磁场最小面积的求法

18.（09年福建卷）22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，

在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3

T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104

m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。（1）求上述粒子的比荷

q m

；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。答案（1）

q =4.9×710C/kg （或5.0×7

10C/kg ）；（2）s t 6109.7-?= ；（3）225.0m S = 解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运

动的直径，由几何关系得 2

r =

① 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

v m qvB 2

= ②

联立①②并代入数据得

q =4.9×710C/kg （或5.0×7

10C/kg ） ③ （2）设所加电场的场强大小为E 。如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qvB qE = ④ 代入数据得 C N E /70= ⑤

所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ 所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T ，所求时间为t ，则有

T t 0

36045=

⑥

T π2=

⑦ 联立①⑥⑦并代入数据得 s t 6

109.7-?= ⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是P P MM 11，该区域面积 2

2r S = ⑨

联立①⑨并代入数据得 2

25.0m S = 矩形如图丙中P P MM 11（虚线） 51、（徐州市2008届第3次质检）(15分)如图所示，第四象限内有互相正

交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为0.5×103V/m, B 1大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10-10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向成60°角从M 点沿直线运动，经P 点进入处于第一象限内的磁场B 2区域。一段时间后，微粒经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出，M 点的坐标为(0，-10),N 点的坐标为(0，30)．不计粒子重力，g 取10m/s 2．

(1)请分析判断匀强电场E 的方向并求微粒运动速度的v 大小； (2)匀强磁场B

2的大小为多大？； (3) B 2磁场区域的最小面积为多少？解：（1）带正电微粒在第四象限作匀速直线运动

qE qvB =1

s m B E

v /1031

E 的方向垂直于MP 与y 轴负方向成300角（2）微粒在第一象限运动轨迹如图示 OP=OMtan600=10/3(m)

由几何关系 0

0030

cos 30cos 30cos 2MN OP

MN MN r -= 解得 30

r （m ） r

m v qvB 2

B 2=

S min =)30sin (30cos 200r r r -?=

150

3(m 2

) 36、（淮安、连云港、宿迁、徐州四市2008第2次调研）(14分)如图所示的直角坐标系中，在直线x =－2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （－2l 0，－l 0）到C （－2l 0，0）区域内，连续分布着电量为＋q 、质量为m 的粒子。从某时刻起由A 点到C 点间的粒子，依次连续以相同的速度v 0沿x 轴正方向射入电场。若从A 点射入的粒子，恰好从y 轴上的A ′（0，l 0）沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。 ⑴求匀强电场的电场强度E ；

⑵求在AC 间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x 轴正方向运动？

⑶若以直线x =2l 0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使沿x 轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？

16．（14分）

⑴ 从A 点射出的粒子，由A 到A ′的运动时间为T ，根据运动轨迹和对称性可得 x 轴方向 002l v T = (1分) y 轴方向 2)2

(2122

0?=T m qE l (1分) 得：0

2mv E ql =

（2分） ⑵ 设到C 点距离为△y 处射出的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，粒子第一次达x 轴用时△t ，水平位移为△x ，则 0x v t ?=? 21()2qE

y t m

? （1分）若满足022l n x =??，则从电场射出时的速度方向也将沿x 轴正方向（2分）解之得：200220111

()2l qE y l n m v n

= （2分）

即AC 间y 坐标为02

y l n =-

（n = 1，2，3，……）（1分） ⑶ 当n =1时，粒子射出的坐标为10y l = 当n =2时，粒子射出的坐标为2014

y l =-

当n ≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y 1到y 2之间（如图）y 1到y 2之间的距离为 L = y 1－y 2=054l 则磁场的最小半径为 0528

L R == （2分）

若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），(轨迹圆与磁场圆

相交，四边形PO 1QO 2为棱形) 由2

00mv qv B R = 得：0

85mv B ql = （2分）

23.（09年海南物理）16．（10分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形。质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。令圆弧 AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力 0f e v B

= 应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧 AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。

依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有 2

v f m =

联立①②式得0

mv B ea

（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。因而，圆弧 AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02

θ≤<

）的情形。该电子的运动轨迹qpA 如图所示。

图中，圆 AP 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边，由③式知，圆弧 AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为

sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④

⑤

这意味着，在范围02

θ≤≤

内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 AFC ，它是电子做直

线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和 AFC 所围成的，其面积为 2

221

122()4

S a a a ππ-=-

= 28．浙江省金华一中2010届高三12月联考如图甲所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m 、电荷量q （0>q ）和初速为0v 的带电粒子。已知重力加速度大小为g 。

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射

这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x 轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

（2）调节坐标原点。处的带电微粒发射装置，使其在xoy

平面内不断地以相同速率v 0沿不同方向将这种带电

微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的最小面积。

解：（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直

径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。设电场强度大小为E ，

由平衡条件得：

qE mg =

1分

∴q

m g

E =

1分

电场方向沿y 轴正方向

带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R 。设匀强磁场的磁感应强度大小为B 。由牛顿第二定律得：

m v B qv 20

1分

∴qR

m v B 0

1分

磁场方向垂直于纸面向外

1分

（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ，

则θ满足0≤2

θ<

，由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动，

故B 应垂直于xoy 平面向外，带电微粒在磁场内做半径为qB

m v R 0

=匀速圆周运动。由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，它们所对应的运动的轨迹如图所示。

2分

为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动。

由图可知，它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。

这样磁场边界上P 点的坐标P （x ，y ）应满足方程： θsin R x =，

)cos 1(θ-=R y ，

所以磁场边界的方程为：

222)(R R y x =-+

2分

由题中0≤2

θ<的条件可知，

以2

θ→

的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹

222)(R y R x =+-

即为所求磁场的另一侧的边界。 2分

因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆

222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的

交集部分（图中阴影部分）。

1分

由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：

222

2min

)12(B

q v m S -=π

1分

磁场区域的最小面积问题

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。一、磁场围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104?=m q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。 ⑴求离子在匀强磁场中运动周期； ⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106 -?πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程； ⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106 m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。 15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律有 2 mv qvB R =２分运动周期22R m T v qB ππ==610s π-=? ２分 ⑵离子运动时间6 11066 t s T π-=?= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为 126 3 π θπ?= ＝１分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上，该直线方程tan 2 y x x θ == ２分 ⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动根据牛顿第二定律有 2mv qv B R = ００２分 0 mv R qB = 1=ｍ１分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90?）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示２分调整后磁场区域的最小面积2 2min 22()422 R R S ππ-=?-=m 2 ２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （-2l 0，-l 0）到C （-2l 0，0）区域的某些位置，分布着电荷量+q ．质量为m 的粒子。从某时刻起A 点到C 点间的粒子， x O y

磁场最小面积的确定方法

磁场最小面积的确定方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法 1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。图1 1．解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有： Bqv m v R 2 =① 解得R mv qB =0② 过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2 r R =cos30°③ 由②③得r mv qB = 3 2 所以圆形匀强磁场的最小面积为： S r m v q B min == π π 2 2 2 22 3 4

（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有： s vt ·°sin30= ④ s at ·°cos30122= ⑤ 而 a qE m = ⑥ 联立④⑤⑥解得 s mv Eq = 4302 二、参数方法 2．在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3 2．解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O 沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在x 轴上的A1点、半径为 R mv qB = 的圆。该电子沿圆弧OCP 运动至最高点P 时即朝x 轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x 轴正向成角度θ时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x 轴方向，设边界任一点的坐标为S x y ()，，由图4可知：图4 x R y R R ==-sin cos θθ，，消去参数θ得： x y R R 222+-=() 可以看出随着θ的变化，S 的轨迹是圆心为（0，R ），半径为R 的圆，即是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形

求磁场区域最小面积的三类问题

求磁场区域最小面积的三类问题 1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3 T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104 m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。 2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角 θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0

磁场的最小面积

磁场的最小面积 1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。 2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为×103 V/m, B 1 大小为；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14 kg 、电荷量q =1×10-10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2 ． (1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少 y x v 3 P O

3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）该粒子在磁场里运动的时间t；（2）该正三角形区域磁场的最小边长；（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。 4．如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： ⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； ⑵此匀强磁场区域的最小面积。 A B C D

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积. 例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积． (2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间． (3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求： (1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T； (2)该粒子在磁场里运动的时间t； (3)该正三角形磁场区域的最小边长；

针对训练 1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向． (2)此匀强磁场区域的最小面积． 2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。（1）求上述粒子的比荷q/m （2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。 3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox 轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、

带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx

带电粒子在磁场中运动最小面积问题例 1.在 xOy 平面有许多电子（质量为m, 电荷量为e） ,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限 ,如图所示 .现加上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为 B 的匀强磁场 ,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于 x 轴向运动 ,试求出符合条件的磁场最小面积 . 例 2 ．一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0 从 O 点沿 y 轴向射入磁感应强度为 B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与x 轴向夹角30°，如图所示 (粒子重力忽略不计)．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积． (2)粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间． (3)b 点的坐标．例 3 ．一个质量为 m，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝ CN)垂直于 AC 边飞出三角形 ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重力．试求： (1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期 T； (2)该粒子在磁场里运动的时间t ； (3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练 1． (09 年高考 )如图甲所示， ABCD 是边长为 a 的形．质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向． (2)此匀强磁场区域的最小面积． 2．（ 09 年卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀强磁场， T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m的 P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，磁感应强度大小 B=2.0 ×10 -3 现将一带正电荷的粒子以v=3.5 ×104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为 q,不记其重力。（ 1）求上述粒子的比荷q/m （ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场可以局限在一个矩形区域，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

确定磁场最小面积

确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m电荷量为+q的粒子以速度巾，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd,交y轴于d,由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有： 2 也心二应① 解得,r" 过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知： 2所示：要使磁场的区域有最小面积,

-=cos3O0 应③ 由②③得」所以圆形匀强磁场的最小面积为：出_ 3_ z 4『於（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有： s? cos30* =丄皿彳 ⑤ S- --------- -- 联立④⑤⑥解得’… 二、参数方法例2.在xOy平面内有许多电子（质量为m电荷量为e），从坐标原点0不断地以相同的速率?沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于.平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3 解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点0沿任意方向射入第一象限时，先考察速

磁场区域的最小面积.

磁场区域的最小面积传统的磁场题一般是已知磁场,画轨迹,本部分题目是由轨迹反推磁场区域,是逆向推理,难度较大。 1.一匀强磁场,磁场方向垂直于 xoy 平面,在 xy 平面上,磁场分布在以 O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为 m 、电荷量为 q 的电带粒子,由原点 O 开始运动, 初速度为 v ,方向沿 x 正方向。后来,粒子经过 y 轴上的 P 点,此时速度方向与 y 轴的夹角为 30°, P 到 O 的距离为 L ,如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度 B 的大小和 xy 平面上磁场区域的半径 R 。 2. 如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场 E 与匀强磁场 B 1, E 的大小为0.5×103V/m, B 1大小为 0.5T ;第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面向里的匀强磁场 B 2,磁场的下边界与 x 轴重合.一质量 m =1×10-14kg 、电荷量 q =1×10-10C 的带正电微粒以某一速度 v 沿与 y 轴正方向 60°角从 M 点沿直线运动, 经 P 点即进入处于第一象限内的磁场 B 2区域.一段时间后,小球经过 y 轴上的 N 点并与 y 轴正方向成 60°角的方向飞出。 M 点的坐标为 (0, -10 , N 点的坐标为 (0, 30 ,不计粒子重力, g 取 10m/s2. (1请分析判断匀强电场 E 1的方向并求出微粒的运动速度 v ; (2匀强磁场 B 2的大小为多大?; (3B 2磁场区域的最小面积为多少?

3. 一个质量为 m, 带 +q电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC 。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点垂直于 AC 边飞出该三角形,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里, 磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力。试求: (1该粒子在磁场里运动的时间 t ; (2该正三角形区域磁场的最小边长; (3画出磁场区域及粒子运动的轨迹。 4.如图, ABCD 是边长为 a 的正方形。质量为 m 、电荷量为 e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从 BC 边上的任意点入射,都只能从 A 点射出磁场。不计重力,求:

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。下面我就以几道典型题验证这个思路。例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■① 据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得 L=3r② 由①、②求得 B=■③ 图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 R=■L④ 例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x轴重合。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s■。（1）请分析判断匀强电场E■的方向并求出微粒的运动速度v；（2）匀强磁场B■的大小为多大？（3）B■磁场区域的最小面积为多少？解：（1）由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力的作用，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动。这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成60°角斜向下。（2分）

求磁场最小的面积问题二轮复习专题练习(一)附答案高中物理选修3-1

高中物理专题复习选修3-1 磁场单元过关检测考试范围：求磁场最小面积问题；满分：100分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、计算题 1．如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（ q）和初速为0v的带电粒子。已知重力加速度大小为g。（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。（2）调节坐标原点。处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的最小面积。 2．如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为0 v 的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。 3．如图4－12甲所示，质量为m 、电荷量为e 的电子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为0v ．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y 轴平行的荧光屏MN 上，求： (1)荧光屏上光斑的长度． (2)所加磁场范围的最小面积一质量m 、带电q 的粒子以速度V 0从A 点沿等边三角形ABC 的AB 方向射入强度为B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC 射出，求圆形磁场区域的最小面积。如图所示，直角坐标系xOy 第一象限的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场。现有一质量为m ，电量为e 的电子从第一象限的某点)8 3 ,(L L P 以初速度0v 沿x 轴的负方向开始运动，经过x 轴上的点)0,4 ( L Q 进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿轴的正方向运动，不计电子的重

磁场的最小面积

带电粒子在磁场中运动2 1.如图19所示，一带电质点,质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 3.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为1.5×103 V/m， B1大小为0.5 T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场的下边界与x 轴重合。一质量m＝1×10－14kg，电荷量q＝2×10－10 C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点射入，沿直线运动，经P点后即进入处于第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，微粒经过y轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，－10)，N点的坐标为(0,30)，不计微粒重力，g取10 m/s2。则求： (1)微粒运动速度v的大小； (2)匀强磁场B2的大小； (3)B2磁场区域的最小面积。 4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x轴上的A点，A点坐标为（-L，0）．粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，C点坐标为（0，2L），电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON，ON是与x轴正方向成15°角的射线．（电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．）求：（1）第二象限内电场强度E的大小．（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ．（3）圆形磁场的最小半径R min． 5.在如右图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为(－0.2m，－0.2m)的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计． (1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标； (2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1m，－0.05m)的点回到电场后，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积． 6.如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场，电场强度E＝1.0×103 V/m，方向未知，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′(图中未画出)．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从 B点进入磁场B′区域．一段时间后，粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知 A点坐标为(10,0)，C点坐标为(－30,0)，不计粒子重力． (1)判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v. (2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B′. (3)求第二象限磁场B′区域的最小面积． 1.如图19所示，一带电质点,质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地y x O a b v v 图19

确定磁场最小面积

确定磁场最小面积的方法电磁场容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。图1 解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有： ① 解得② 过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2

③ 由②③得所以圆形匀强磁场的最小面积为：（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有： ④ ⑤ 而⑥ 联立④⑤⑥解得二、参数方法例2. 在xOy平面有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3 解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速

磁场最小面积史鸿耀

磁场最小面积史鸿耀 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

（2010南平模拟）（强化班学生做）如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为×103V/m ，B 1大小为．第一象限的某个矩形区域内．．．．．，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m=1×10-14 kg 、电荷量q=1×10-10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，微粒经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出．M 点的坐标为（0，-10），N 点的坐标为（0，30），不计微粒的重力，g 取10m/s 2．求：（1）请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ；（2）匀强磁场B 2的大小为多大；（3）B 2磁场区域的最小面积为多少解：(1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成60°角斜向下．由力的平衡有 Eq =B 1qv ∴ (2) 画出微粒的运动轨迹如图．由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即解之得 (3) 由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内．由几何关系易得所以，所求磁场的最小面积为如图所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场. 电场强度大小为E，方向竖直向上. 当粒子穿出电场时速度大小变为原来的倍. 已知带电粒子的质量为m，电量为q，重力不计. 粒子进入磁场前的速度与水平方向成60°角. 试解答：（1）粒子带什么电（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大（3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大 ?解析: （1）根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电. （2分）（2）由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的

磁场最小范围

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。一、磁场范围为圆形例1一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；（3）点的坐标。

二、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。

三、磁场范围为三角形例3如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC 边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；

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磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威 2016.12.27 带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题,而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题,又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目,同学们的大脑都是一片空白,没有思路、没有方法、也没有模型。那么,如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信,我们通过该种模型题的训练,能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型,形成自己独立解决该类问题的思维和方法,从而全面提升我们的解题能力。例题1：如图所示,一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子,从y 轴上的P 1点以速度v 射入第一象限所示的区域,入射方向与x 轴正方向成α角．为了使该粒子能从x 轴上的P 2点射出该区域,且射出方向与x 轴正方向也成α角,可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场．若磁场分布为一个圆形区域,求这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力, 由牛顿第二定律得： R v m qvB 2 = 则粒子在磁场中做圆周的半径： qB mv R = 由题意可知,粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切,如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R 的O ′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆上的圆弧ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上,在通过e 、f 两点的不同的圆周中,最小的一个是以ef 连线为直径的圆周．即得圆形区域的最小半径 qB mv R r ααsin sin = = 则这个圆形区域磁场的最小面积 2 22222 min sin B q v m r S α ππ= = 例题2：如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出,可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动, R mv qvB 2 = ,得 qB mv R = 根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行于x 轴的直线,过b 点作平行于y 轴的直线,则与这两直线均相距R 的O ′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧 MN,M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。

带电粒子在磁场中运动最小面积

带电粒子在磁场中运动--最小面积 1、如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。 2、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；（3）b点的坐标。 3、在平面有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。 4、如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为0v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

5、如图所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，L 83）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（4L ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。 6、如图所示，在竖直平面，虚线MO 与水平线PQ 相交于0，二者夹角θ=30°，在MOP 围存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，0点处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面以速度v (0≤v≤E/B)垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左。.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.（2）磁场区域的最小面积.（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离，请写出该距离的大小。 7、如图所示，在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直挡板，挡板上有一小孔P,现有一质量 kg m 20104-?=、电量C q 14102-?+=带电粒子，从小孔以速度 s m v 40103?=水平射向磁感应强度T B 2.0=、方向垂直于纸平面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA 上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中作圆周运动的半径R ；（2）粒子在磁场中运动的时间t ；（3）正三角形磁场区域的最小边长L

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

B的匀强磁场，要求这些电子穿磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后, 如图所示(粒子重力忽略不计).试求： (1) 圆形磁场区域的最小面积. (2) 粒子从0点进入磁场区域到达b点所经历的时间. (3) b点的坐标. 从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30 ° , 带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子(质量为m,电荷量为e),从坐标原点0不断以相同大小的速度v沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于 xOy平面的磁感应强度为过该磁场后都能沿平行于 x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场最小面积例2.一质量为 m带电荷量为q的粒子以速度v0从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强例3.—个质量为 m带+ q电量的粒子在 BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正二角形 ABC为了使该粒子能在 AC 边上的N点图示(CM = CN)垂直于AC边飞出三角形 ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力.试求： (1) 粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T; (2) 该粒子在磁场里运动的时间t ; (3) 该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练 1. (09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形.质量为 m电荷量为e的电子以大小为V。的初速度沿纸面垂直于 BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从 A点射出磁场.不计重力，求: (1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向. (2) 此匀强磁场区域的最小面积. 2. ( 09年福建卷)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=2.0 X 10-3T,在X轴上距坐标原点 L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5 X 104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m 的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。 (1)求上述粒子的比荷 q/m (2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场； (3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内, 求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。