第九章质点动力学的基本方程

课后作业:
9—2 9—3 9—11 9—12
因此，对于整个上升，下降过程质点的运动微分方程为
mg cy m y
初始条件为：
v0 t 0 : y 0, y
动力学/质点动力学基本方程
例3：在简谐力作用下质点沿直线的运动。 质量为m的质点在已知力 F P sin t 作用下沿轴运动， 设 t 0 时，x x0 ，v v0 ，求质点的运动规律。
动力学/质点动力学基本方程
将动力学基本方程 F ma 表示为微分形式的方
程，称为质点的运动微分方程。 矢量形式
§9-2 质点的运动微分方程
m r F
X m x
Y m y
——为质点矢
量形式的运动微分方程
1.直角坐标上的投影
——质点直角坐标形 式的运动微分方程
几点说明：
ma F
（1） 适用范围：惯性系，一般将固连于地面的坐标系 或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系。 （ 2） 为合外力 （3）矢量微分方程 （4）以牛顿三定律为基础的力学为古典力学 第三定律——作用与反作用定律 两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等， 方向相反，沿同一条直线，并同时分别作用在两个 物体上。
0 y
P O
x
mg cy m y
动力学/质点动力学基本方程
（2）下降阶段 受力分析：重力 P 、阻力 R 则沿y轴的质点运动微分方程
y
R
M
v
0 y
P R m y mg cy m y
O
P
x
mg cy m y
引
1、研究对象
言
——研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
质点 ——具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 质点系 ——由有限或无限个有着一定联系的质点组成 的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间距离保 持不变的质点组成。又称为不变质点系。
2、动力学的基本问题
大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
Z m z
动力学/质点动力学基本方程
2.自然轴上的投影 d2 s ma m 2 F dt
（+）
a
τ b n
F
m
ma n m
v
2

Fn
0 Fb
——质点弧坐标形式的运动微分方程 质点运动微分方程除以上三种基本形式外， 还可有极坐标形式，柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动 力学的两类问题。
动力学/质点动力学基本方程
第二定律
质点的质量和加速度的大小的乘积，等于作用 于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。 第二定律公式
ma F
——质点动力学的基本方程
国际单位：质量的单位为kg，加速度的单位为m/s2， 力的单位为N（牛顿），且 1N =1kg×1m/s2。
动力学/质点动力学基本方程
用分离变量积分，初始条件：
2
dvx mgR m dt x2
2
(t 0 : x R, vx v0 )
v x mgR 2 v0 mvx dvx R x 2 dx
则在任意位置时的速度
2 2 gR 2 v ( v0 2 gR ) x
动力学/质点动力学基本方程
2 gR v (v 0 2 gR) x 2 可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v0 ，则在某一 2 gR
本题为已知力是时间函数求质点运动规律的问题。 解： 质点在任意位置的受力分析如图
质点沿 x 轴的运动微分方程为：
P sin t m x
或
dv m P sin t dt
O
x
x
F
上式可分离变量积分，由运动的初始条件确定积分的
下限，即有：
动力学/质点动力学基本方程
mdv P sin tdt
2
2 位置x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0 2 gR
2
时，无论x多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱
离地球引力而一去不返 时（
x ）的最小初速度
3
v0 2 gR 2 9.8 10 6370
11.2 (km/s)
——第二宇宙速度
动力学/质点动力学基本方程
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程；
⑤ 求解未知量。
（建立坐标系）
动力学/质点动力学基本方程
例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁 作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。 突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动。求钢丝绳的最大拉 力。 解： ①选重物为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆 心，l 为半径的圆弧摆动。 ④列出自然形式的质点运动微分方程
动力学/质点动力学基本方程
注意：积分应根据力的函数形式决定如何积分，并
利用运动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度的函数时
——可直接分离变量积分
如力是位置的函数时
——先进行变量置换
dv dv ds dv v ds ds dt dt
——再分离变量积分
动力学/质点动力学基本方程
动力学/质点动力学基本方程
P P x x0 (v0 )t sin t 2 m m
动力学/质点动力学基本方程
例4： 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解： 这是已知力是位置函数的第二类问题。
取火箭（质点）为研究对象。 建立坐标系如图示，火箭在任意位置 x 处受地球引力F 的作用。
⑤求解未知量
Tmax
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或增加绳长。
② Tmax 称为动拉力，由两部分组成，一部分等于 物体重量，称为静拉力，另一部分由加速度引起， 称为附加动拉力。
v G (1 ) gl
2 0
0 : T Tmax
动力学/质点动力学基本方程
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动
已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 ——积分问题 解题步骤和要点：
① 正确选择研究对象；
② 正确进行受力分析，画出受力图； （判断力是什么性质的力，对变力建立力的表达式） ③ 正确进行运动分析； (除分析质点的运动特征外，还要确定其运动初始条件） ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； ⑤ 求解未知量。
n T

v
G
ma F
G dv G sin g dt
动力学/质点动力学基本方程
ma F G dv G sin g dt
2
(1)
ma n Fn G v T G cos (2)
n T

g l
v
G
v2 由(2)式得 T G (cos ) gl 由(1)式知，重物作减速运动故
动力学/质点动力学基本方程
§9-3 质点动力学的两类基本问题
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力 解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象； （一般选择联系已知量和待求量的质点） ——微分问题
②正确进行受力分析,注意主动力和约束反力，画出受力图；
（应在一般位置上进行分析) ③ 正确进行运动分析； （分析质点运动的特征量）
v0
v
t
0
得：
mv mv0
P

(cos t 1)
dx P v v0 (1 cos t ) dt m
再次分离变量积分， 有
P x0 dx 0 v0dt 0 m (1 cos t )dt
x t t
得：
wk.baidu.com
P P x x 0 (v 0 )t sin t 2 m m
例2 一质量为m的质点M，以 v 0从地面往上抛，空气阻
力 R cv 。试建立质点的运动微分方程，并写出初始
条件。
解： （1）上升阶段 受力分析： 重力 P 、阻力 R
y
建立如图坐标系，
则沿y轴的质点运动微分方程 即
v
R
M
P R m y mg cy m y
质点沿x轴的运动微分方程为：
2
mM F f 2 x 2 mM mgR mg f F 2 2 R x
dx mgR m 2 2 dt x
2
动力学/质点动力学基本方程
即：
dv x d x dv x v x dv x dt dx dt dx
dv x mgR mvx 2 dx x
3、动力学的主要内容
第九章 质点动力学的基本方程
第十章
第十一章 第十二章 第十三章 第十四章
动量定理
动量矩定理 动能定理 达朗贝尔原理 虚位移原理(简介）
动力学/质点动力学基本方程
第九章
质点动力学的基本方程
动力学/质点动力学基本方程
§9-1 动力学的基本定律
——牛顿三定律 第一定律——惯性定律 任何质点如不受力作用，则将保持原来静止 或匀速直线运动状态。 物体保持其运动状况不变的固有属性，称为 惯性。质量为物体惯性的度量。