控制工程基础第四章习题解题过程和参考答案
4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10
()1
G s s =+。当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+?，试求系统的稳态输出。 解：
系统的闭环传递函数为：10
()()
11()()1()1
11
C s G s s s R s G s Φ===++
这是一个一阶系统。系统增益为：1011K =，时间常数为：1
11
T =
其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ?ωω=-
当输入为()sin(30)r t t =+?，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030?=?。代入幅频特性和相频特性，有：
1
(1)A ==
=
=
11
(1)arctan arctan
5.1911
T ω?ω==-=-=-? 所以，系统的稳态输出为：
[
]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ?=??+?+=
+?
4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)t
t
c t e e t --=-+≥。试求系统的幅频特性和相频特性。
解：
对输出表达式两边拉氏变换：
1 1.80.8361
()49(4)(9)(1)(1)
49
C s s s s s s s s s s =-+==
++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1
()R s s
=
（单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为： 1()(1)(1)49
s s s Φ=
++
可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：
1211
,49
T T ==
系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：
12
()()()
A A A
ωωω
===
1212
()()()arctan arctan arctan arctan
49
T T
ωω
?ω?ω?ωωω
=+=--=--
4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。
（1）
1
()
10.01
G s
s
=
+
（2）
1
()
(10.1)
G s
s s
=
+
（3）
)
100
8
(
)1
(
1000
)
(
2+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
（4）
2
50(0.61)
()
(41)
s
G s
s s
+
=
+
解：
手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。
除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点），并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求A的精度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。
在本题解答中，作如下处理：
小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。解题中只是简单套用。
小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。
小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。
4-3（1）
1
()
10.01
G s
s
=
+
这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=0.5时），奈氏曲线是一个半圆。而表4-2给出了任意时间常数T下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。
①系统参数：0型，一阶，时间常数0.01
T=
②起终点
奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴
奈氏曲线的终点：（0,0），原点
奈氏曲线的相角变化范围：（0,－90°），第IV象限
③求频率特性。据式（4-29）已知：
实频特性：22
1
()
1
P
T
ω
ω
=
+
虚频特性：
22
()
1
T
Q
T
ω
ω
ω
=-
+
⑤绘图：
4-3（2）1
()(10.1)
G s s s =
+
示范绘制奈氏图的完整过程。
这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。 ①系统参数：1型系统，n=2, m=0 ②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°； 奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°），第III 象限 ③求频率特性：
21(0.1)
()(10.1)(10.01)
j G j j j ωωωωωω-+=
=++
实频特性：2
0.1
()10.01P ωω-=
+
虚频特性：21
()(10.01)
Q ωωω-=+
当0ω=时，实频曲线有渐近线为-0.1。 ⑤绘图：
4-3（3）)
1008()
1(1000)(2
+++=
s s s s s G
示范概略绘制奈氏图方法。
①系统参数：1型系统，n=3, m=1 ②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；
奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°）； ③绘图：
4-3（4）250(0.61)
()(41)
s G s s s +=
+
示范概略绘制奈氏图方法。 ①系统参数：2型系统，n=3, m=1 ②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；
奈氏曲线的相角变化范围：（-180°，-180°）；由于惯性环节的时间常数大于一阶微分环节的时间常数，二者相频叠加总是小于零，故图形在第2象限。
如要详绘，则先求频率特性：
()22242
50(0.61)
50(0.61)(41)12050170()(41)(41)16(41)
j j j j G j j j j j ωωωωω
ωωωωωωωω++---+===-+-++ 即有实频特性：242
12050
()16P ωωωω--=+
虚频特性：42
170()16Q ω
ωωω
=+
4-4 试画出下列传递函数的波德图。 （1）)
18)(12(2
)()(++=
s s s H s G
（2）2200
()()(1)(101)G s H s s s s =++
（3）2250
()()(1)(101)G s H s s s s s =+++
（4）210(0.2)
()()(0.1)
s G s H s s s +=+
（5）22
8(0.1)
()()(1)(425)
s G s H s s s s s s +=++++ 解：
绘制波德图要按照教材P134-135中的10步，既规范也不易出错。 4-4（1）)
18)(12(2
)()(++=
s s s H s G
（1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；
（2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；
开环增益K ＝2, 20lg 20lg 26()K dB == 0型系统，低频段斜率为0；
（3） 求各转折频率，并从小到大按顺序标为Λ,,,321ωωω，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；
①11
0.1258ω=
=，惯性环节，斜率-20； ②21
0.52
ω==，惯性环节，斜率-20；
（4） 绘制波德图坐标。横坐标从0.1到10二个十倍频程。见图； （5） 绘制低频段幅频渐近线，为水平线；
（6） 在10.125ω=，斜率变为-20；在20.5ω=，斜率变为-40；标注斜率见图；
（7） 幅频渐近线的修正。在10.125ω=处修正-3dB ，在0.06,0.25ω=处修正-1dB ；在0.5ω=处修正-3dB ，在0.5,1ω=处修正-1dB ；注意在0.5ω=处有两个-1dB 修正量，共修正-２dB ；
（8） 绘制两个惯性环节的相频曲线；
（9） 环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线； （10） 检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。
4-4（2）2
200
()()(1)(101)
G s H s s s s =
++ （1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；
（2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；
开环增益K ＝200, 20lg 20lg 20046()K dB == 2型系统，低频段斜率为-40； （3） 求各转折频率：
①11
0.110
ω=
=，惯性环节，斜率-20； ②21ω=，惯性环节，斜率-20；
（4） 以下文字略，见绘图；