小学奥数 5-3-5 分解质因数(二).教师版

1.

能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为

...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而

且表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法

例如：212

263

，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，

12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯

⨯；10101371337=⨯⨯⨯.

模块一、分数的拆分

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-3-4.分解质因数

【例 1】 算式“

1希＋1望＋1杯

＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分

【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即

是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11

【答案】11

【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为

1a 、1b 、1c ，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc

,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为

16611986

，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．

【答案】23331336++=

【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的

一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后

是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减

去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分

数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．

【答案】487

【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()

1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有

1b d cb ad a c a c a c

--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为3217535

-=。 【答案】

3217535-= 【例 5】 求满足条件

1111001a b +=的a 、b 的值(a 、b 都是四位数)． 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 取1001的两个不同约数x 、()y x y <，得到：

1111001100110011001()1001()1001()()()x y x y x y x y x y x y x y x y

+==+=++++++，因为x 、y 都是1001的约数，所以1001x

、1001y 都是整数．所以只需令1001x y a x =（+），1001x y b y =（+）就可以了．而a 、b 都要大于1001，要保证a 、b 都是四位数，所以a 、b 的比值都要小于10，即x 、y 的比值小于

10．而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：1,7（）、7,11（）、7,13（）、11,13（）、11,91（）

、13,77（）

．所以我们依次取x 、y 为上面所列的数对中的数，代入a 、b 的表达式，得到本题的答案： 8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170a b =⎧⎨=⎩

【答案】8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170a b =⎧⎨=⎩

【巩固】 若

1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a

【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：

1121120042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 1131120042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 1231120042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 1341120042004(34)2004(34)46763507=+=+++ 【答案】1121120042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 1131120042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 1231120042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 1341120042004(34)2004(34)46763507=+=+++ 【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

（1）()()()()()()()()

11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）()()

11110=- 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：

111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B

+==+=++++， 从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >)，有：

111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B

-==-=---- ⑴ 本题10的约数有：1，10，2，5．