两角和与差的余弦、正弦、正切
两角和与差的余弦、正弦、正切
1．写出正余弦和差公式的左边，记忆规律：
两角和差的余弦公式：CCSS ，正负相反；
两角和差的正弦公式：SCSC ，正负一致。
公式的用法：将一般角化为特殊角，将未知化为已知。
2．总结数学化归思想的本质和意义：
A ：将未知化为已知，将未学化为已学。
B ：为解决新问题提供一种有效的思路。 说明：一般来说，求两角和差的三角函数值，如果其中一个角为
2π的整数倍，那么往往利
用诱导公式会简单。
练习 1、化简（1）000023tan 53tan 123tan 53tan +-；（2）θ
θθθtan 2tan 1tan 2tan +- 2、求1050，150的正切值。
3、已知3
1tan ,21tan ==βα，（1）求)tan(βα-；（2）若βα,都是锐角，求证 45=+βα 例题
例1 已知)2
3,(,43cos ),,2(,32sin ππββππαα∈-=∈=，求（1）)sin(βα-，)cos(βα+，)tan(βα-；（2）)2sin(βα+
学生练习3：（1）化简ββαββαsin )sin(cos )cos(
+++ （2）已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且??
? ??∈2,0,πβα，求βcos 的值。
以β-代β
例2 计算00
15
tan 115tan 1+-的值.（3） 进一步求
15sin 15cos 15sin 15cos +-
例3 求证α
ββαβαβα2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+ 说明：1、复习两角和与差的正弦公式；
2、重温恒等式证明的一般原则：（1）化繁为简；（2）化切为弦；
3、变式：化简
β
αβαβα22cos sin )cos()cos(-+ 例4 求证)6sin(2sin 3cos απ
αα+=+ 说明：从右到左显然要简单，从左到右要体现技巧和能力，关键是如何配凑出角6π。 学生练习1：化简（1）x x sin 2
3cos 21-
；（2）x x cos sin 3+；（3）x x cos 53sin 153+ 例5 已知一元二次方程)0(02
c a a c bx ax ≠≠=++且的两个根为βαtan ,tan ，求)tan(βα+的值；进一步：求)
cos()sin(βαβα-+。 说明：虽然βαtan ,tan 是方程的两个根，但我们并不需要求出它们。
例6 证明：340tan 20tan 340tan 20tan =
++
例7 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，
且BD ：DC ：AD=2：3：6，求∠BAC 的度数。
例8 在△ABC 中，已知sinA=
54,cosB=135，求cosC 的值. 说明：三角形内角和为1800的应用。
例9 在△ABC 中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
说明：1、在A+B=π-C 的两边取正切，然后整理可得。
2、将条件改为A+B+C=n π（n ∈Z ），再证；
3、进一步——求证：tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x)
4、这就是数学中的和谐美。
例10 已知2
1cos cos ,31
sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值。 说明：1、充分利用两弦平方和等于1与和差角正、余弦公式关系解题。
2、进一步：已知0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，求)cos(γβ-的值。
例11 求下列各式的值： （1） 6sin 15sin 9cos 6sin 15cos 9sin -+；（2）
20cos 20sin 10cos 2-； （3）tan150+tan300+tan150tan300；（4）)44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1( +???+++ 处理：（1）将90看成150-60，即可消去后项；
（2）100看成300-200，此法称为“拆角法”，目的是减少项数（化简）；
（3）进一步：已知A ，B 为△ABC 的内角，并且（1+tanA ）（1+tanB ）=2，则A+B=？
若A+B=2252，求证：（1+tanA ）（1+tanB ）=2。
（4）是（3）的推广
例12
已知51)sin(,32)sin(=-=+βαβα，求βαtan tan 的值。
例13 若0sin 2)2sin(=++ββα，且2π
πα+≠k ，)(2Z k k ∈+≠+π
πβα，求证：
)tan(3tan βαα+=
说明：条件恒等式证明题是一个难点，可从结论推条件（分析法）。
例14 （1）
20
cos 20sin 10cos 2-；（2）tan150+tan300+tan150tan300； （3）)44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1(
+???+++
处理：（1）100看成300-200，此法称为“拆角法”，目的是减少项数（化简）；
（2）学生练习：若A+B=2252，求证：（1+tanA ）（1+tanB ）=2。
进一步：已知A ，B 为△ABC 的内角，并且（1+tanA ）（1+tanB ）=2，则A+B=？
再进一步：已知锐角βα,满足10
103cos ,55sin ==βα，求βα+的值。 说明：已知三角函数值求角，有时结论并不唯一，这时应根据题目条件来确定；这一点也说明了角与三角函数值不是一一对应的，故这种问题要复杂。
（3）是（2）的推广
例15 已知5
1)sin(,32)sin(=-=+βαβα，求βαtan tan 的值。 学生练习：若1sin sin =?βα，则)cos(βα+=？
说明：利用单位圆说明正余弦的范围。
例16 知)2
,0(,,1411)cos(,71cos πβαβαα∈-=+=
，求βcos 的值。 进一步：已知πβαππβαπβαβα<-<<+<-=-=+2,223,54)cos(,54)cos(，求βα2cos ,2cos 的值。