微元法在高中物理中的妙用

“微元法”在高中物理中的妙用

“微元法”是历年高考考查的重点和热点之一，也是《考纲》中应用数学知识处理物理问题能力要求的一个重要方面，它不仅与新课程标准联系紧密，而且与大学知识相衔接，同时又是同学们在学习过程中比较头疼的问题，因此本文将做具体分析.

“微元法”就是把研究对象或物理过程分解成无限多个“微小部分”或“极短过程”， 然后加以研究的方法，其中每一个“微小部分”或“极短过程”就是一个“微元”.“微元法”是一种科学的抽象的思维方法，也是一种数学应用的技巧（其思想与数学中的极限和微积分的思想是一致的）.采用这种方法，往往可以将曲线转化为直线，将曲面转化为平面，将变量转化为常量，将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单，有助于培养同学们的微观观察力和宏观驾驭力.

中学物理中渗透“微元”思想有两个方面内容：一是变化率；二是无限小变化量.如：平均速度t s v ∆∆=，t

s ∆∆为位移变化率，当t ∆取无限小时，v 就理解为某一时刻的速度，即瞬时速度；加速度t v a ∆∆=，t

v ∆∆就是速度的变化率，当t ∆取无限小时，加速度a 就可理解为某一时刻加速度，类似的还有t ∆∆φ、t i ∆∆等. 至于无限小的变化量（微元），通常选取的有时间微元、长度微元、质量微元、面积微元、体积微元、角度微元、电荷微元等.另外，数学中的某些近似公式也体现了微元法的思想，如：x 很小时，有sinx ≈tanx ≈x,cosx ≈1,

（1+x ）a ≈1+ax 等，这类问题也叫小角度近似、微小量的计算，实质就是微元思想.

1.时间微元法：极短时间内物体的速度、加速度、电流、受力等物理量可视为定值. 例1 如图1所示，在光滑的水平面上，有垂直向下

的匀强磁场分布在宽度为s 的区域内，一个边长为L （L

＜s ）的闭合线圈以初速度0v 垂直磁场边界进入磁场，

通过磁场后速度变为1v .设线圈完全进入磁场中速度为

v ，则：

A.v ＞012v v +

B. v =012v v +

C. v ＜012

v v + D.不能确定 解析：设线圈进、出磁场安培力的冲量及通过回路的电量分别为21I I 、、'q q 、.取极

短时间1t 、2t 、3t …n t ，且∞→n ，（也可把整个时间等分成n 份），在任一极短时间i t 内，安培力i F 可视为定值，安培力的冲量为i i t F =i i Lt Bi ，则线圈进入磁场全过程安培力的冲量就可以用很多恒力冲量来表示，即：

BLq BLq BLq BLq BLq Lt Bi Lt Bi Lt Bi Lt Bi I n n n =++++=++++=......3213322111同理，线圈离开磁场全过程安培力的冲量为：'2BLq I =，

取向左为正方向，由动量定理得：

()01mv mv I ---=，

()mv mv I ---=12，

又'

q q ==R BL 2

，故21I I =. 解得：012

v v v +=. 【点评】（1）本题的物理思想是：把极短时间内变力转化为恒力，把求变力冲量转化为求恒力冲量.（2）平时同学们常常根据BLq Lt B I I ==-

计算安培力（变力）的冲量，这个结论就是按照微元法的思想推导出来的，因此该式中的电流是电流的平均值，不是有效值、也不是最大值，这一点要特别注意.（3）求变力冲量还有：平均值法，图象法，动量定理法，微元法、矢量运算法，对象转换法等.

2. 长度（或位移、路程）微元法：极短长度内变力转化为恒力，一般带电体看做点电荷，曲线运动看做直线运动，非匀强磁场看做匀强磁场，非匀速运动看做匀速运动等. 例2 一人从10m 深的井中提水，起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶

漏水，每升高1m 要漏去0.2kg 的水.求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功.（g 取10m/s 2,

绳子质量不计）

解析：把整个位移等分成n 份，且∞→n ，则每一份为n h ，即321h h h ===…=n h =n h ，在任一极小位移i h 内，拉力i F 可视为恒力，拉力做的功为i i h F ，则全过程拉力做的功就可以用很多恒力功来表示，即：

+++=332211h F h F h F W …+n n h F =n h F F F F n )

...(321++++，因为F 是等差数列，故W =h F F n 2

1+=10290110⨯+=1000J. 点评：（1）这道题的物理思想是：将极短长度内变力转化为恒力，将求变力功转化为恒力功的问题.（2）在高h 处，拉力gh mg F 2.0-=，即人的拉力随提起的高度呈线性变化关系，故可按平均值法和图象法求解.（3）求变力功还有：平均值法，图象法，动能定理法，功能关系法、微元法、Pt W =或V P W ∆=法等.

例3 如图2所示，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800 kV 的直线加速器加速，形成电流强度为1.0 mA 的细柱形质子流．假

设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的，在质

子束中与质子源相距l 和4l 的两处，各取一段极短的相

等长度的质子流，其中质子数分别为n 1和n 2，则n 1：n 2 等

于多少？

解析：质子在加速器中做匀加速运动，设加速度为

a ，由运动学公式得，质子在l 和4l 处的速度分别为：

v 1 = al 2，

v 2 = )4(2l a ，