高中数学复习专题讲座(第33讲)极限及其运算

题目高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求

极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳

1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限

2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限

3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如

)1|(|0lim ,0)1(lim

<==-∞→∞→a a n

n n n

n ????

?

????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 0

1

1

10110 典型题例示范讲解

例1已知lim ∞

→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值

命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力

知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法

错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理

解 b

ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞

→∞→1)()1(lim

)1(lim 2

2

22

b

ax x x b x ab x a x +++--++--=∞

→1)

1()21()1(lim

2

222

要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，

1)

21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22

22=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a

x b x

x x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴???

??=++-=-01)21(012a

ab a 解得?????-==211

b a

例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －

n

b )1(1

+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1

(1)求a n 和a n －1的关系式；

(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式； (3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞

→n S n

命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力

知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系 错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性

技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律

解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－

1

)1(1

)1(1-+++n n b b

=－b (a n －a n －1)+

n

b b

)1(+ (n ≥2)

解得a n =

1

1)1(1+-+++n n b b a b b (n ≥2)

代入上式得

把由此猜想2

11132111

323212

1

3212221

22

1111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b b

a b b b b b a b b a b b b b a b b b b b b b a b b b b b b

b a b b b b b a b b b b a b b a b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=

++++++

+=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+-

-==+--+-+--+-+-

),

1()11(1)()1(11)1(1

)1)(1(1)1(11)3()

1(2)

1()1)(1()1(1

1111

1

1

1

2≠+---+-=+-+--?-=+--=???????=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n n

n n n n n n n n n n n n

.1lim ,0)11(

lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞

→∞

→n n n

n n n S b

b b 时

例3求1

1

22+-∞→++n n n n n a

a 1

1

1

121()21:22,;lim lim 22()n n

n n n n n n a a a a a a a a a

--+→∞→∞++><-==++解当或时 1

1

1()212222,;lim lim 24

2()2

n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞

++-<<==++当时 111

212321

2,;lim lim 262

n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+?===+?当时

2,a =-当时

1111

111

11

12221

()2(2)222326

22(2)22323()2222

n n n n n n n n n n

n n n n n

n n n n n n a a n ----+++--+?-+-==-?+-+?+?=

=?++-+??==-??--为奇数为偶数

学生巩固练习

1 a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(

lim 21n

n a a a +++∞

→ 等于

A 2

B 0

C 1

D －1

2 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则n

n c

a c a )(

lim 2

2++∞

→的值是( )

A 0

B 1

C 0或1

D 不存在

3 )(lim x x x x n -+++∞

→ =_________

4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞

→=1,则ab 的值是_________

5 在数列{a n }中，已知a 1=

53,a 2=10031,且数列{a n +1－10

1a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－

2

1

a n }是公差为－1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞

→n S n

6 设f (x )是x 的三次多项式，已知a

x x f a x x f a n a n 4)

(lim

2)(lim

42-=-→→=1,试求a x x f n 3)

(lim

-∞→的值 (a 为非零常数)

7已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中

p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1

lim

-∞→n n

n S S 的值

8 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈

N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =

n

n

b S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式；

(2)当d ＞0时，求lim ∞

→n T n

参考答案

1 解析 )1

11(21,2)1(C 2n

n a n n a n n n --=∴-=

=， 2)1

1(2lim )111(

lim 21=-=+++∴∞→∞

→n

a a a n n n

答案 A

2 解析 ?

??=+=+???=+=+???==+62

22 ,122

22222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C

二、3 解析 x

x x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞

→+∞→lim

)(lim

.211

11111lim

2

3

=++

++

=+∞

→x x

x x 答案

2

1 4 解析

原式=112)2(lim

12)12(lim

2

2

22222

2222=+-+-+-=+-+--+∞

→∞

→nb

n n a a n a n b a nb

n n a b n n n a n n

???==??????=+=-4221

20222b a b b a

∴a ·b =82 答案 82

5 解 (1)由{a n +1－

101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031

,

∴a n +1－

10

1a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(100

31－53

×

101)(2

1)n -1=11

21

)21(41+-=n n ,

∴a n +1=10

1

a n +121+n ①

又由数列{lg(a n +1－21

a n )}是公差为－1的等差数列，

且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×5

3

)=－2,

∴其通项lg(a n +1－2

1

a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),

∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=2

1a n +10－(n +1)

②

①②联立解得a n =25［(21)n +1－(10

1)n +1

］

(2)S n =])10

1()21([25111

11∑∑

∑

==++=-=n k n k k k n

k k a

911

]10

11)61(211)21

([25lim 22=---=∴∞→n n S

6 解 由于a

x x f a x 2)

(lim

2-→=1，可知，f (2a )=0

①

同理f (4a )=0 ②

由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，

,

1))(4(lim 2)

)(4)(2(lim ,12)(lim

222=--=----=-→→→C x a x A a

x C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1

③

同理，由于a

x x f a x 4)

(lim

4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1 ④

由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221

a

(x －2a )(x －4a )(x －3a ),

21

)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-??=--=-∴→→a a a

a x a x a a x x f a x a x 1

1111111111111111

11)1()1()1()1()1()1()1()1(1)

1(1)1(1)

1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=

--+

----+

--=

∴--+

--=n n n

n n n n n n n

n n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a q

q b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解

由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0

.0

1

)1(00

)1(01))(1(1)1()

1()1())(1()1()1()1(lim

)1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 1111111

111

1111

11

11111111p p

q a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n n

n

n n

n n n

n

n n n n n =------=

-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞

→∞

→-∞

→∞

→n n n n n n n n q q p p

1lim

1

=∴-∞→n n

n S S

8 解 (1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n

－1)d

S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n

－1)d

由d ≠0,2d

≠1,∴S n =d

n

d 21)2(1--

∴T n =nd

d n nd d n d n

d n n b S 2

221221)2(1)1()1(--=--=-- (2)当d ＞0时，2d ＞1

122121101211)

2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→d

d d

d n

d n n

d n d n

d n nd d n nd n n n T

课前后备注