专项练习题集 定义法求轨迹方程
2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题
1、点p（x，y）是平面中的一个动点，满足：
10
=，则点p的轨迹方程是（）
A．
22
1 259
x y
+=
B．
22
1 259
x y
-=
C．
22
1 925
x y
+=
D．
22
1 925
x y
-=
分值：5
答案：A
【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】不能将看做点（x,y）和点（4,0）之间的距离。【解题思路】利用椭圆的定义即可得出．
【解析】∵点p （x ，y ）在运动过程中满足关系式：
10=，
∴点p 到两定点F （4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|P F′|=1o ＞8．
故点P 的轨迹是以点F ，F′为焦点，10为长轴长的椭圆．
易知，c=4,a=5,∴b=3,∴椭圆的方程为22
1259
x y +=，故选A ．
2、已知圆1c ：（x+3）2+y 2=4，圆2c （x ﹣3）2+y 2=100，动圆c 与圆1c 、圆
2c 都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆 【分值】5 【答案】A
【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。菁优网版权所有
【易错点】找不出1cc +2cc 为定值这一关系。
【解题思路】设动圆的半径为r ，由相切关系建立圆心距与r 的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题． 【解析】设动圆的半径为r ，动圆圆心为c （x ，y ），
因为动圆与圆1c ：（x+3）2+y 2=4及圆2c （x ﹣3）2+y 2=100都内切， 则1cc =r ﹣2，2cc =10﹣r ． ∴1cc +2cc =8＞12c c =6
因此动圆圆心为c 的轨迹是焦点为1c 、2c ，中心在（ 0，0）的椭圆． 故选A ．
3、设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2=8x B ．y 2=﹣8x
C ．y 2=8x 或y=0（x ＜0）
D ．y 2=8x 或y=0 【分值】5
【答案】C
【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．【易错点】忽视讨论x.
【解题思路】设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），则
∵动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切
2
x
=+
当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=8x
故选C．
4、若动圆过定点A（﹣2，0）且和定圆（x﹣2）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为（）
A．
2
21
3
y
x-=
B．
2
21(0)
3
y
x x
-=>
C．
2
21
3
y
x+=
D．
2
21(0)
3
y
x x
-=<
【分值】5
【答案】D
【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题．
【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。
【解题思路】设定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B，根据外切两圆的性质得点P到B、A两点的距离之差等于2，由此可得点P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，可得本题的答案．
【解析】设动圆的半径为R，
∵动圆圆心为P，点A在动圆上，∴|PA|=R
又∵定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B（2，0），半径为2，
定圆与动圆P相外切
∴圆心距|PB|=R+2
由此可得|PB|﹣|PA|=（R+2）﹣R=2（常数），
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支。
易知：双曲线焦点在x轴，1,2
a c
==，所以方程为
2
21(0)
3
y
x x
-=<
故选：D
5、已知圆C：（x+2）2+y2=36和点B（2，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（）
A．y2=6x
B．
22
1 95
x y
+=
C．
22
1 95
x y
-=
D．x2+y2=9【分值】5【答案】B
【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6＞|BC|，是解题的关键和难点．
【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6。
【解题思路】根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MC|=半径6，故有|MC|+|MB|=6＞|BC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．
解析：由圆的方程可知，圆心C（﹣2，0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y ），
∵BP的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MB|=|MP|．又|MP|+|MC|=半径6，∴|MC|+|MB|=6＞|BC|．依据椭圆的定义可得，
点M的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2a=6，c=2，∴b=，
故椭圆方程为
22
1 95
x y
+=，
故选B．
填空题
6、△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，A、C两点的坐标分别为（0,1），（0，-1），则点B的轨迹方程是．
【分值】3
【答案】
22
1
34
x y
+=．（0＜y＜2）
【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆的定义是解题的关键。
【易错点】忽视|BC|＞|AC|＞|BA|，而导致曲线为整条椭圆。
【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．利用椭圆的定义即可得出．
解：∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，
∴|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．
由题意的定义可知：点B的轨迹方程是以点A，C为焦点（c=1），a=2为半长轴长的椭圆的一部分，
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3．
∴点B的轨迹方程是
22
1 34
x y
+=．
∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|，∴0＜y＜2．
故答案为
22
1
34
x y
+=．（0＜y＜2）．
7、、如图，αβ⊥，AB αβ?=，,P C D αβ∈∈、，且AD⊥α，AD BC P ，AD=2，BC=4，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=5，则点P 在平面α内的轨
迹是 。
【分值】3
【答案】椭圆的一部分
【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．
【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．
【解题思路】根据题意，易得tan∠ADP=
，tan∠BCP=
，又由
tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，比较可得AP+BP ＞AB ，由椭圆的定义分析可得答案． 解析：由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=
，
四边形ABCD 是梯形，则AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，则tan∠BCP=，
又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，
可得AP+BP=10，
又由AB=6，则AP+BP＞AB，
故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分，
8、点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是．
【分值】3
【答案】x2=﹣12y
【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得y＜3。解题思路：设M（x，y），由两点间的距离公式建立关于x、y的方程，结合平面几何原理将方程化简整理，即可得到点M的轨迹方程．
【解析】设M（x，y），依题意得
∵点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣43=0的距离小1，
∴由两点间的距离公式，得41
=--，
y
根据平面几何原理，得y＜43y
=-
两边平方，得x2+（y+3）2=（3﹣y）2，整理得x2=﹣12y
即点M的轨迹方程是x2=﹣12y．
故答案为：x2=﹣12y．
综合题
9、已知F（﹣2，0），以F为圆心的圆，半径为r，点A（2，0）是一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q．在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（1）r=2时，点P在圆上运动；
【分值】6
【答案】
2
21
3
y
x-=，是双曲线；
【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．
【易错点】不能找出QA=QP及|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP这两个关系式。
【解题思路】由题意得QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q 到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q 的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线．
【解析】（1）当r=2时，
∵A为⊙F外一定点，P为⊙F上一动点
线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q，
则QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，
即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，
根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线，
故2a=2，2c=4，?a=1，c=2，．
故方程为：
2
21
3
y
x-=，是双曲线；
（2）r=8时，点P在圆上运动．【分值】6
【答案】
22
1
1612
x y
+=，是椭圆
【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．
【易错点】不能找出QA=QP，FP=FQ+QP这两个关系式。
【解题思路】由题意QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=8．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出曲线的方程．
【解析】（2）当r=8时，
由题意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，
所以FQ+QA=9．
故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，
其2a=8，2c=4，?a=4，c=2，b=
方程为：
22
1
1612
x y
+=，是椭圆．
10、已知圆221:2=15F x y x ++，点2F （1，0），P 是圆1F 上任意一点，线段
2PF 的垂直平分线和半径1PF 相交于Q
（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
【分值】5
【答案】
【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．
【易错点】找不出和为定值这一条件。
【解题思路】连结2
QF ，运用垂直平分线定理可得，
2
QP QF =，可得
12112+42
QF QF QF QP F F +==>=，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方
程；
解析：（1）将化为：（x+1）2+y2=16，
连结2
QF ，运用垂直平分线定理可得，
2
QP QF =，可得
12112+42
QF QF QF QP F F +==>=，故动点Q 的轨迹Γ是以12
F F 、为焦
点，长轴长为4的椭圆．设其方程为：22
2
21(0)x y a b a b +=>>
可知a=2，c=1，∴所以点Q 的轨迹Γ的方程为；
（2）若直线y=k （x ﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由． 【分值】7
【答案】存在T （4，0）
【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．
【易错点】不能将条件∠OTS=∠OTR 转化为k TS +k TR =0。
【解题思路】假设存在T （t ，0）满足∠OTS=∠OTR．设R （x 1，y 1），S （x 2，y 2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T （4，0）． 【解析】（2）假设存在T （t ，0）满足∠OTS=∠OTR．
设R （x 1，y 1），S （x 2，y 2）联立，
得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，
由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，
由∠OTS=∠OTR（显然TS ，TR 的斜率存在），
故k TS +k TR =0即②，
由R ，S 两点在直线y=k （x ﹣1）上， 故y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1）代入②得
，
即有2x 1x 2﹣（t+1）（x 1+x 2）+2t=0③，
将①代入③，即有：④，
要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T （4，0），使得当k 变化时，总有∠OTS=∠OTR．