初中几何中线段和和差最值问题

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：

一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小；

（1 ）点A B在直线m两侧：A

A. \

*

V

%

；-------------- *----------- * m

P乂-- ---------------------------- -m

B

B

（2）点A B在直线同侧：

m A

4

B

*------------------------------- • m

2、在直线m n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+Q最小。

（1 ）两个点都在直线外侧：

A

Q' Q

(2) —个点在内侧，一个点在外侧:

(3)两个点都在内侧:

B'

(4 )、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线

n、

v1.0

可编辑可修改

m分别上求点D E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n的内侧，在直线m

二）、一个动点，一个定点：

（一）动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点

1、两点在直线两侧：

‘A A

n分别上求点P、Q点PA+PQ+Q周长最短.

P和点B）

2、两点在直线同侧:

（二）动点在圆上运动

点B在O O上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、点与圆在直线两侧：

2、点与圆在直线同侧:

m

P

A'

n

*■ / ■

三)、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。(原理用平移知识解)

(1 )点A、B在直线m两侧:

A

-■ -------- ■

P Q

e

B

作法：过A点作AC// m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为

P点，此时P、Q即为所求的点。

(2)点A、B在直线m同侧:

B'

练习题

1.如图1, / AOB

45。，P是/ AOB^一点，

PO

10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR

周长的最小值为 _____________________________ .

2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4血，/ BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D, M,N

分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为___________________________ .

3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分

别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。

4、如图4所示，等边△ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点,E是AC边上

一点.若AE=2,EM+C啲最小值为 _________________ .

ABCD中，/ ABC= 90°, AD// BC, AD= 4, AB= 5, BC= 6,点P是AB

6、如图6，等腰梯形ABCD中, AB=AD=CD=,1 / ABC=60 , P是上底，下底中点EF直线上的

一点，贝H PA+PB勺最小值为_____________________________ 7、如图7菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一

个动点，贝U PE+PB的最小值为_________________________ .

F

上一个动点，当PO PD的和最小时，PB的长为______________

5、如图5,在直角梯形

B

蓟

8、 如图8,菱形ABCD 勺两条对角线分别长6和8,点P 是对角线AC 上的一个动点，点 M N 分别 是边AB BC 勺中点，贝U PM+P 的最小值是 _________________________

9、 如图9,圆柱形玻璃杯，高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm 的点

C 处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离为 _________ c m.

10、如图10所示，已知正方形 ABCD 勺边长为8,点M 在DC 上，且DM=2 N 是

AC 上的一个动点，则 DN+MN 勺最小值为 __________________ 11、如图11, MN 是半径为1的O O 的直径，点 A 在O O 上， / AMN= 30°, B 为AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点， 则PA +

PB 的最小值为（

）

（1）求反比例函数的解析式;

为1,在x 轴上求一点 P,使PA+PB 最小.

(B)

(C)1 (D)2

^11

解答题

1、如图，正比例函数y

-X 的图象与反比例函数

2

k

y - （k 丰0）在第一象限的图象交于

x

点，过A 点作x 轴的垂线, 垂足为 M 已知三角形 OAM 的面积为1.

（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点

B 与点A 不重合），且B 点的横坐标