【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业：3章 导数]
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题03+导数
专题三 导数1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111kf k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e ，1） (B)[-错误！未找到引用源。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用一课件文
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，1)
解：∵f′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）x（x－1）(x＞0)．
∴当 x∈(0，1)时 f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选 A.
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设函数 f(x)＝2xex－1，则( ) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解：导数为 0 的点不一定是极值点(如 y＝x3，在 x＝0 处)， 而极值点的导数一定为 0.极值是局部概念，因此极小值可能有
多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选 D.
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(2015·北京海淀区模拟)函数 f(x)＝x2－2lnx 的
单调递减区间是( )
A．(0，1)
∴f(x)＋g(x)在(－∞，1]上的最大值为 12.
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点拨： 函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个 最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在 端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小
值点取得．
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设函数 f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数 y＝f(x)
解：求导得 f′(x)＝2ex＋2xex＝2ex(x＋1)，令 f′(x) ＝2ex(x＋1)＝0，解得 x＝－1，易知 x＝－1 是函数 f(x)
的极小值点．故选 D.
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函数 f(x)＝13x3－4x＋4 在[0，3]上的最大值为________，
在[0，3]上的最小值为________．
2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年新课标全国Ⅰ，理1】设复数z 满足1i 1zz+=-，则（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，故1z =，故选A ． （2）【2015年新课标全国Ⅰ，理2】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12-【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=︒︒+︒︒=︒=，故选D ．（3）【2015年新课标全国Ⅰ，理3】设命题P ：n N ∀∈，22n n >，则P ⌝为（ ）（A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n = 【答案】C【解析】P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤，故选C ． （4）【2015年新课标全国Ⅰ，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.60.648C ⨯+=，故选A ．（5）【2015年新课标全国Ⅰ，理5】已知()00,M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ＜，则0y 的取值范围是（ ） （A ）33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）33,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()1200003,3,MF MF x y x y •=---•-- 2220003310x y y =+-=-<，解得03333y -<<，故选A ． （6）【2015年新课标全国Ⅰ，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，得163r =．所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为3201.62229÷≈，故选B ． （7）【2015年新课标全国Ⅰ，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知()11143333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，故选A ．（8）【2015年新课标全国Ⅰ，理8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知1425342πωϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，取得ωπ=，所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得1322,44k x k k Z -<<+∈，故单调减区间为132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选D ．（9）【2015年新课标全国Ⅰ，理9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,0,0.5,0.5,t S n m S S m =====-=20.25,1,m m n ===0.50.01S t =>=，是，循环；执行第2次，0.25,20.125,2,S S m m m n =-==== 0.250.01S t =>=，是，循环；执行第3次，0.125,20.0625,3,S S m m m n =-==== 0.1250.01S t =>=，是，循环；执行第4次，0.0625,20.03125,4,S S m m m n =-====0.06250.01S t =>=，是，循环； 执行第5次，0.03125,20.015625,5,S S m m m n =-====0.031250.01S t =>=，是，循环； 执行第6次，0.015625,20.0078125,6,S S m m m n =-====0.0156250.01S t =>=，是，循环；执行第7次，0.0078125,20.00390625,7,S S m m m n =-====0.00781250.01S t =>=，否，输出7n =，故选C ．（10）【2015年新课标全国Ⅰ，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在()52x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为21253230C C C =，故选C ． （11）【2015年新课标全国Ⅰ，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 1620π+，则r =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=+，解得2r =故选B ．（12）【2015年新课标全国Ⅰ，理12】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）（A ）3[,1)2e - （B ）33[,)24e - （C ）33[,)24e （D ）3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>；当12x =-时，[]12max ()2g x e -=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得312a e≤<，故选D ． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2015年新课标全国Ⅰ，理13】若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】由题知()2ln y x a x =++是奇函数，所以()()()222ln ln ln x a x x a x a x x +++-++=+-ln 0a ==，解得1a =．（14）【2015年新课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ． 【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭ 【解析】设圆心为(),0a ，则半径为4a -，则()22242a a -=+，解得32a =±，故圆的方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．（15）【2015年新课标全国Ⅰ，理15】若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 ． 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连 线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．（16）【2015年新课标全国Ⅰ，理16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【答案】()62,62-+【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在ADE ∆中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30E ∠=︒，所以设12AD =，22AE x =，624DE x +=，CD m =，因为2BC =，所以62sin1514x m ⎛⎫++⋅︒=⇒ ⎪⎪⎝⎭62624x m ++=+， 所以04x <<，而62262424AB x m x x m +-=+-=+2622x =+-， 所以AB 的取值范围是()62,62-+．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2015年新课标全国Ⅰ，理17】（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，243n n n a a S +=+（Ⅰ）求{}n a 的通项公式， （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和． 解：（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+，可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=-=+- 由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a = 所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+． ……6分（Ⅱ）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1211111112355721233(23)n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……12分（18）【2015年新课标全国Ⅰ，理18】（本小题满分12分）如图， 四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面ACE ⊥平面AFC ．（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG ，FG ，EF ．在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==．由BE ABCD ⊥平面，AB BC =，可知AE EC =． 又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥．在Rt EBG ∆中，可得2BE =，故22DF =．在Rt FDG ∆中，可得62FG =．在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，22DF =，可得322EF =． 从而222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =，可得EG AFC ⊥平面． 因为EG AEC ⊂平面，所以AEC AFC ⊥平面平面． ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ， GC 方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）可得()0,3,0A -，()1,0,2E ， 21,0,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0C ． 所以()1,3,2AE =，21,3,2CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭． ……10分故()3cos ,3AE CF AE CF AE CF•==-，所以直线AE 与直线CF 所成角余弦值为33-． ……12分 （19）【2015年新课标全国Ⅰ，理19】（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量()11,2,,8y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy w()1211x xx +-∑()1211x w w +-∑()()111x xx y y +--∑ ()()111x w w y y +--∑46．6 56．3 6．8 289．8 1．6 1469108．8表中11w x =，11118x w w +=∑． （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ……．． (),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．……2分 （Ⅱ）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于()()()81821108.8681.6iii i i w w yyd w w==--===-∑∑， 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于w 的线性回归方程为100.668y x =+． ……6分 （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=．……9分（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12z x x x x =⨯+-=-++． 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．……12分（20）【2015年新课标全国Ⅰ，理20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线()0y kx a a =+>交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 解：（Ⅰ）由题设可得()2,M a a ，()2,N a a -，或()2,M a a -，()2,N a a ．又2x y '=，故24x y =在2x a =处的导数值为a ．C 在点()2,a a -处的切线方程为()2y a a x a -=-，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a ++=和0ax y a --=． ……5分（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．将y kx a =+代入C 的方程得2440x kx a --=．故124x x k +=， 124x x a =-．从而()()()1212121212122kx x a b x x k a b y b y b k k x x x x a+-++--+=+==．当b a =-时，有120k k +=， 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,P a -符合题意．……12分（21）【2015年新课标全国Ⅰ，理21】（本小题满分12分）已知函数()31,()ln 4f x x axg x x =++=-．（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数． 解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则0()0f x =，0()0f x '=，代入可解得012x =，34a =-． 因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线． ……5分（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在()1,+∞无零点．当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<．{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点．当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数．（i ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+/在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调．而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点．（ii ）若30a -<<，则()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，故在()0,1中，当3a x =- 时，()f x 取得最小值，最小值为213334a a a f ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．①若03a f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点．②若03a f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即34a =-，()f x 在()0,1有唯一零点．③03a f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当34a >-或54a <-时，()h x 有三个零点． ……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2015年新课标全国Ⅰ，理22】（本题满分10分）（选修4-1：几何证明选讲）如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小．解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥．在Rt AEC ∆中由已知得DE DC =，故DEC DCE ∠=∠． 连接OE ，则OEB OBE ∠=∠．又90ACB ABC ∠+∠=︒，所以90DEC OEB ∠+∠=︒，故90OED ∠=︒，DE 是O 的切线 ……5分 （Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE =由射影定理，2AE CE BE =，所以2x =x =60ACB ∠=︒． ……10分（23）【2015年新课标全国Ⅰ，理23】（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）直角坐标系xOy 中．直线1:2C x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． ……5分（Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=故12ρρ-=，即MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12． ……10分（24）【2015年新课标全国Ⅰ，理24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()12f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->．当1x ≤-，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<．所以()1f x >解集为2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ……5分（Ⅱ）由题设可得12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +．由题设得()22163a +>，故2a >．所以a 的取值范围为()2,+∞．……10分。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用(二)习题 理
§3.3导数的应用(二)1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，x n，x∈[a，b]．直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(x n)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数．(2)含参数的函数求最值时分类：①按____________分类；②按____________分类．3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于________的导数；(2)线密度是质量关于________的导数；(3)功率是功关于________的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数．4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠1．02．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点 3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间 (6)产量4．＜ ＞ ＝ ＝(2015·厦门模拟)函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减 解：因为函数f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0，解得x >1e，则函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，则函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故选D .已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－1或a >2B ．－3<a <6C ．－1<a <2D ．a <－3或a >6解：由已知得：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0在R 上有两个不相等的实根，所以Δ＝(2a )2－12(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.故选D .若函数f (x )＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：∵f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，要使f ′(x )＜0，必须有a ＞0.故选A .已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则实数a 的取值范围是________． 解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x 在[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知：f ′(x )＝2ax ＋1－(ln x ＋1)≥0，即a ≥ln x2x在[1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ln x 2x ，令g ′(x )＝1－ln x2x2＝0，解得x ＝e.当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，当x ∈[1，e)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，故g (x )的最大值为g (e)＝12e ，即a ≥12e.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞.类型一 函数单调性的进一步讨论已知实数a ＞0，函数f (x )＝a (x －2)2＋2ln x . (1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间[1，4]上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－4x ＋4＋2ln x ，f ′(x )＝2x －4＋2x ＝2（x －1）2x，∵x ＞0，∴f ′(x )≥0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f ′(x )＝2ax －4a ＋2x ＝2ax 2－4ax ＋2x，又f (x )在区间[1，4]上是增函数，∴f ′(x )＝2ax 2－4ax ＋2x≥0对x ∈[1，4]恒成立，即2ax 2－4ax ＋2≥0对x ∈[1，4]恒成立， 令g (x )＝2ax 2－4ax ＋2， 则g (x )＝2a (x －1)2＋2－2a ， ∵a ＞0，∴g (x )在[1，4]上单调递增，只要使g (x )min ＝g (1)＝2－2a ≥0即可，∴0＜a ≤1.【点拨】①函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解；而存在单调区间问题，可转化为不等式有解问题．②对导数进行研究时，不可忽略原函数的定义域，如本题中易忽略“x ＞0”．(2015·云南第一次检测)已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)．(1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x(x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )的极小值为f (－3)＝－37e －3和f (2)＝－2e 2，f (x )的极大值为f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2) ＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－2（m ＋3）＋2m －2≤0，（－1）2－（m ＋3）＋2m －2≤0， 解得m ≤4， ∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．类型二 极值与最值的进一步讨论(2015·山东改编)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数．解：f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝a （2x －1）（x ＋1）＋1x ＋1＝2ax 2＋ax ＋1－a x ＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1x ＋1>0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．当a ≠0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1－a ，g (－1)＝1， Δ＝a 2－8a (1－a )＝9a 2－8a ，若Δ＝a (9a －8)≤0，即0<a ≤89时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．若Δ＝a (9a －8)>0，即a >89或a <0，而当a <0时，g (－1)≥0，此时方程g (x )＝0在(－1，＋∞)只有一个实数根，此时函数f (x )只有一个极值点；当a >89时，方程g (x )＝0在(－1，＋∞)总有两个不相等的实数根，此时函数f (x )有两个极值点．综上可知，当0≤a ≤89时，f (x )的极值点个数为0；当a <0时，f (x )的极值点个数为1；当a >89时，f (x )的极值点个数为2.【点拨】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏．(2015·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2（x 3－a 3）x2，x ≠0. (1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求a 的值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1，2]上递增，所以f (x )在[1，2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2由上表可得y ＝f (x )在[1，2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1. ③当a ≥2时，f ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1，2]上递减．所以f (x )在[1，2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5. 综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，f (x )在[1，2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2； 当1＜a ＜2时，f (x )在[1，2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1； 当a ≥2时，f (x )在[1，2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点． 解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0.(2)证法一：设g (x )＝e x－e x ，曲线y ＝e x 与y ＝e x 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x－e x 零点的个数． ∵g ′(x )＝e x－e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1，∴g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －e x ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)．∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点．证法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫由于方程e x ＝e x 等价于x e x ＝1e . 设h (x )＝xex ，分析方法类似证法一．【点拨】本题通过作差或作商构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现．已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的实数解，求a 的取值范围． 解：(1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2（ax 2－1）x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a.由ax 2－1<0，得0<x <1a.故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln x x 2在区间[2，e]上有两个不相等的实数解，令φ(x )＝2ln xx2(x ∈[2，e])．∵φ′(x )＝2x （1－2ln x ）x4，易判断φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln24＝ln22＝φ(2)，∴φ(x )min ＝φ(e)，故a 的取值范围为ln22≤a <1e.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x，当x ∈[0，1]时，求证： (1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]． ∵g ′(x )＝e x－1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数，g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0.∴e x≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x－x －1，x ∈[0，1]．∵h ′(x )＝－x e x－1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x－x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .【点拨】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差得证，即要证f (x )≥h (x )，只需证f (x )－h (x )≥0，也就是证明g (x )＝f (x )－h (x )的最小值不小于0，从而转化为求函数的最值问题．(2015·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：当x >1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．解：f (x )＝ln x －x ＋a ＋1(x >0)．(1)原题即为存在x ∈(0，＋∞)，使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x.令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0<x <1时，g ′(x )<0，∴g (x )为减函数， 当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴a ≥g (1)＝0.∴a 的取值范围为[0，＋∞)．(2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12>0(x >1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x－a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1>0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1>0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＞1时，G (x )＞G (1)＝0.∴当x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12>0成立，即当x ＞1时，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．1．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．2．用导数方法解决二元条件不等式问题，往往要剥离出一个主元，同时将另一个元用主元表示，构造出一个一元函数，再将问题转化为定义域上的最值问题．3．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．4．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．5．注意以下三者的区别： ①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ； ②a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ； ③a ＝f (x )有解⇔a ∈f (x )的值域．1．(2015·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4)D ．(2，＋∞)解：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.令f ′(x )<0，解得x <2.故选A .2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解：由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．故选D .3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9， 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23.故选A .4．(2014·河北模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解：f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0，1)内有极小值，∴b ＞0， 令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b ，从而只要0＜2b ＜1，得0＜b ＜12.故选D .5．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：∵f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x (x ＞0)，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f (x )单调递增．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1＜12，k ＋1＞12，解得1≤k ＜32.故选A .6．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)解：设函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x2.因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以当x >0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，所以函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，且g (－1)＝g (1)＝0.故当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <－1时，g (x )<0，则f (x )>0.综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A .7．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为____________．解：f ′(x )＝2mx ＋1x －2，根据题意得f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，有m ≥1x －12x 2，x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝1x －12x 2，x ∈(0，＋∞)，易求得g (x )max ＝g (1)＝12，∴m ≥12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 8．(2015·洛阳期中)设f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝2017，则不等式e x f (x )>e x ＋2016(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．解：令F (x )＝e x f (x )－e x －2016，∵f (x )＋f ′(x )>1，∴F ′(x )＝e x f (x )＋e xf ′(x )－e x＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)>0，∴F (x )在R 上为增函数，又F (0)＝e 0f (0)－e 0－2016＝2017－1－2016＝0，∴由F (x )>F (0)得x >0，即e xf (x )＞e x＋2016的解为x >0.故填(0，＋∞)．9．(2013·辽宁)证明：当x ∈[0，1]时，22x ≤sin x ≤x .证明：记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0，1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则H ′(x )＝cos x －1. 当x ∈[0，1]时，H ′(x )≤0，H (x )单调递减． 所以H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0，1]．10．(2015·皖南八校第三次联考)已知函数f (x )＝exx.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝xf (x )－ax ＋1，若g (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝ex x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f ′(x )＝e x（x －1）x 2.当f ′(x )＝0时，x ＝1.f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．(2)g (x )＝e x －ax ＋1，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝e x －a ，①当a ≤1时，g ′(x )＝e x －a >0，即g (x )在(0，＋∞)上递增，此时g (x )在(0，＋∞)上无极值点．②当a >1时，令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，令g ′(x )＝e x －a >0，得x ∈(ln a ，＋∞)；令g ′(x )＝e x －a <0，得x ∈(0，ln a )．故g (x )在(0，ln a )上递减，在(ln a ，＋∞)上递增，∴g (x )在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x ＝ln a .故实数a 的取值范围是a >1.11．(2015·北京)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．解：(1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)， 得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下：因此，f (x )的单调递增区间为(k ，＋∞)，单调递减区间为(0，k )；f (x )在x ＝k 处的极小值为f (k )＝k （1－ln k ）2. (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2. 因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，故x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k 2＜0， 所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．(2015·福建)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．解：(1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0， 解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意． 当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)， 则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0，解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42<0， x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)． 综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。
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第三章 导数及其应用
命题角度 2 求已知函数的极值 (1)(2020届山东济钢高中高三上10月考)设函数 f(x)＝mx－ex＋3(m∈R)，
讨论函数 f(x)的极值．
解：因为 f(x)＝mx－ex＋3，所以 f′(x)＝m－ex， 当 m≤0 时，f′(x)＝m－ex＜0 恒成立，因此 f(x)在 R 上单调递减，此时无极值； 当 m＞0 时，由 f′(x)＝m－ex＞0 得 x＜lnm； 由 f′(x)＝m－ex＜0 得 x＞lnm； 所以 f(x)在(－∞，lnm)上单调递增，在(lnm，＋∞)上单调递减，因此 f(x)有极大值 f(lnm)
(1)曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值
f(a)<k 或极小值 f(b)>k．
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第三章 导数及其应用
(2)曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直
第三章 导数及其应用
解：由图象可知： 当 x＝－3 和 x＝3 时，xf′(x)＝0，则 f′(－3)＝f′(3)＝0； 当 x<－3 时，xf′(x)>0，则 f′(x)<0； 当－3<x<0 时，xf′(x)<0，则 f′(x)>0； 当 0<x<3 时，xf′(x)>0，则 f′(x)>0；
当 x>3 时，xf′(x)<0，则 f′(x)<0．
＝2 是 f(x)的极小值点，仅选项 C 满足．故选 C．
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－1，1)上单调递减．
③若 a＝2，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0，所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
④若 a＞2，则当 x∈(0，1)，x∈(a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数 f(x)在区间(0，
间是(－2，0)，(2，＋∞)．故选 C．
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第三章 导数及其应用
(2020届湖北荆门两校高三9月考)若 f(x)＝x2－2x－4lnx，则 f(x)的单调递增区
间为 ( )
A．(2，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，2)
解：由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－2－4x＝2（x2－xx－2）＝2（x＋1）x（x－2）， 所以当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0；当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以
f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．故选 A．
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所以－1，3 是 f′(x)＝0 的两个根，所以 b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12．故填－ 12．
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第三章 导数及其应用
考点一 导数法研究函数的单调性
命题角度 1 不含参函数的单调性
(1)(2021 届甘肃庆阳镇原中学月考)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是 ( )
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第三章 导数及其应用
2015高考理科数学试题分类解析之专题三导数.doc
专题三 导数 试题部分1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111fk k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1） 5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．6.【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .7.【2015高考湖南，理11】20(1)x dx ⎰-= .8.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 9.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.10.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >； (Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．11.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为 ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 12.【2015高考山东，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围. 13.【2015高考安徽，理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.14.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性； (II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+- M2P15.【2015高考重庆，理20】 设函数()()23xx axf x a R e +=∈（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
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第三章 导 数1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．①常见的基本初等函数的导数公式：(C )′＝0(C 为常数)； (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x; (a x )′＝a xln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ； (log a x )′＝1xlog a e (a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题． 8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．9．了解微积分基本定理的含义．§3.1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处____________，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作____________或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ 0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)；(2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________；(3)(ln x )′＝ ， (log a x )′＝ ；(4)(e x )′＝____________， (a x)′＝ .4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________； 当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠：1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)3．(1)0 αx α－1(2)cos x －sin x (3)1x1x ln a(4)e x a xln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( )A ．3a 2＋10ax 2B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2xC ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝1ln x在x ＝e 处的切线方程为( )A ．x ＋ey －e ＝0B ．ex ＋y －e ＝0C ．x －ey －2e ＝0D ．x ＋ey －2e ＝0解：y ′＝－1x （ln x ）2＝－1x （ln x ）2，y ′|x ＝e ＝－1e ，故所求方程为y －1＝－1e(x －e )，整理得x ＋ey －2e ＝0.故选D .已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D .12解：y ′＝x 2－3x ，令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x＝－3(舍去)．故选B.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 ．解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3，故填3.(2014·新课标Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________.解：y ′＝a －1x ＋1，根据已知，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.故填3.类型一 导数的概念已知函数f (x )＝x 2＋1.用定义的方法求：(1)f (x )在x ＝2处的导数； (2)f (x )在x ＝a 处的导数．解：(1)因为Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2＋1－（22＋1）Δx＝4＋Δx ，当Δx →0时，4＋Δx →4， 所以f (x )在x ＝2处的导数是4.(2)因为Δy Δx ＝f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx →0时，2a ＋Δx →2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数是2a .点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m )．(1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度； (2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m /s .(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为 h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝错误!＝5Δt 3＋45Δt 2＋120Δt Δt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度为120 m /s .类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝x ln x ；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2)．解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1；(3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ)′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋2′＝－1（x ＋2）2.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝xe x－1(x ≠0)； (3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1)．解：(1)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x－1（e x －1）2； (3)y ′＝－sin2x ·(2x )′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)]′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.类型三 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y0＝f（x0），y1－y0x1－x0＝f′（x0），得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝－18.∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.(2)∵f′(x)＝3x2＋1，且(2，－6)在曲线f(x)＝x3＋x－16上，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线方程为y＝13x－32.(3)解法一：设切点为(x0，y0)，∵直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l过原点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x0＝－2，∴斜率k＝13.∴直线l的方程为y＝13x.解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则斜率k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解得x0＝－2，∴k＝13.∴直线l的方程为y＝13x.1．弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)；(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．2．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim→∆xf（x0＋Δx）－f（x0）Δx的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代入导函数f′(x)，得f′(x0)．3．正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验．4．求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．如果切点未知，要先求出切点坐标．1．函数f(x)＝x3＋sin2x的导数f′(x)＝( )A．x2＋cos2x B．3x2＋cos2xC．x2＋2cos2x D．3x2＋2cos2x解：f′(x)＝3x2＋(2x)′cos2x＝3x2＋2cos2x.故选D.2．已知f(x)＝(x－2)(x－3)，则f′(2)的值为( )A．0 B．－1 C．－2 D．－3解：∵f′(x)＝(x－3)＋(x－2)＝2x－5，∴f′(2)＝－1.故选B.3．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3 C．9 D．15解：由y′|x＝1＝3，得在点P(1，12)处的切线方程为3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9，故选C.4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)解：∵f′(x)＝2x－2－4x＝2（x－2）（x＋1）x＞0，x＞0，∴x－2＞0，解得x＞2.故选C.5．(2014·湖北八市高三3月调考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C .12D ．－1解：因为f ′(x )＝e x －ae －x，由奇函数的性质可得f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A .6．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278解：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )，②将点(1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t＝32代入①式，得k ＝－a 或k ＝274－a ，由它们互为相反数得a ＝278.故选A.7．(2014·江西)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln2，2)．故填(－ln 2，2)．8．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．设函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx2＋2b －1.若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：因为f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2－a ，g ′(x )＝2bx .因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ， 解得a ＝13，b ＝13，得切点坐标为(1，0)．切线方程为y ＝23(x －1)，即2x －3y －2＝0.11．已知函数f (x )＝x －1＋a ex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．解：(1)f ′(x )＝1－a ex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－a e＝0，解得a ＝e .(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e，f ′(x )＝1－1ex .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋1ex 0＝kx 0－1，①f ′(x 0)＝1－1ex 0＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0.若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e . ∴l 的直线方程为y ＝(1－e )x －1.(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x解：对于①，y ′＝(x 3)′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，l ：x ＝－1显然不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝(sin x )′＝cos x ，y ′|x ＝0＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝sin x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，y ′|x ＝0＝1cos 20＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝tan x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝(ln x )′＝1x，y ′|x ＝1＝1，在点P (1，0)处的切线为l ：y ＝x －1，令h (x )＝x －1－ln x (x ＞0)，可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以h (x )min＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，可知曲线C ：y ＝ln x 在点P (1，0)附近位于直线l 的下方，⑤错误．故填①③④.§3.2 导数的应用(一)1．函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____________．2．函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧_________，右侧_________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程_________的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得_________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得_________．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则____________为函数在[a ，b ]上的最小值，_________为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则_________为函数在[a ，b ]上的最大值，_________为函数在[a ，b ]上的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值______，______比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．自查自纠：1．单调递减2．(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 ③极大值 极小值3．(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )关于函数的极值，下列说法正确的是( )A ．导数为0的点一定是函数的极值点B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．f (x )≥1 解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x －1)的单调递减区间是________．解：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递减区间为(1，3)，函数y ＝f (x －1)的图象由函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到，故函数f (x －1)的单调递减区间是(2，4)．故填(2，4)．函数f (x )＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝12，从而x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝π6处取得极大值，即最大值π6＋ 3.故填π6＋ 3.类型一 导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是()A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 解：由y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )的大致图象如图．由图可知，A ，B ，D 均错．故选C .类型二 导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1， ＋∞)，单调递减区间是[－1，1]．点拨：①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32∈(－∞，－1)，x 2＝32∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．(2014·山东)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k ≤0，k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，求函数f (x )的单调区间．解：函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2xe x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝xe x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x－kx ）x 3.由k ≤0可得e x－kx ＞0， 所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．类型三 导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32. 故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.f (1)＝－1.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2.(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)f ′(x )＝2a (x －5)＋6x，依题意，f ′(1)＝6－8a ＝2，得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x.令f ′(x )＝0，得x ＝2或3.单调减区间为(2，3)．f (x )的极大值f (2)＝92＋6ln2，极小值f (3)＝2＋6ln3.类型四 导数法研究函数的最值问题已知函数f (x )＝ax 2＋2，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，1]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， ∵f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，∴a ＋2＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝4，b ＝5.(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋4x 2＋5x ＋2，则h ′(x )＝3x 2＋8x ＋5＝(3x ＋5)(x ＋1)．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3，(－1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，－1上单调递减． ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝427，h (1)＝12，12＞427，∴f (x )＋g (x )在(－∞，1]上的最大值为12.点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 函数y ＝f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－a6.∵－a 6＝－12，∴a ＝3.∵f ′(1)＝0，∴6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.故a ＝3，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∵f(－2)＝21，f(2)＝5，21＞5，f(1)＝－6.∴所以f(x)在[－2，2]上的最大值为21，最小值为－6.类型五实际应用问题(优化问题)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？解：(1)根据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2，0＜x＜30，S′＝240－16x，令S′＝0，得x＝15.当0＜x＜15时，S′＞0，S递增；当15＜x＜30时，S′＜0，S递减．所以x＝15 cm时包装盒侧面积S最大．(2)根据题意有V＝(2x)2·22(60－2x)＝22x2(30－x)，0＜x＜30，V′＝62x(20－x)，当0＜x＜20时，V′＞0，V递增；当20＜x＜30时，V′＜0，V递减．所以x＝20 cm时包装盒容积V最大．点拨：本题主要考查学生的空间想象能力、阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm，宽为8 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x cm的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x＜4，容积V＝(15－2x)·(8－2x)·x＝4x3－46x2＋120x，V′＝12x2－92x＋120＝4(3x－5)(x－6)．令V′＝0，得x＝53或6(舍去)．当0＜x＜53时，V′＞0，V递增；当53＜x＜4时，V′＜0，V递减．所以高x＝53cm时容器的容积最大．1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．3．实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：由条件知由q 可推出p ，而由p 推不出q .故选C .2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是()解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C.3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0，3)C ．(1，4)D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A . x ＝12为f (x )的极大值点B . x ＝12为f (x )的极小值点C . x ＝2为 f (x )的极大值点D . x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋m 在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为m ，m ＝2.故选C.6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列判断正确的是()A ．a <0，b <0，c <0B ．a >0，b >0，c <0C ．a >0，b <0，c >0D ．a >0，b >0，c >0 解：因为x >0时，f (x )>0恒成立，所以a >0；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2均小于零，所以x 1＋x 2＝－2b 3a <0，则b >0；x 1x 2＝c3a>0，则c >0，所以a ，b ，c 同为正．故选D.7．函数f (x )＝x 3＋2xf ′(－1)，则函数f (x )在区间[]－2，3上的值域是____________．解：f ′(x )＝3x 2＋2f ′(－1)，令x ＝－1，则f ′(－1)＝3＋2f ′(－1)，得f ′(－1)＝－3，因此f (x )＝x 3－6x ，f ′(x )＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)，∵f (－2)＝4， f (－2)＝42，f (2)＝－42，f (3)＝9，∴f (x )在区间[]－2，3上的值域为[－42，9]．故填[－42，9]．8．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝________cm 时，圆柱的表面积最小．解：圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝16π⇒r 2h ＝16，圆柱的表面积S ＝2πrh ＋2πr 2＝32πr＋2πr 2＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫16r＋r 2， 由S ′＝2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－162＋2r ＝0，得r ＝2.因此r(0，2) 2 (2，＋∞)S′－ 0＋S↘极小值，也是最小值↗填2.9．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋ax －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0. (1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝2x ＋a x，x ＞0.(1)因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点．(2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．11．(2014·天门、仙桃、潜江高三期末)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2)．解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图)．依题意可设抛物线的方程为 x 2＝2py ，且C (2，4)．∴22＝2p ·4，∴p ＝12.故曲线段OC 的方程为y ＝x 2(0≤x ≤2)．设P (x ，x 2)(0≤x ＜2)，则|PM |＝2＋x ，|PN |＝4－x 2. ∴工业园区的用地面积S ＝|PM |·|PN |＝(2＋x )(4－x 2)＝－x 3－2x 2＋4x ＋8.∴S ′＝－3x 2－4x ＋4，令S ′＝0⇒x 1＝23，x 2＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数． ∴x ＝23时，S 取到最大值，此时|PM |＝2＋x ＝83，|PN |＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627≈9.5(km 2)．答：把工业园区规划成长(PN )为329km ，宽(PM )为83km 时，矩形工业园区的用地面积最大，最大用地面积约为9.5 km 2.(2014·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4，由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0，所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．§3.3 导数的应用(二)1．当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝_________，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]． 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数． (2)含参数的函数求最值可用： ①按____________分类； ②按____________分类． 3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形： (1)加速度是速度关于________的导数； (2)线密度是质量关于________的导数； (3)功率是功关于________的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数； (5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数． 4．N 型曲线与直线y ＝k 的位置关系问题如图，方程f (x )＝0有三个根x 1，x 2，x 3时，极大值f (a )＞0且极小值f (b )＜0.曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠： 1．02．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性极值点3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间 (6)产量 4．＜ ＞ ＝ ＝函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增．故选B.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是________．解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ＜0)在区间(1，2)是增函数，则a 的取值范围是________．解：f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0.类型一 函数单调性的进一步讨论已知实数a ＞0，函数f (x )＝a (x －2)2＋2ln x .(1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性； (2)若f (x )在区间[1，4]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－4x ＋4＋2ln x ，f ′(x )＝2x －4＋2x ＝2（x －1）2x，∵x ＞0，∴f ′(x )≥0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f ′(x )＝2ax －4a ＋2x ＝2ax 2－4ax ＋2x，又f (x )在区间[1，4]上是增函数，∴f ′(x )＝2ax 2－4ax ＋2x≥0对x ∈[1，4]恒成立，即2ax 2－4ax ＋2≥0对x ∈[1，4]恒成立，令g (x )＝2ax 2－4ax ＋2，则g (x )＝2a (x －1)2＋2－2a ，∵a ＞0，∴g (x )在[1，4]上单调递增，只要使g (x )min ＝g (1)＝2－2a ≥0即可，∴0＜a ≤1.点拨：函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．设函数f (x )＝xe kx(k ≠0)．(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx.若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k .(2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增， ∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx≥0在(－1，1)内恒成立，∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0， 解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．类型二 极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．若a ＞0，则x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下点拨：本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.；单调递增区间是(k －1，＋∞)，(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e .类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝ex 有唯一公共点．解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0.(2)证法一：设g (x )＝e x－ex ，曲线y ＝e x与y ＝ex 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －ex 零点的个数．∵g ′(x )＝e x－e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －ex ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝ex 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎪⎫由于方程e x ＝ex 等价于x ex ＝1e .设h (x )＝x ex ，分析方法类似证法一．点拨：本题通过作差或作商构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx.∵f ′(x )＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e )上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e )＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e(仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性、极值可得结论．故选A.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x，当x ∈[0，1]时，求证：(1)f (x )≥1＋x ；(2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]．∵g ′(x )＝e x－1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数，g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x－x －1，x ∈[0，1]．∵h ′(x )＝－xe x－1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x－x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .点拨：①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性、最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x 1＋x ，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．证明：设h (x )＝x 1＋x －ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x＜0，∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，。
2015年高考数学(理)核按钮：第三章《导数》(含解析)
第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择，填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0. ∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程. 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． (2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程； (3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. (2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13x －32. (3)解法一：设切点为(x 0，y 0)， ∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .类型三 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝4x ·(3x ＋1)＋(2x 2－1)·3＝18x 2＋4x －3； (3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ) ′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋2 ′＝－1（x ＋2）2.【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)；(2)y ＝xe x －1(x ≠0)；(3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).解：(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′ ＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2；(3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)] ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.1.弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2＋cos2x B ．3x 2＋cos2x C ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x解：f ′(x )＝3x 2＋(2x ) ′cos2x ＝3x 2＋2cos2x .故选D. 2.已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( ) A ．0 B ．－1C ．－2D ．－3解：∵f ′(x )＝(x －3)＋(x －2)＝2x －5，∴f ′(2)＝－1.故选B.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解：由y ′|x ＝1＝3，得在点P (1，12)处的切线方程为3x －y ＋9＝0，令x ＝0，得y ＝9，故选C.4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解：∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ＞0，x ＞0，∴x －2＞0，解得x ＞2.故选C.5.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解：∵y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝a ，∴a ＝1. ∵(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1， 故选A.6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，则曲线在点(0，f (0))处的切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解：∵y ′＝4′·（e x＋1）－4·（e x ＋1）′（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，∴y ′|x ＝0＝－41＋2＋1＝－1.故选D.7.曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x－1，则切点P 0的坐标是________________.解：∵y ′＝3x 2＋1，又∵3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. ∴切点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故填(1，0)或(－1，－4)．8.(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9.求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程.解：设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 10.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数.已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程.解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5.从而切线l 的方程为x －y －2＝0.11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x ＜0时， f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2； ∴当x ＜0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x 0>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝12.故存在x 0＝12满足条件．(2013·福建改编)已知函数f (x )＝x －1＋ae x(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程.解：(1)f ′(x )＝1－aex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae ＝0，解得a＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋0e 1x ＝kx 0－1，① f ′(x 0)＝1－e 1x ＝k ，② ①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.§3.2 导数的应用(一)1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值，极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值，最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根，不等式的解等综合考查，选择，填空，解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.1.函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则__________为函数在[a ，b ]上的最小值， 为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 为函数在[a ，b ]上的最大值，为函数在[a ，b ]上的最小值.(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【自查自纠】 1.单调递减2.(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 极大值 极小值3.(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．不确定解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝x 3＋6x 2＋nx ＋4在x ＝－1时有极值，则n ＝ .解：∵f ′(x )＝3x 2＋12x ＋n ，f ′(－1)＝0， ∴3－12＋n ＝0，得n ＝9.故填9.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝ 处取得极小值.解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间是(0，2)，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．故填2.类型一 导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．若函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下列函数中与f (x )的单调性不可能相同的是()解：当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，只有C 项的单调性与f (x )不同．故选C.类型二 导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得 a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1. 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)， 单调递减区间是[－1，1]．【评析】①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32，x 2＝32，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．已知函数f (x )＝e x －ax ，f ′(0)＝0.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝e x －a ，由f ′(0)＝1－a ＝0，得 a ＝1.(2)∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞0.所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．类型三 导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32.故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，其中a 斜率为2.(1)确定(2)求函数＝x3＋bx，c)处具有公共切线(1)求a(2)求函数＝f′(x)的图象关于直线(1)求实数(2)求函数解：(1)f是边长为60 cm的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点棱柱形状的包装盒，解：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2，0＜x ＜30， S ′＝240－16x ，令S ′＝0，得x ＝15. 当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增； 当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减．所以x ＝15 cm 时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )，0＜x ＜30，V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增； 当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减． 所以x ＝20 cm 时包装盒容积V 最大．【评析】本题主要考查学生的空间想象能力，阅读能力，运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x ＜4， 容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3－46x 2＋120x ， V ′＝12x 2－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．令V ′＝0，得x ＝53或6(舍去)．当0＜x ＜53时，V ′＞0，V 递增；当53＜x ＜4时，V ′＜0，V 递减． 所以高x ＝53 cm 时容器的容积最大．1.用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.2.极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性.(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大.(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3.实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.1.函数f (x )是定义域为R 的可导函数，若f ′(x )＞0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫23，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．∵－1＜12＜23，∴f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫23， 即c ＜a ＜b .故选A.2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是( )解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C. 3.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3) ′e x ＋(x －3)(e x ) ′＝(x －2)e x ，令 f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4.函数f (x )＝(x －1)(x －2)2的极值点为x ＝( )A ．1，2 B.43，2 C.13，1 D.13，43解：f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合导数的符号变化．故选B.5.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.6.(2012·陕西)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A. x ＝12为f (x )的极大值点B. x ＝12为f (x )的极小值点C. x ＝2为 f (x )的极大值点D. x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.7．若函数f (x )＝ax ＋1＋x 在x ＝1处取极值，则a＝________.解：f ′(x )＝－a （x ＋1）2＋1，f ′(1)＝－a4＋1＝0⇒a ＝4.故填4.8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm ，60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解：设长为40 cm 和60 cm 的直角边上对应的矩形边长分别为x cm ，y cm ，则40－x 40＝y60，得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝60x －32x 2，令S ′＝60－3x ＝0，得x ＝20.所以当x ＝20时矩形面积最大，最大面积为600 cm 2.故填600.9.(2013·湖北模拟)已知函数f (x )＝2ax 3－3x 2，其中a ＞0.求证：函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数. 证明：f ′(x )＝6ax 2－6x ＝6x (ax －1)．因为a ＞0且x ＜0，所以f ′(x )＞0.所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．10.已知函数f (x )＝x e -x (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝(1－x )e -x .令f ′(x )＝0，得x ＝1. x在区间(1，＋∞)内是减函数．(2)由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝1e. 11.已知函数f (x )＝ax ＋ln(x ＋1)，a ∈R .(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论f (x )的单 调性.解：f ′(x )＝a ＋1x ＋1.(1)若a ＝2，则f ′(0)＝2＋10＋1＝3，又f (0)＝0，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝3(x －0)，即3x －y ＝0.(2)∵f ′(1)＝0，∴f ′(1)＝a ＋12＝0，得a ＝－12，∴f (x )＝－12x ＋ln(x ＋1)，x ＞－1，f ′(x )＝－12＋1x ＋1＝－（x －1）2（x ＋1），令f ′(x )＝0，得x ＝1.调递减．(2012·福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解：f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc ＝f (0),因为f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，所以f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减．∵a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴a ＜1＜b ＜3＜c ，∴f (1)＞0，f (3)＝f (0)＜0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.故选C.§3.3 导数的应用(二)利用导数来解决函数的单调性，极值与最值问题已经成为热点问题之一.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数，数列，不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度.1.当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.2.可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]. 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出 和____________即可.在此基础上还应注意：(1)结合 可减少比较次数.(2)含参数的函数求最值可用：①按 分类；②按 分类.【自查自纠】 1.02.最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增．故选B.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2 解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是 .解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数g (x )＝e x －3x 在(1，＋∞)上的最小值是 .解：g ′(x )＝e x －3，令g ′(x )＝0，得x ＝ln3，g (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值g (ln3)＝3－3ln3.故填3－3ln3.类型一 函数单调性的进一步讨论设函数f (x )＝x e kx (k ≠0).(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx .若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . (2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增，∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx ≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0， 解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 【评析】①函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；②函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．若函数f (x )＝－x ＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解：∵f ′(x )＝－1＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x ＋2在[－1，＋∞)上恒成立．∴b ≤1.故选C .类型二 极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．所以f (x )的极小值f (a )＝a －a ln a .【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性，极值的一般步骤．第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的．(2013·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x 在区间[t ，＋∞)(t ＞0)上的最小值大于－1e，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(1，e) C.⎣⎡⎭⎫1e ，1 D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解：f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.x所以f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 显然，若t ＞1e ，则f (x )的最小值大于－1e.故选D.类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点. 解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)证法一：设g (x )＝e x －e x ，曲线y ＝e x 与y ＝e x 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －e x 零点的个数．∵g ′(x )＝e x －e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g(x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －e x ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎫由于方程e x ＝e x 等价于x e x ＝1e . 设h (x )＝xe x ，分析方法类似证法一．【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间，极值点，区间端点处的函数值，特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx .∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e)上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e)＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e (仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性，极值可得结论．故选A.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x ，当x ∈[0，1]时.求证： (1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]． ∵g ′(x )＝e x －1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数， g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x ≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x －x －1，x ∈[0，1]． ∵h ′(x )＝－x e x －1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x －x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .【评析】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性，最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x1＋x，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x ).证明：设h (x )＝x 1＋x－ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x ＜0， ∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2.求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量； (2)运用最值.3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.1.函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1－xx，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，0)B ．[1，＋∞)C ．(0，1]D ．(－∞，0)，[1，＋∞)解：令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1.又f ′(1)＝0，所以f (x )在(0，1]上单调递增． 故选C.2.函数f (x )＝43x 3－x 2的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：f ′(x )＝4x 2－2x ＝2x (2x －1)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.所以f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D.3.已知函数f (x )＝mx 3＋12m x ，f ′(1)＝－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解：f ′(x )＝3mx 2＋12m ，由f ′(1)＝3m ＋12m ＝－12，得m 2＋4m ＋4＝0，即(m ＋2)2＝0，故m ＝－2， 故选B.4.函数f (x )＝x (1－x )n 的部分图象如图所示，f (x )在x ＝13处取极值，则n 的值为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2解：f ′(x )＝(1－x )n －nx (1－x )n -1＝(1－x －nx )(1－x )n -1，∵x ＝13为f (x )的极值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，得⎝⎛⎭⎫1－13－n 3·⎝⎛⎭⎫23n －1＝0，∴n ＝2.故选C.5.已知函数f (x )＝e xx，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值也无极小值解：f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝（x －1）e xx 2，x ＞0.令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1为f (x )的极小值点，f (x )无极大值．故选B.6.若对于R 上的可导函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解：当x ＞1时，f ′(x )≥0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故f (x )的最小值为f (1)，必有f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C .7.(2013·山西模拟)函数f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，在点(2，f (2))处的切线方程为 .解：f ′(x )＝2x ＋3f ′(1)，f ′(1)＝2×1＋3f ′(1)，得f ′(1)＝－1，所以f (x )＝x 2－3x ，f ′(x )＝2x －3.代入x ＝2，可知f (2)＝－2，f ′(2)＝1，在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.故填x －y －4＝0.8.(2013·广东改编)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调减区间是 .解：f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜ln2.故填(0，ln2)．9.已知函数f (x )＝12ax 2＋(a －1)x ＋1，a ∈R .(1)求f (x )的图象在(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(1，4)上为减函数，求实数a 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax ＋a －1，f ′(0)＝a －1，f (0)＝1. 所以在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝(a －1)(x －0)，即(a －1)x －y ＋1＝0.(2)∵f (x )在区间(1，4)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在区间(1，4)上恒成立， ∴ax ＋a －1≤0在区间(1，4)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·1＋a －1≤0，a ·4＋a －1≤0， 得⎩⎨⎧a ≤12，a ≤15.因此a ≤15.10.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在R 上有零点，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.所以f (x )的单调减区间是(－∞，ln2)， 单调增区间是(ln2，＋∞)． (2)若f (x )在R 上有零点，则f (x )的最小值f (ln2)≤0，即e ln2－2ln2＋a ≤0，得a ≤2ln2－2.11.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性.解：(1)f ′(x )＝2x ＋ax，x ＞0.因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点． (2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2014届湖北重点中学高三10月阶段性统一考试)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a ＞1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，求b 的取值范围.证明：(1)F (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，F ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a ＞1，当x ∈(0，＋∞)时，a x －1＞0，ln a ＞0，2x ＞0，∴F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知F (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当x ＜0时，a x －1＜0，ln a ＞0，2x ＜0， ∴函数F (x )在(－∞，0)上单调递减．当x 趋近于＋∞或－∞时，F (x )趋近无穷大． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1. 由|F (x )－b 2－3b |－3＝0，得F (x )＝b 2＋3b ＋3或F (x )＝b 2＋3b －3.所以要使函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，只需b 2＋3b ＋3＞1且b 2＋3b －3＞1，即b 2＋3b ＞4.解得b ＜－4或b ＞1.§3.4 定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.3.初步掌握定积分的主要应用：①利用定积分求曲边梯形的面积；②利用定积分求变速直线运动物体的路程；③利用定积分求变力作的功.近几年高考试卷中对定积分的考查主要内容有：定积分的运算，求曲边梯形的面积(或利用曲边梯形的面积计算概率)，定积分的物理应用等，一般为选择，填空题，难度不大.1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f n a b 1)(lim ξ.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，[a ，b ]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 ，近似代替，求和， .2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作 ，即 ⎠⎛abf (x )d x ＝ ＝ .4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线 x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .(3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x轴，曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .【自查自纠】1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量被积式 积分区间 (2)分割 取极限。
【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业：3.3 导数的应用(二)]
§3.3 导数的应用（二）一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 A2．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )．A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案 B4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：A5．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )．A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2解析 y ′＝e －x －x e －x ＝－e －x (x －1)y ′与y 随x 变化情况如下：当x ＝0答案 A6．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22 D.－ln22解析 f ′(x )＝e x －a e －x ，这个函数是奇函数，因为函数f (x )在0处有定义，所以f ′(0)＝0，故只能是a ＝1.此时f ′(x )＝e x －e －x ，设切点的横坐标是x 0，则e x 0－e －x 0＝32，即2(e x 0)2－3e x 0－2＝0，即(e x 0－2)(2e x 0＋1)＝0，只能是e x 0＝2，解得x 0＝ln2.正确选项为A. 答案 A7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x ，∴x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b 2a＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－b2a＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.答案 D二、填空题8．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________．解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2.又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.答案：[3，＋∞)9．函数f(x)＝x2－2ln x的最小值为________．解析由f′(x)＝2x－2x＝0，得x2＝1.又x＞0，所以x＝1.因为0＜x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.答案 110．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由已知条件Δ>0，即36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a>2.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)11．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1 x3，则g′(x)＝－2xx4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 4【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数，同时利用导数的知识来解决. 12．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．解析 g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2. 答案 ln2 三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示．(1)求x 0的值； (2)求a ，b ，c 的值．解析 (1)由f ′(x )随x 变化的情况可知当0(2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a >0由已知条件x ＝1，x ＝2为方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0，的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，－2b 3a＝3，c 3a ＝2，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ： 3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解析：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4， ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. ∴a ＝2，b ＝－4，c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，y 、y ′的取值及变化如下表：∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527. 15．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解析 (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4， 所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)， 又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)． 所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.16．设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．思路分析先求导，通分后发现f′(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x 2＝a＋a2－42.当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a＞2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝f x1－f x2x 1－x2＝1＋1x1x2－a·ln x1－ln x2x1－x2.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·ln x1－ln x2x1－x2.若存在a，使得k＝2－a，则ln x1－ln x2x1－x2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.由x1x2＝1得x2－1x2－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x 2－1x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.【点评】本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准，导致分类不全等。
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A．无极大值点，有三个极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个极大值点，无极小值点 解：f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： ＋ － ＋ f ′(x) － 0 0 0 f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ f(x)有一个极大值点，两个极小值点．故选 C. x－a 8.已知 x＝2 是函数 f(x)＝ 2 的一个极值点，则 x a 的值为( ) 4 2 A．2 B． C． D．1 3 3 2 2 x －2x（x－a） －x ＋2ax 解：f ′(x)＝ ＝ x4 x4 －x＋2a ＝ ， x3 ∵f ′(2)＝0，∴－2＋2a＝0，a＝1.故选 D. 福建改编)如图，曲线 y＝ x与直线 y＝x 9.(2012· 所围成的封闭图形的面积是( )
2
选 B. 3.已知函数 f(x)＝lnx－x，则函数 f(x)的单调减区 间是( ) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(－∞，0)，(1，＋∞) D．(1，＋∞) 1－x 1 解：f ′(x)＝ －1＝ ，x＞0. x x 令 f ′(x)＜0，解得 x∈(1，＋∞)，故选 D. x＋1 4. 曲线 y ＝ 在点 (3 ， 2) 处的切线斜率等于 x－1 ( ) 1 1 A．2 B. C．－ D． －2 2 2 x＋1 x－1＋2 2 解：∵y＝ ＝ ＝1 ＋ ， x－1 x－1 x－1 2 1 ∴y ′＝－ ，∴y ′|x＝3＝－ .故选 C. 2 （x－1）2 3 2 5.曲线 y＝x －3x ＋1 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－3x＋3 D．y＝4x－5 解：∵y ′＝3x2－6x，y ′|x＝1＝－3，且点(1，－1) 在曲线上．∴切线方程为 y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.故选 B. 6.已知函数 f(x)在 R 上可导， 且 f(x)＝x2＋2xf ′(2)， 则 f(－1)与 f(1)的大小关系为( ) A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＞f(1) C．f(－1)＜f(1) D．以上答案都不对 解：∵f ′(x)＝2x＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得 f ′(2)＝－4， ∴f(x)＝x2－8x， ∴f(－1)＝9，f(1)＝－7，f(－1)＞f(1)．故选 B. 7.函数 f(x)的定义域为 R， 其导函数 f ′(x)的图象如 图所示，则函数 f(x)( )
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.函数 y＝xex 的导数 f ′(x)等于( ) A．(1＋x)ex B．xex C．ex D．2xex 解：f ′(x)＝x ′· ex＋x· (ex) ′＝(1＋x)ex.故选 A. 1 1 2.过抛物线 y＝x2 上一点 P 2，4的切线的斜率是 ( ) 3 A. B.1 C. 3 D.不存在 3 1 解：y ′＝2x，y ′| 1 ＝2× ＝1，所求斜率为 1.故 2 x
1 解得 a＝－ ，b＝1. 100 x2 101 x 则 f(x)＝－ ＋ x－ln (x≥10)． 100 50 10 x2 51 x (2)设 T(x)＝f(x)－x＝－ ＋ x－ln (x≥10)． 100 50 10 －x 51 1 （x－1）（x－50） 则 T ′(x)＝ ＋ － ＝－ . 50 50 x 50x 令 T ′(x)＝0，得 x＝1(舍)或 x＝50. T(x)在[10，50)上是增函数；在(50，＋∞)上是减 函数， ∴x＝50 为 T(x)的极大值点． 即该景点改造升级后利润 T(x)的最大值为 T(50) ＝24.4 万元． 全国新课标Ⅰ改编)设函数 f(x)＝ 22.(12 分)(2013· 2 x x ＋ax＋b，g(x)＝e (cx＋d).若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝ g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x ＋2. (1)求 a，b，c，d 的值； (2)若 x≥－1 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围. 解： (1)由已知得 f(0)＝2， g(0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0) ＝4， 而 f ′(x)＝2x＋a，g ′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2， g(x)＝2ex(x＋1)． 当 x＝－1 时，f(－1)＝－1，g(－1)＝0， 由－1≤k· 0，得 k∈R. 当 x＞－1 时， x2＋4x＋2 x2＋4x＋2≤k· 2ex(x＋1)等价于 x ≤k. 2e （x＋1） x2＋4x＋2 设 h(x)＝ x ， 2e （x＋1） (2x＋4)· 2ex(x＋1)－(2x＋4)ex· (x2＋4x＋2) h ′(x)＝ 2x 2 4e （x＋1） －x（x＋2）2 ＝ x . 2e （x＋1）2 所以 h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单 调递减， h(x)在(－1，＋∞)上的最大值 h(0)＝1. 由 h(x)≤k，得 k≥1. 综上所述，k 的取值范围为[1，＋∞)．
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25 遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋ (t 的 1＋t 单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车 继续行驶的距离(单位：m)是( ) 11 A．1＋25ln5 B．8＋25ln 3 C．4＋25ln5 D．4＋50ln2 25 8 解： 令 v(t)＝7－3t＋ ＝0， 解得 t＝4， t＝－ (舍 3 1＋t 去)，在此期间汽车继续行驶的时间为 4 s，距离为 25 3 S ＝ 4 v(t)dt ＝ 4 (7 － 3t＋ )dt ＝ [7t － t2 ＋ 25ln(1 ＋ 2 1＋t 3 2 t)]|4 4－ × 4 ＋25ln(1＋4)＝4＋25ln5.故选 0＝7×
1 A. 4
1 1 1 B. C. D. 5 6 7 y＝ x， 解：解方程组 得交点为(0，0)，(1，1)． y＝x. 所求面积 S＝1( x－x)dx＝1 xdx－1xdx 2 1 2 1 1 ＝ x |0－ x2|1 ＝ － ＝ .故选 C. 3 2 0 3 2 6 10.设 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)， 则 f(x)在 R 上 为增函数的充要条件是( ) A．b2－4ac≥0 B．b＞0，c＞0 C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0 2 解：f ′(x)＝3ax ＋2bx＋c，∵a＞0，∴3a＞0， 又∵f(x)在 R 上为增函数，∴f ′(x)≥0 恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4× 3ac≤0，即 b2－3ac≤0.故选 D. 湖北)一辆汽车在高速公路上行驶， 11.(2013· 由于
解：因为函数 f(x)在 x＝－2 处取得极小值，可得 f ′(－2)＝0， 且当 x∈(a， －2)(a<－2)时， f(x)单调递减， 即 f ′(x)<0；当 x∈(－2，b)(－2＜b＜0)时，f(x)单调递 增，即 f ′(x)>0.所以函数 y＝xf ′(x)在 x∈(a，－2)内的 函数值为正，在区间(－2，b)内的函数值为负，由排 除法可得只有选项 C 符合，故选 C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13.函数 y＝lnx 的图象在(1，0)点处的切线方程 是 . 1 解：∵y ′＝ ，∴y ′|x＝1＝1. x ∴曲线在(1，0)点处的切线方程是 y－0＝1· (x－ 1)，即 x－y－1＝0.故填 x－y－1＝0. 广东)若曲线 y＝kx＋lnx 在点(1，k)处的 14.(2013· 切线平行于 x 轴，则 k＝ . 1 解：∵y ′＝k＋ ，∴y ′|x＝1＝k＋1. x ∵y ′|x＝1＝0，∴k＋1＝0，得 k＝－1.故填－1. 15.已知函数 f(x)＝3x2＋2x＋1， 若1 f(x)dx＝2f(a)
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C. 2 重庆)设函数 f(x)在 RБайду номын сангаас上可导，其导函数 12.(2012· 为 f ′(x)，且函数 f(x)在 x＝－2 处取得极小值，则函数 y＝xf ′(x)的图象可能是( )
1 ＋x)|1 所以 2(3a2＋2a＋1)＝4⇒ a＝－1 或 a＝ . －1＝4， 3 1 故填－1 或 . 3 16.函数 f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数， 极小值是负数，则 a 的取值范围是________. 解：f ′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，a＞0. 令 f ′(x)＝0，得 x＝± a. 分析单调性知，极大值为 f(－a)，极小值为 f(a)． 由极大值 f(－a)＝－a3＋3a3＋a＝(2a2＋1)a＞0， 得 a∈R； 由极小值 f(a)＝a3－3a3＋a＝(1－2a2)a＜0， 2 得 1－2a2＜0，解得 a＞ . 2 2 2 ，＋∞. 因此 a＞ .故填 2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． x2＋a 17.(10 分)函数 f(x)＝ (a∈R). x＋1 1 (1)若 f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 ，求实数 2 a 的值； (2)若 f(x)在 x＝1 处取得极值，求实数 a 的值. 2x（x＋1）－x2－a x2＋2x－a 解：(1)f ′(x)＝ ＝ ， （x＋1）2 （x＋1）2 1 若 f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 ， 2 3－ a 1 1 则 f ′(1)＝ .所以 f ′(1)＝ ＝ ，得 a＝1. 2 4 2 (2)若 f(x)在 x＝1 处取得极值， 3－a 则 f ′(1)＝0，即 ＝0，得 a＝3. 4 18.(12 分)已知函数 y＝x3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2 处有极值，且其图象在 x＝1 处的切线斜率为－3. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值的差. 解：(1)∵y ′＝3x2＋6ax＋3b， 由题意得 y ′|x＝2＝12＋12a＋3b＝0， y ′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3， 解得 a＝－1，b＝0，所以 y＝x3－3x2＋c， y ′＝3x2－6x. 令 y ′＞0，得 x＜0 或 x＞2， ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(0，2)． (2)由(1)可知函数在 x＝0 处取得极大值 c， 在 x＝2 处取得极小值 c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为 c－(c－4)＝4. 延边州质检)已知函数 f(x)＝x2＋ 19.(12 分)(2012· ax－lnx，a∈R. (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在[1， 2]上是减函数， 求实数 a 的取