高中数学复习专题讲座(第33讲)极限及其运算
第1页 共8页 题目 高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如
)1|(|0lim,0)1(limaann
nnn
时当不存在时当时当lklklkbabxbxbaxaxallkkkn,,0,
lim00
1110110
典型题例示范讲解 例1已知limx(12xx－ax－b)=0,确定a与b的值 命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理
解 baxxxbaxxxbaxxxxx1)()1(lim)1(lim2222
baxxxbxabxax1)1()21()1(lim2
222 第2页 共8页
要使上式极限存在，则1－a2=0, 当1－a2=0时，
01)21(1)21(1111)21(lim1)1()21(lim22222aabaabaxbxxxbabbaxxxbxabxx由已知得上式
∴01)21(012aaba 解得211ba 例2设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1－ban－nb)1(1
,其中b是与n无关的常数，且b≠－1
(1)求an和an－1的关系式； (2)写出用n和b表示an的表达式；
(3)当0＜b＜1时，求极限limnSn
命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n项和Sn等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n项和Sn再求极限，本题考查学生的综合能力 知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系 错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一性 技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律
解 (1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－1)1(1)1(1nnbb
=－b(an－an－1)+nbb)1( (n≥2) 解得an=11)1(1nnbbabb (n≥2) 第3页 共8页
代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(bbabbbbbabbabbbbabbbbbbbabbbbbbbabbbbbabbbbabbabbaSannnnnnnnnnnnnnn
),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112bbb
bbb
b
bbbbbbbbaS
bnbbb
bb
bbbba
nnn
nnnnnn
nnnnnn
.1lim,0)11(lim,0lim,10nnnnnnSbbb时 例3求1122limnnnnnaa 111121()21:22,;limlim22()nnnnnnnnaaaaaaaaa
解当或时
111()212222,;limlim242()2nnnnnnnnaaaaaa
当时
1112123212,;limlim262nnnnnnnnaaa
当时 第4页 共8页
2,a当时 11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaan
为奇数
为偶数
学生巩固练习 1 an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则)111(lim21nnaaa等
于 A 2 B 0 C 1 D －1
2 若三数a,1,c成等差数列且a2,1,c2又成等比数列，则nncaca)(lim22的值是( ) A 0 B 1 C 0或1 D 不存在
3 )(limxxxxn =_________
4 若)12(lim2nbnnan=1,则ab的值是_________ 5 在数列{an}中，已知a1=53,a2=10031,且数列{an+1－101an}是公比为2
1
的等比数列，数列{lg(an+1－21an}是公差为－1的等差数列 (1)求数列{an}的通项公式； (2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求limnSn
6 设f(x)是x的三次多项式，已知axxfaxxfanan4)(lim2)(lim42=1,试求axxfn3)(lim
的值 (a为非零常数)
7已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、q,其中
p＞q,且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求1limnnnSS的值 第5页 共8页
8 已知数列{an}是公差为d的等差数列，d≠0且a1=0,bn=2na (n∈N*),Sn是{bn}的前n项和，Tn=nnbS (n∈N*) (1)求{Tn}的通项公式； (2)当d＞0时，求limnTn
参考答案 1 解析 )111(21,2)1(C2nnannannn，
2)11(2lim)111(lim21naaannn
答案 A 2 解析 62 22 ,12222222cacacacacaca或得 答案 C 二、3 解析 xxxxxxxxxxxxxxlim)(lim
.21111111lim23xxxx
答案 21 4 解析
原式=112)2(lim12)12(lim22222222222nbnnaananbanbnnabnnnann
422120222babba
第6页 共8页
∴a·b=82 答案 82 5 解 (1)由{an+1－101an}是公比为21的等比数列，且a1=53,a2=10031, ∴an+1－101an=(a2－101a1)(21)n-1=(10031－53×
101)(21)n-1=1121)21(41nn,
∴an+1=101an+121n ① 又由数列{lg(an+1－21an)}是公差为－1的等差数列， 且首项lg(a2－21a1)=lg(10031－21×53)=－2, ∴其通项lg(an+1－21an)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1), ∴an+1－21an=10－(n+1),即an+1=21an+10－(n+1) ② ①②联立解得an=25［(21)n+1－(101)n+1］
(2)Sn=])101()21([2511111nknkkknkka
911]1011)61(211)21([25lim
22
nnS
6 解 由于axxfax2)(lim2=1，可知，f(2a)=0 ① 同理f(4a)=0 ② 由①②可知f(x)必含有(x－2a)与(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),这里A、C均为待定的常数，
,1))(4(lim2))(4)(2(lim,12)(lim222CxaxAaxCxaxaxAaxxfaxaxax即由
1)2)(42(CaaaA得,即4a2A－2aCA=－1 ③
2014版高考数学一轮总复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用课件 理 新人教A版
4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝ 30 .
【解析】由已知及等比数列{an}的性质知， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n 也成等比数列， 从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)， 又 Sn>0，所以 S2n＝6， 于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)， 即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以 S4n＝30.
素材1
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 公差 d<0， 满足 S12>0， S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
a1＋a12×12 【解析】因为 S12＝ ＝6(a6＋a7)>0， 2 a1＋a13×13 S13＝ ＝13a7<0， 2 所以 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，S6 取最大值．
备选例题
(2010· 泰州市质检)在数列{an}中， 1＝1,3anan－1＋an－an a
－1
＝0(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 λan＋ ≥λ 对任意 n≥2，n∈N*恒成立，求实数 a n＋ 1 1
λ 的取值范围．
1 【解析】(1)将 3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得a ＝1＋3(n n －1)＝3n－2， 1 所以 an＝ (n≥2)． 3n－2 当 n＝1 时，a1＝1，也满足上式， 1 所以{an}的通项公式为 an＝ . 3n－2
【解析】因为 a5·2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列， a 则 a1·2n－1＝a3·2n－3＝a5·2n－5＝„＝22n＝a2. a a a n 令 S＝log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1， 则 S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋„＋log2a1， 所以 2S＝log2[(a1·2n － 1)(a3·2n － 3)„(a2n － 3·3)(a2n － 1·1)]＝ a a a a log2(22n)n. 所以 2S＝2n· n，故 S＝n2.
高三数学课件：极限的四则运算3
an
)
c
a
上述法则表明:若两个数列都有极限,
那么这两个数列的和,差,积,商数列的
极限,分别等于这两个数列的极限的
和,差,积,商(各项作为除数的数列的
极限不能为0)
运算法则的实质是:在极限存在 的前提下,极限运算与加,减,乘, 除运算可以交换顺序.
注意:运算法则必须在两个数列 的极限都存在的前提下使用;且 运算法则可推广到有限个数列 的情况,但不适用于无限多个的 情况.
2.4 极限的四则运算(3)
一.数列极限的四则运算法则 :
如果 lim n
an
a,
lim
n
bn
b, 那么
nlim[an bn ] a b
nlim[an bn ] a b
lim an a (b 0)
b n n
b
特别地 : 若c为常数,则
lim (c
S
是面积
n
(n 3,4,5,)
(1)Sn与rn , Pn有什么关系?
(2)求
lim
n
rn与
lim
n
Pn
(3)利用(1)(2)的结果,
rn R O
说明圆面积
公式S R2
例2.在一个以AB为弦的弓形中, C为 弧AB的中点,自A, B分别作圆弧AB的 切线, 交于D点, 设x为弦AB所对的圆 心角, 求 lim SABC 的值.
S x0 ABD
例2.在一个以AB为弦的 弓形中,C为弧AB的中点, D
自A, B分别作圆弧AB的
切线, 交于D点, 设x为弦
AB所对的圆
心角,求 lim
SABC
2019高考数学_难点32__极限及其运算共6页
高中数学难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n－1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.1)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a pp b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd d d nd n nd n d nd n ndd n nd n n n T。
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
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函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
2025高考数学必刷题 第33讲、解三角形图形问题 (学生版)
第33讲解三角形图形问题知识梳理解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.必考题型全归纳题型一：妙用两次正弦定理例1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 中90BAC ∠= ，30ABC ∠= ，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.例2．（2024·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 ABCD 中=90BAC ∠ ， =60ABC ∠ ，AD CD ⊥，设 =ACD θ∠．（1）若ABC 面积是ACD 面积的4倍，求 sin 2θ;（2）若1 tan =2ADB ∠，求 tan θ.例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2AB AD =，②sin 2sin ACB ACD ∠=∠，③2ABC ACD S S = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD 中，πABC ADC ∠+∠=，2BC CD ==，且______.(1)证明：tan 3tan ABC BAC ∠=∠；(2)若3AC =，求四边形ABCD 的面积.变式1．（2024·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD 中，π3π,1,24BCD AB ABC ∠==∠=.(1)当BC CD ACD 的面积.(2)当π,26ADC AD ∠==时，求tan ACB ∠.变式2．（2024·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，2,1,23BCD AB ABC ππ∠==∠=．(1)若2,BC CD ==ACD 的面积；(2)若,26ADC AD π∠==，求cos ACD ∠．变式3．（2024·广东·统考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90ABD BCD ∠=∠= ，45DAB ∠= .（1）若2AB =，30DBC ∠= ，求AC 的长；（2）若3tan 4BAC ∠=，求tan DBC ∠的值.变式4．（2024·江苏徐州·高一统考期末）在①22222cos cos sin a B C a A c b=+-，②sin cos a B B c --=，③ABC 的面积()sin tan cos S b C c C B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知______.(1)求角C ；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，5cos 13B =，求tan BCD ∠.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分变式5．（2024·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos B =，求tan BAD ∠.变式6．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理例4．（2024·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．例5．（2024·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD =(1)求证：sin C A ；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．例6．（2024·河北·校联考一模）在ABC 中，4AB =，AC =D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.变式7．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，sin 2sin AD D CD B ⋅=⋅.(1)求证：2BC CD =；(2)若2AD BC ==，120ADC ∠= ，求AB 的长度.题型三：张角定理与等面积法例7．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.例8．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++．(1)求A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是△ABC 的角平分线，且4=AD ，6AC =，求△ABC 的面积．例9．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )c b C a b A B -=-+．（1）求A ；（2）若D 为BC 上点，AD 平分角A ，且3b =，AD =，求BD DC．变式9．（2024·安徽淮南·统考二模）如图，在ABC 中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上．(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，sin sin BAD CAD ∠=∠，求ABD △的面积．变式10．（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD 的面积为3，求sin sin BAD CAD ∠∠的值.变式11．（2024·全国·高一专题练习）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．变式12．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若b =，角B 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．题型四：角平分线问题例10．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在ABC 中，已知5AB =，BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，DAC ∠的平分线与边BC 交于点E ，cos 10EAC ∠=.(1)若65BC AC =，求ABC 的面积；(2)若cos 10ADB ∠=，求BC .例11．（2024·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，(1)求cos A 的值及ABC 的面积；(2)A ∠的平分线与BC 交于D ，2DC BD =，求a 的值．例12．（2024·山东泰安·统考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且π2cos sin cos 06C B A ⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小；(2)若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2BD AD =，求ABC 的面积.变式13．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，π22cos 3a b c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，角C 的平分线交AB 于点D ，且BD =，AD =(1)求ACB ∠的大小；(2)求CD .变式14．（2024·广东深圳·校考二模）记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知22sin sin cos 2sin 2A B C A =.(1)证明：3b c a +=；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，且BD =32AD DC =，求ABC 的面积.变式15．（2024·海南·校联考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，AM 是角A 的平分线，sin cos a B A =，2CM MB =．(1)求A ；(2)若AM =BC 的长．变式16．（2024·四川·校联考模拟预测）在①cos sin a b C B =+；②3c =这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点D 为BC 边的中点，b AD ==，且________．(1)求a 的值；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于点E ，求BCE 的周长．题型五：中线问题例13．（2024·浙江杭州·统考一模）已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2sin cos 2sin cos c A B b A C +=，c a >．(1)求角A ；(2)若2b =，BC 边上中线AD =ABC 的面积．例14．（2024·四川内江·校考模拟预测）在△ABC 中，D 是边BC 上的点，120BAC ∠= ，1AD =，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的两倍．(1)求△ACD 的面积；(2)求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．例15．（2024·四川绵阳·统考二模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin 3cos 3a C a C b +=，60A = ．(1)求a 的值；(2)若12BA AC ⋅=- ，求BC 边上中线AT 的长．变式17．（2024·广东广州·统考一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==.(1)求sin C ；(2)若ABC AB 边上的中线CD 的长.变式18．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）ABC 中，已知cos 036B B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.AC 边上的中线为BD .(1)求B ∠；(2)从以下三个条件中选择两个，使ABC 存在且唯一确定，并求AC 和BD 的长度.条件①：22230a b c c -+-=；条件②6a =；条件③ABC S = 变式19．（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．变式20．（2024·广东广州·统考三模）在①sinsin 2Ab a B π-=()sin 2cos B b A =-这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，__________.(1)求角A 的大小；(2)已知2,8AB AC ==，若,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型六：高问题例16．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，sin2b A B =.(1)若1b =，证明：π2C A =+；(2)若BC ABC 的周长.例17．（2024·重庆·统考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin ,sin cos m B C C =+ ，()cos sin ,cos n C C B =-，12m n ⋅= ．(1)求sin 2A ；(2)若3a =，BC 1-，求sin sin B C ．例18．（2024·四川自贡·统考三模）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a bc +=+．(1)求A ；(2)若BC上的高4AD =，求cos cos B C ．变式21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222sin 2a c b c A b c+-=-．(1)求A ；(2)若14b c =，且BC边上的高为a ．变式22．（2024·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知ABC 中，点D 在边AB 上，满足(0)CA CB CD CA CB λλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且cos 23B =，CAD 的面积与CBD △面积的比为3．(1)求sin A 的值；(2)若5AB =，求边AB 上的高CE 的值．题型七：重心性质及其应用例19．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22238c a b =+．(1)求cos B 的最小值；(2)若M 为ABC 的重心，90AMC ∠=︒，求sin sin AMBCMB∠∠．例20．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若3AG =，求ABC 的面积．例21．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos sin a B B c b =+．(1)求角A 的大小;(2)若3b =，点G 是ABC 的重心，且AGABC 内切圆的半径．变式23．（2024·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．变式24．（2024·四川内江·高三威远中学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,6,sin sin 2B Ca b c a b a B +==．(1)求A 的大小；(2)M 为ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，___________，求ABC 的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题．①M 为ABC 的重心，AM =②M 为ABC 的内心，AD =；③M 为ABC 的外心，4AM =．变式25．（2024·全国·高三专题练习）在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______．(1)求角A 的大小；(2)若ABC G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．题型八：外心及外接圆问题例22．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.例23．（2024·全国·高三专题练习）在 ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝6．(1)求b cos C ＋c cos B 的值；(2)若O 是 ABC0OA OB OC →→→→++=，求 ABC 外接圆的半径．例24．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；34b c =，4cos 5C =.（1）求cos A 的值；（2）若ABC 的外心在其外部，7a =，求ABC 外接圆的面积.变式26．（2024·高三统考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c，(tan 1)(tan 1)2A B ++=，c =2a =，O 为ABC 的外心，连接OA ，OB ，OC ．（1）求OAB 的面积；（2）过B 作AC 边的垂线交于D 点，连接OD ，试求cos OBD ∠的值．题型九：两边夹问题例25．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c+的值是（）A ．2BC D ．1例26．（2024·河北唐山·高三校考阶段练习）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B CD ．2例27．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________变式27．（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．变式28．（2024·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.变式29．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．变式30．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设S 是△ABC 的面积，若22b c +﹣213a S =，则角A 的值为_______．题型十：内心及内切圆问题例28．（2024·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，I 为△ABC 的内心，延长线段AI 交BC 于点D ，此时3CB CD=(1)求sin sin BC；(2)若∠ADB =2π3，求b c a+.例29．（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7a =,()2cos 32cos c B a b C =-.(1)求cos C ；(2)若2B C =，M 为ABC 的内心，求AMC 的面积.例30．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin cos tan 2B A A C =+⋅．(1)求C 的值；(2)若ABC 4b =，求a c -．变式31．（2024·辽宁鞍山·统考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin aC C =-.(1)求A ；(2)若8a =，ABCABC 的周长.2025高考数学必刷题21变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c，且满足cos sin b C C a c =+．(1)若b =，求ABC 的外接圆半径；(2)若a c +=，且6BA BC ⋅= ，求ABC 的内切圆半径变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，7a =，13b c +=，内切圆半径r =tan A =________。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。
高中数学--极限
高中数学-极限考试内容：教学归纳法•数学归纳法应用.数列的极限.函数的极限•根限的四则运算•函数的连续性.考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.§ 13.极限知识要点1•⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n=k ( k N ,k _ n°) 时，结论正确，证明当n=k 1时，结论成立•⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①当n =n°( n° • N」时，P(n)成立；②假设当n乞k ( k・N：k_ n o)时，P(n)成立，推得n ^k 1时，P(n)也成立•那么，根据①②对一切自然数n _n0时，P(n)都成立•2•⑴数列极限的表示方法：①lim a n =an_.②当n r :时，a n r a •⑵几个常用极限：①lim C =C ( C为常数)n T：I1②lim -1-0 (k N,k是常数)n_"n k③对于任意实常数，当|a| 1 时，lim a n=0当 a =1时，若a = 1，则lim a n= 1 ;若a - T，则lim a n = lim (-1)n不存在当a '1时，lim a n不存在n—JPC⑶数列极限的四则运算法则：如果lim. _a n二a, lim. b b = b，那么①lim 但n -b n) =a =bn-)-:②lim 但n b n) =a bn「・③lim 色a(b=0)n i b n b特别地，如果C是常数，那么lim (C a n) = lim C lim a n =Ca.n , n , n ,⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为^-a^ ( q 1).1 -q(化循环小数为分数方法同上式)注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x无限趋近于常数X0 (但不等于X0 )时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x 趋近于x o时，函数f (x)的极限为a .记作lim f(x) =a或当x°时，f(x)r a .注：当X r X o时，f(x)是否存在极限与f(x)在x o处是否定义无关，因为X r x o并不要求x=X o.(当然，f(x)在X o是否有定义也与f(x)在X o处是否存在极限无关.=函数f(x)在X o 有定义是lim f (x)存在的既不充分又不必要条件.)^X o如p(x) =/ 1 x 1在x =1处无定义，但lim P(x)存在，因为在x =1处左右极限均等于零.、—X 十1 X Y1 I⑵函数极限的四则运算法则：如果lim f (x) =a, lim g(x) =b，那么^x o x—o①lim (f (X)二g(x)) =a =bX %②lim (f(x) g(x)) =a bX ]X o③lim f (x) a(b=o)x )Xo g(x) b特别地，如果C是常数，那么lim (C f (x)) =C lim f (x).X ]X o X=X olim [f (x)]n=[ lim f(x)]n( n N )x ]K o x J x o注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况⑶几个常用极限：1①lim - =0x②=O (O v a v 1) ；m 了肿乂=O ( a > 1)④ lim (1X _・ 1 l)x =e , ymJ1 x)亍=e f e =2.71828183)4. 函数的连续性：⑴如果函数f( x),g( x )在某一点x =x o 连续,那么函数f(x) _g(x), f(x) ・g(x),丄凶(g(x) =0) g(x )在点x =X o 处都连续•⑵函数f f x )在点x =X o 处连续必须满足三个条件：①函数f (x )在点x =x 0处有定义；②lim f (x)存在；③函数f (x )在点x =x 0处的极限值^xo等于该点的函数值，即lim f(x) = f(x o ).^xo⑶函数f f x )在点x=x o 处不连续(间断)的判定：如果函数f f X )在点x =Xo 处有下列三种情况之一时，则称 x o 为函数f f x )的不连续点•①f f x )在点x =x o 处没有定义，即 f(x o )不存在；②lim f (x)不存在；③lim f (x)存在，但 lim f (x) =f(x o ).x x5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数 f f x )在闭区间［a,b ］上连续，且f(a)・f(b) o.那么在开区间(a,b)内至 少有函数f (x)的一个零点，即至少有一点 'f a v ' < b )使f( ^o .⑵介值定理：设函数 f(x)在闭区间［a,b ］上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)二A, f(b) =B ，那么对于A,B 之间任意的一个数 C ,在开区间(a,b)内至少有一点'，使 得 f()二C f a < '< b ).⑶夹逼定理：设当 o |x-x o | ' 时，有 g(x)< f (x) < h(x)，且 lim g(x) = lim h(x)=A ，则必有 lim f(x)二 A.x 「x o注：|x-x o | :表示以x o 为的极限，贝U |X-X o I 就无限趋近于零.(•为最小整数)6. 几个常用极限：① lim q n =o,q 1n② lim - o(a _o) n — n!k③ lim n o (a _i,k 为常数)In n 小④ lim on )： ： n⑤ lim (ln n) =o( ; 'o, k 为常数) i ‘‘ n 'sinxx。
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。
在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。
例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。
需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。
2019届高三数学一轮复习：第33讲 不等关系与不等式
N=(p-6)(p+3)+10,则 M,N 的大小关系
为
.
(2)若 a>0,且 a≠7,则 ( ) A.77aa<7aa7 B.77aa=7aa7 C.77aa>7aa7
D.77aa 与 7aa7 的大小不确定
[答案] (1)M>N (2)C
[解析] (1)因为 M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p
2019年8月10日
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课前双基巩固
2.[教材改编] 若 f ������ =2x2-2x,g ������ =x2-2,则 f ������ 与
g ������ 的大小关系是
.
[答案] f ������ >g ������
[解析]
∵f ������ -g ������ =x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴f ������ >g ������ .
最大者为
.
[答案] a [解析]因为 b-c= 7- 3-( 6- 2)=( 7+ 2)-( 6 + 3),( 7+ 2)2=9+2 14,( 6+ 3) 2=9+2 18,所以 b-c<0,即 b<c.又 a-c= 2-( 6- 2)=2 2- 6= 8- 6 >0,所以 a>c.所以 a,b,c 中最大者为 a.
即可.因为( 2)6=8<9=(3 3)6,所以 2<3 3.因为
(3 3)15=35=243>125=(5 5)15,所以5 5<3 3.因为
2011突破难点(三十二)极限及其运算
2011突破难点（三十二）极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa .●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理. 解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式； (2)写出用n 和b 表示a n 的表达式； (3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系. 错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律. 解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2)代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b b a b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限. 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限.2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( )A.2B.0C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知ax x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求a x x f n 3)(lim-∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案 难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a ∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim 2-→=1，可知，f (2a )=0①同理f (4a )=0②由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a (x －2a )(x －4a )(x －3a ), 21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a pp b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n －1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n －1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd d d nd n nd n d nd n ndd n nd n n n T。