初中几何中线段和与差最值问题学习资料

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：

（2）点A 、B 在直线同侧：

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

m

m B m

A B

m

n m

n

n m

n

n

n m

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.

变式二：已知点

A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：

点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动

点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：

m n m

n

m n m

m

2、点与圆在直线同侧：

三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：

作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：

基础题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．

2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4

,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N

分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．

m

m

Q Q

3、如图3，在锐角三角形ABC中，AB=BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。

4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.

5、如图5，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

6、如图6，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．

7、如图7菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一

个动点，则PE+PB的最小值为．

8、如图8，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、

N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是

9、如图9，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．

10、如图10所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是

AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．

11、如图11，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，

∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，

则PA＋PB的最小值为( )

(A)2 (B) (C)1 (D)2

压轴题

1、如图，正比例函数x y 21=

的图象与反比例函数x

k

y =（k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小.

2、如图，一元二次方程0322

=-+x x 的二根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线

c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； （3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3） ，△AOB 的面积是3. （1）求点B 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由.

4．如图，抛物线y ＝35x 2－18

5x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M

点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的

某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．

5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．