γ?=-. 57．设A 、B 是椭圆22

221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B

x 的横坐标2

A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B

引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=o

58．设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过

A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若

B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，

则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2

A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.

59．设'

,A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'

AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P

的轨迹是双曲线22

221x y a b -=.

60．过椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则

2222282()

||||ab a b AB CD a b a

+≤+≤+.

61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c

b -（

c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹

圆222

()x a y b ±+=.

62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c

b -（

c 为半焦距）的动点M 的轨迹

是姊妹圆22

2()()a b x y e e ±+=.

63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c

-（c 为半焦距）的动点的轨

迹是姊妹圆22

222()()a b x y e e

±+=（e 为离心率）.

64．已知P 是椭圆22221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，'

,A A 是它长轴的两个端点,且

AQ AP ⊥,''

AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a

+=.

65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为'

,A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121

b x a y -的直

线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于'

,M M ,则（1）''2

||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积

的最小值是2ab .

67．已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交

于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

68．OA 、OB 是椭圆

22()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2

2(,0)ab a b

+.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222

2222()()ab ab x y a b a b

-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆22

2()1x a y a b

-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222

2()()

(

,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是

22224222222222222

[()]

()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).

70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）2

12d d b =，且F 1、

F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相离，（3）

212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧?直线L 和椭圆相交.

71．AB 是椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、

D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22

2241(0)x y y a b

+=≠.

72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22

221x y a b

+=过定点00(,)

P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2

()

(||||)a b a y b x PA PB b -+?=.当弦

AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2

()

(||||)a b a y b x PA PB a -+?=.

73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所

在直线平行.

83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b y x a

=-的

平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222

||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.

90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =

及2:b

l y x a

=-的平行线，

分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b

+=>>.(2)若222

||||2OQ OR b +=，则P

的轨迹方程是22

221(0,0)x y a b a b +=>>.

91. 点P 为椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的

平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b

y x a

=-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：

122

ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b

y x a

=-于,Q R ，

记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，已知122

S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。

2.由定义即可得椭圆标准方程。

3.椭圆第二定义。

4. 如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

4图

5图

由两直线夹角公式12

tan 1k k k k θ-=

+得：

()()200

222222222222

00000001222222200100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

α++++++-======

++-++-?

()()200

222222222222

000000022222222

200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

β+--+---======+-----?-

,0,2παβαβ??

∈∴= ???

Q 同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的外角。

5.如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ?是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。则122

F A

OH a ==，同理可得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r

d r

e e

++=

==>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。 7图

8图

7.如图，两圆圆心距为122

2222

PF a PF PF d OM a a r -====-=-，故两圆内切。 8.如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11

F S FT a c ==+ 而1

12FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。 9.

()()()()22001210020022

,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b --+

=易知,设,则()()00

112200

:,:y y A P y x a A P y x a a x a x =

+=-+-

2222222222222

0002222222

22000000,11P P P ay a y a b a y x y a a a x y x P P x x x a

b x b x b x a b ??-=?∴-=-==∴-= ???则点的轨迹方程为 10. Q

000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上22

00221x y a b ∴+=，对22

221x y a b

+=求导得：

'22220x yy a b +=2'

020

b x y a y ∴=- ∴切线方程为()20

0020

b x y y x x a y -=--即22

000022221x x y y x y a b a b +=+=

11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：

01010202

22221,1x x y y x x y y a b a b

+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且

同时满足方程

00221x x y y a b +=，所以00212

21:P x y a P x y

+= 12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b +=+=则有作差得：

2222

1212

0x x y y a b --+= ()()()()121212122

x x x x y y y y a b -+-+?

+=()()2222

12012222212120AB

AB OM OM b x x b x y y b b k k k x x a y y a y a k a

+-?==-=-=-??=--+ 13.由12可得：()202000

b x x x a y y y ---=222222

00000a y y a y b x x b x ?-+-=

2000

b x x a y y b x a y ?+=+22

0000

2222x x y y x y a b a b

+=+?

14. .由12可得：2

200b x x y y y x a

-?-=-222222000a y a y y b x b x x ?-+-=

00b x a y b x x a y y ?+=+22002222x x y y

x y a b a b

++?=

15.设()()

cos ,sin ,cos ,sin P a t b t Q a t b t ，则''sin sin 1cos cos OP OQ

b t b t k k a t a t ?=?=-2'

2tan tan a t t b

∴?=- ()()()()

()()

()()222'222'22

122

222222222'22'12122'22

2222'222'222'22'222222'

cos cos sin sin 11cos sin cos sin 11tan tan 2tan tan tan tan 2tan cos cos cos cos tan tan a t t b t t r r r r r r a t b t a t b t t t a b a t t b t t b t t t t a b t a b t +++++==++????+++ ? ?+++++????==++()22'42222'422'tan tan tan tan tan t t a a b t t b t t +++

()()()()()2

2222'2222'2222222242222'22'211tan tan 2tan tan 2112tan tan 2tan tan a a b t t a b t t a a b b b a a b a a b t t t t b

????++++ ?+++??????==

=+++++

16.将直线AB 代入椭圆方程中得：(

)()2222

2222210A a B b

Aa x a B b +-+-=

(

)

222

41a B b

A a

B b ?=+-

，AB =

设()()

1122,,,A x y B x y 则2

1222222Aa x x A a B b +=+，()2221222221a B b x x A a B b -=+，()

222122222

1b A a y y A a B b -=+

OA OB ⊥Q

()2222222212122

211

0x x y y a b a b A B A B a b

∴+=?+=+?+=

2222

AB A a B b ==

17.()I 设椭圆内直角弦AB 的方程为：()y x m k n -=-即y kx m kn =+-。当斜率k 存在时，代入椭圆C 1方程中得：(

)()()2

222

22220a k b

a k m kn x a m kn

b ??++-+--=??

设()()1122,,,A x y B x y 得()122

2222a k m x x kn a k b +=+--，()2

2122222

a m kn

b a k b

x x ??--=??+

则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ?=--+--u u u r u u u r

()()()()2

222

1200120010k x x k n ky x mk x m x k x y n =+-++-+++-=???-?

()()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()2

222222

2220000222222222

2222222222222

22222222

2200202002222220

1111a m kn b a k m kn a k b a k b m kn a m k k n ky x m kn a b a k b a k b a k b m kn m kn k x y a k b a m kn a k m kn a k m kn a m kn a k k x y k x y k a y b ??---++-??

--++++--+--+-=??++++-++-=?????++++---++-+()()()()()()()()()()()()2200002222

2222222222

2222222000202220

21k b a k b b m kn m kn b a k m kn a x y y x x y k k b a b m kn a b m kn a k b x y ++++++++----=

?++----=+

()()()()()222222220000002222222222222

202222

0222220

a k

b a b a b kmn a b x y x y m a b a b ma k mb k na kn k n k x y x y b ?+++++++--+-+--+=

()()()2222222022222222222222

00220200022200020202x n x x x y y m a a b b na b a m y a b ma nb mn a b a b n x b a b a mb a b y y ??+-=-=????+?++???-??=++-=+=--??

+?? 即直线AB 过定点2222002

222,a b b a x y a b a b ??

-- ?++??

，此点在C 2上。当直线斜率不存在时，直线AB 也过C 2上的定点。

()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。k 存在时，代入椭圆方程中得：

()()()2

222222222000020a k b x a km y kx x a m y kx a b +-+++-=

设()()111222,,,P x y P x y 得()202222102a km y kx b x a x k +++=，()2

2222

0012222

a m y kx a

b a k b x x +-+= ()()()()

()()()()()()()()()()()()2

201021212122

0102120120000022222000022222

0000001211111211y y y y k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x b m kmx y k x m y m b m a m a m kmx y k x y mk m y x y x y m y mk ++---++?==---++??++-+++??==-??-+-++++?

k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0

则y =

()()()()()

()()222222222000020122222

22000111111b y y y a m x b x m b m a k k a m x m x m a x m ?-- -+?????====---- 必要性得证。

充分性：设P 1P 2过定点(),q p ，则P 1P 2：y kx p kq =+-。代入椭圆方程得：

()()()2

2222222220a k b x a k p kq x a p kq a b ++-+--=

设()()111222,,,P x y P x y 得()1222222a k p x x kq a k b +=+--，()2

1222a p kq a x b a b x k --+= 则()()()()

()()()()2

21020120120122

1020120120y y y y k x x k p kq y x x p kq y k k x x x x x x x x x x --+--++--?==---++

()()()()()

()()()

()()()()()()2

222222222

222222

22002

0022

2222

0002

2222200022211222k k p kq y p kq y x x b a p kq a b a k p kq a k b p kq y p kq y a p kq a b a k p k x m b m a a p kq kx p kq k x y kq a k b ---+--=

++??---+-+??==?-??---+---+-+-+-??

()()()()()()()()()()()()2

2220002222

00022222

00000000002

200000000022

000211

220010

200p kq y p kq y k x m m p kq kx p kq k x y k mx q mqx qx k mpx px mqy qy pq mpy py p my q x q mx mx q mqx qx mpx px mqy qy pq mpy py p my ---+-+?=--+-+-?+--++-+-+-+-=--=???????+--=?

?+-+-=???-+-=?()()()()()()

0000112203px m qy m pq p y my p ??++-=????????-+=???????

注意到m≠1，解（1）（3）得00,p my q mx =-=，代入（2）式，成立。

验证k 不存在的情况，也得到此结论。故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。 19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-

()()()00

2222222222000022201

y kx y kx a k b x a k y kx x a y kx b x y a

b =+-?????++-+--=???

+=?? ()222222222222200000

0000000222222222

2222222,B B a k kx y a k x a ky b x a k x a ky b x b y a k y b kx x x x B a k b a k b a k b a k b -??------?+=?=? ?++++??

222222222200000000

222222

2200224,4BC a k x a ky b x b y a k y b kx b kx b x C k a k b a k b a ky a y ??+--+∴== ?++??

同理 20.

由余

弦定理：

()()

()2

2121212

122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=?+=++

()22

121222442cos 1cos 1cos 2

b b a

c PF PF PF PF γγ

γ?=++?==+

1222

2122222sin cos

1sin 22sin tan 2cos 122cos 2

tan ,tan 22F PF P P P b b S PF PF b c y b b y x P c c γγ

γγγγγγγ?=====+???===± ? ???

21.由34：

()()

sin sin sin 1sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin a c e a c e βααββαγβαγβααβ+-+--+-===

+++++++

()()()()

22sin 1cos sin 1cos sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin

sin

cos sin c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 22222222222sin cos 2cos 2sin cos 2cos 222222βααββααββαβααββαβααβα

ββαβ

ααα

ββαααβ-+-+--=

+++++++?+?=

=?+?os sin 22cos cos sin cos sin cos 222222αββαβααβ?

? ?

????+ ?

sin

2tan tan 22cos cos 22

αββα=

= 22.由第二定义得：22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ????=+=+=-=- ? ?????

23.

()1221000211PF PF e

e PF e PF a ex e a ex x a d PF e e

-==?=??-=+?=+ (

](

))

0210,1210110,11,1e x a e e e e e e e e

-∈∴

≤?+-≥?≥≤-∈∴∈+Q 或 24.22222APF PF AF PA PF AF ?-≤≤+在中,有

112221122222,2PF PA PF PF AF a AF PF PA PF PF AF a AF A P F ∴+≤++=++≥+-=-都当且仅当、、三点共线时取等号。

25.设椭圆上的点()()1122,,,A x y B x y 关于:l y kx m =+对称，()

''00,M x y 。由12得：()2'2'2'220''00002'2'2'

220001,AB

a kx m

b x a y a m b m k k x y a y k b x b x

c k c

+=-=-?==?=-=- 又M Q 在椭圆内，()2222

2222422

42442

2221a b k m a m b m c k m c k c c k a b k

<+∴+=

0222222

a b c

x a b k a b k <

++ 26.由5即可得证。

27.设P ()cos ,sin a b ??，则切线cos sin :1l x y a b ??

+=，A 2cos ,1sin a b a c c ??????- ? ??

???

27图

30图

()22222cos cos cos cos ,sin ,10sin b b a ab ab FP FA a c b b b FP FA c c c c ??????????∴?=-?-=

-+-=∴⊥ ? ????

?u u u r u u u r

28.()()()2

222cos ,sin ,:sin

cos cos cos P a b b c a c a c a ??????=-+=-设由射影定理有

()()()22222222222

2cos sin cos 1sin 1

1sin sin cos 11sin c a a c e e e e ????????

?=+-?=+-?+=+=?=

29.设()()2222

122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b

+=+=>++=。联立1,C l 得：

()2

20A a B b x Aa Cx a C a b B +++-=，由韦达定理：222222A B Aa C

x x A a B b +=-+

同理

222

2P Q Aa C

x x A a B b +=-+。则

AP -

)

A P

B Q A P B Q x x x x x x --=---

而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P B Q x x x x ---=()

A B P Q x x x x +-+=0。所以AP=BQ 30.设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b θθ??，()00,M x y 为AB 中点。则

()()222

2222

cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 42

AB a b a b m θ?

θ?

θ?θ?+-+-=-+-=+=

2sin sin cos sin 2

a b m θ?

θ?

+-+-?+=

而00cos cos sin sin cos cos ,sin cos

222222

a a

b b x a y b θ?θ?θ?θ?θ?θ?

++-++-=

=== 设22sin ,sin 22

A B θ?θ?-+==，则()()()()222

22220011,1,1x a A B y b A B m a AB b A B =--=-=+-

解得2

0222

00222200221,y x y b A B x y a b a b ??=-+= ???+，代入m 2得：2222

2222200222222000022221a y b x x y b a m x y x y a b a

b a b ?? ?????=-++ ??? ? ?????++ ??? 令

tan bx ay α=-

得：

()2222

222

220000222

222222

tan cos sin tan tan 1111x y x y a b m a b a b a b ααααα???????????=-++=-++???? ? ? ?++?????????? 所以定长为2m （0＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()222

2222

221()cos sin x y m a b a b αα??=-++???

?。

其中tan bx ay

α=-

,当0y =时, 90α=o

。 31. 设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。则：

00cos cos cos cos cos 2222cos 2

x a a x a a αβαβαβαβ

αβ++--=

=?=

+ ()()222

22222222cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin

2222

AB a b a b αβαβαβαβαβαβ+-+-=-+-=+

222222222

2222222222

002

4sin sin cos 41cos cos 22222cos cos cos

cos 22224cos 24cos 2

a b a c l l a a c c x l e x c a a

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++-+?

?????=+=--= ? ??

????

???

-++-???-++= ????

?+?-++=≤ ?+ ?

二次函数

y=e 2x 2-mx+a 2与

24l y =在[]0,a 内的交点即为x 0的值。由图易知y=e 2x 2-mx+a 2与2

l y =的左交点

为x 0的值。当m 增大时，x 0减小。要使x 0最大，则要使m 最小。

cos 22

cos 2

x c cx αβ

αβ

++≥+，此时等号成立时2

0max

0max cos 12

x x c c

αβ

≤?≤ 31图

35图

当

此式成立时

2222

222

0max 0max 0max 0max 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e

=-+=?-+=?-=-?=-=-

当20max

22a l a l x c e e c e =-=-=时：()()()222

242=b l ce a l a ce a =-?=-=Φ通径当0max

x c ≤时：22=b l a ≥Φ∴当22=b l a

≥Φ时0max x c ≤，20max 2a l x c e =

-。当0max x c >时，当2

cos

αβ

+=，即AB 垂直于x 轴时x 0最大。

(

222

220max

0max

0max 22

444

14l b l a e x

a c x

b l x e b -

-+-=?==-?=- 考虑到对称性0min 0x =对任意情况均成立。

0min 0x ∴=

，22200max 0max

20max 2,=,cos 222,=cos 12x a l b x c l AB c e a c x b x c l AB x a αβαβ???+-≤≥Φ=? ?

???=?+><Φ⊥=??过焦点，，轴，

32.()()222222

2222222222200b x a y a b A a B b x a ACx a C B b Ax By C ?+=?+++-=?

++=? ()()4222222222222222440a A C a C B b A a B b A a B b C ?=--+≥?+≥

33. ()()222222000

b x x a y y a b

Ax By C ?-+-=??++=??

()()()22222222222222222222200000220

A a

B b x a A

C B b x a ABy x a C a B y B b x a B b a BCy ?++-++++-+=

()2

222222222000000002202A a B b A x B y C ABx y ACx BCy Ax By C +≥+++++=+?+?≥ 当000x y ==时，即为32：22222A a B b C +≥

34.由正弦定理得

1221

sin sin sin F F PF PF αβγ

==，所以

1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a αβγ====++。 35. 设()cos ,sin P a b ??，则P 点处的切线为

cos sin 1x y a b

+=，由此可得：()()121cos ,1cos sin sin P P b b

y y ????=+=-()22211222

1cos sin b P A P A b ??

-∴?== 36.（1）同15.

（2）由15,36（3）：222222

22222

2211||||||||||||||||4OPQ OP OQ OP OQ a b OP OQ OP OQ S a b

?++++=== ()()2

222222

444||||OPQ

b S a b a b a b OP OQ a b a b a b a b ?++??+=

≥?= ?++??

∴ （

3）

设

()()

cos ,sin ,cos ,sin P a b Q a b θθ??，

222

2cos cos sin sin 0tan tan a OP OQ a b b

θ?θ?θ?=-?=+=?u u u r u u u r

()cos sin 2sin cos sin cos cos sin OPQ

a b S OP OQ ab a b θθθ??θ??

?=?==-u u u r u u u r

2222222

4sin cos +sin cos 2sin cos sin cos OPQ

S a b θ??θθθ????

()()4

24222224

224

4242tan 2tan tan 2tan tan tan =tan 1tan 1tan 1tan a a b b a a b b θθ?θ?θθ?θθ

+++-=+++++