湖南高考理科数学试题及答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数 学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、满足

1

z z +=i （i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122

i --

2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p ==

3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 3

2

1x x ++，则f （1）+g （1）=

A 、3-

B 、1-

C 、1

D 、

3

4、5

1(2)2

x y -的展开式中23

x y 的系数是

A 、-20

B 、-5

C 、5

D 、20 【答案】A

【解析】第1n +项展开式为()55122n

n n C x y -??- ?

??

, 则2n =时, ()()2

532351*********n

n n C x y x y x y -????-=-=- ? ?

????

,故选A. 【考点定位】二项式定理

5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题

①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧? ④()p q ?∨ 中，真命题是

A 、①③

B 、①④

C 、②③

D 、②④ 【答案】C

【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词

6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于

A 、[-6,-2]

B 、[-5,-1]

C 、[-4，5]

D 、[-3,6] 6.【答案】D

【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2

211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则

(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.

【考点定位】程序框图 二次函数

7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,

则

862r r r -+-==,故选B.

【考点定位】三视图 内切圆 球

8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为

A 、2p q +

B 、(1)(1)1

2

p q ++- C

D

1

【答案】D

【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2

111x p q +=++

1x ?=,故选D.

【考点定位】实际应用题

9、已知函数发f （x ）=sin(x )?-，且230

()0x f x dx =?

，则函数f （x ）的图象的一条对称轴是

A 、5x=

6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6

π 【答案】A

【解析】函数()f x 的对称轴为2

x k π

?π-=

+2

x k π

?π?=+

+,

因为

()23

2sin 0cos cos 03x dx ππ?????

-=?--+= ????sin 03π????-= ???, 则56

x π=是其中一条对称轴,故选A.

【考点定位】三角函数图像 辅助角公式

10、已知函数f （x ）=2

x

1x +e -2

（x<0）与g （x ）=2

x +In x+a)（的图象在存在关于y 轴对称点，则a 的

取值范围是

A 、-

∞（ B 、-∞（ C 、（ D 、（ 10.【答案】B

【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()02

2

0001ln 2

x

x e x x a +-

=-+-+ ()001ln 2x e x a ?--+-

0=,当0x 取决于负无穷小时,()001

ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1

ln 2

x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a

【考点定位】指对数函数 方程

二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分

(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π

的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a =+??=+?

（a 为参数）

交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

系，则直线l 的极坐标方程是_________。

12.如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB=

BC=O 的半径等于________。

13．若关于x 的不等式 23ax -<的解集为 51|33x x ??

-<

，则 a=________.

(二)必做题(14-16题)

14若变量 x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤??

+≤??≥?

且 2z x y =+的最小值为-6，则

k =_______。

15.如图4正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a

y 2(0)px p =>经 过C 、F 两点，则b

a

=_________。 15.21 【

解

析

】

由

题

可

得

,,,22a a C a F b b ????-+ ? ?????

,则

2222a pa

a b p b ?=?

???

=+ ?

????

21a b ?=,21. 【考点定位】抛物线

16．在平面直角坐标系中，O 为原点 A(1,0),B(0,3),-

C(3 0)动点D 满足 1CD =，则 OA OB OD ++的最 大值是__________。 16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s

,s i n 0,2

θθθπ+∈,则()()

2

2

3cos 1sin 3

OA OB OD θθ++=

+-++，因

为c o s 3s i n θθ的最大值为2,所以

O A O B O D ++的最大值为1223=故填23【考点定位】参数方程 圆 三角函数

三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17 .(本小题满分l2分)

某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为

23和3

5

，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立。 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(II)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望

18． （本小题满分l2分）

如图5，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD CD AC ===

(I) 求cos CAD ∠的值

(II)若cos BAD CBA ∠=∠=

求BC 的长

19. （本小题满分l2分）

如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，

11

111AC BD ,O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形。 (I)证明：1O O ⊥底面ABCD ；

(II)若60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值。

20. （本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足111,,.n

n n a a a p n N *

+=-=∈

(I)若{}n a 是递增数列，且123a ,2a ,3a 成等差数列，求p 的值； (II)若1

2

p =，且{}12n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。

21、如图7，O 为坐标原点，椭圆1C :22

22x y +=1a b

（a>b>0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ：双

曲线2C ：2222x y -=1a b 的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e 。已知12e e 24F F 。

（Ⅰ）求1C 、2C 的的方程； （Ⅱ）过1F 做1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值

22、已知常数a>0，函数f （x ）=In （1+ax ）-

2x

x+2

。 （Ⅰ）讨论f （x ）在区间0+ （，）上的单调性；

（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点1x 、2x ，且f （1x ）+f （2x ）>0，求a 的取值范围

一.选择题.

4.【答案】A

【解析】第1n +项展开式为()55122n

n n C x y -??- ?

??

, 则2n =时, ()()2

532351*********n

n n C x y x y x y -????-=-=- ? ?

????

,故选A. 学科网 【考点定位】二项式定理

5.【答案】C

【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22

x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词[来源学科网]

6.【答案】D

【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2

211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]

0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,1

3,6S ∈---=-,故选D. 学科网

【考点定位】程序框图 二次函数

7.【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则

862r r r -+-==,故选B.

【考点定位】三视图 内切圆 球

【考点定位】指对数函数方程二.填空题.

13.【答案】3-

【解析】由题可得5

2331233

a a ?--=??

?

?-=??3a ?=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式

14.【答案】2-[来源学*科*网]

【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,学科网

且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-?=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-?=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.

[来源:https://www.360docs.net/doc/b817547749.html,]

【考点定位】线性规划

15.

1

【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ????-+ ? ?????,则2222a pa

a b p b ?=?

???

=+ ?

???

?

1a b ?=,

1. 【学科网考点定位】抛物线

【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产

则数学期望2412

0120100220151555

E ξ=?

+?+?+?322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率

18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值;

(2)若cos BAD ∠=,sin 6

CBA ∠=,求BC 的长.

19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11

ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;

(2)若0

60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.

19.【答案】(1) 详见解析 (2)

(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为

2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D

1OO ∴⊥面1111A B C D 又11O C ?面1111A B C D 111OC OO ∴⊥

四边形1111A B C D 为菱形 1111O C O B ∴⊥ 又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ?面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D 又1B O ?面1OB D 111B O OC ∴⊥ 又1

1BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ?面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC

∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111

cos O E

O EC EC ∠=

060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形

11O C a ∴=

,11

,BO

=112,OO a B O ===, 则11111111

1221

sin 37O

O O E B O

O B O B O a

a B O a

=∠=== 再由11O EC ?的勾股定理可得1EC ==

=,

则1111cos O E O EC EC ∠

=a

==,所以二面角11C OB D --

的余弦值为19.

【考点定位】线面垂直 二面角

综上1

1

41,33241,332n n n n a n --?-??=??+??为奇数为偶数.

【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列

21.如图7,

O 为坐标原点,椭圆1:C ()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线

2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知123

e e =

,且2431F F =-. (1)求12,C C 的方程;

(2)过1F 点的不垂直于

y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.

21.【答案】(1)

2212x y += 2

212

x y -= (2)4[来源学科网ZXXK]

【解析】解:(1)由题可得2212221,1b b e e a a

=-=+,且22

122F F a b =-,因为123e e =,且

2

2

2

2

24F F a b a b =+-22223

11b b a a -+=222231a b a b +-2a b ?=且

1,2b a ==所以椭圆1C 方程为22

12x y +=,双曲线2C 的方程为2212

x y -=.学科网 (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方

程可得()

22

2210n y ny +--=,则222A B n y y n +=

+,则2

2

m n

y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222

122

M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得

2

12222222M n AB e x =+=+)22

4212

n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =?=-,联立直

[来源学科网]

22.已知常数0a >,函数()()2ln 12

x

f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;

(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析

【学科网解析】解:(1)对函数()f x 求导可得

()()2

4'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,

()

'0f x x =?=则函数()f x

在区间? ??单调递减,

在?

?∞???

单

调递增的.

(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()2

4

'12a f x ax x =-++()()()()

2

224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()

'0f x x =?=,则函数()f x 在区

间? ??

单调递减,

在?

?+∞???

单调递增的. 学科网