2019-2020学年安徽省六安一中高二下学期期中数学试卷(文科) (解析版)
安徽省六安一中2019_2020学年高二数学下学期期中试题理
安徽省六安一中2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足2iz i =-+，则在复平面内复数z 表示的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知函数21()cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（ ）．A ．16 B 3．13 D ．234．函数21()ln 2f x x x =-的导函数为()f x '，则()0f x '>的解集为（ ）． A ．(,1)-∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,)+∞ 5．已知函数()2()ln xf x ef e x e'=-（e 是自然对数的底数），则()f x 的极大值为（ ）． A ．21e - B ．1e- C ．1 D ．2ln 2 6．若函数()ln xf x a x e =-有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,)e -+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(1,)e 7．用数学归纳法证明不等式111131214n n n n +++>+++…的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）．A ．增加了一项12(1)k +B ．增加了两项121k +，12(1)k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项11k + D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项11k +8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）． A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 9．已知过点(,0)A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,4)(0,)-∞-⋃+∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)-∞-10．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(,)i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则(21,21)a =（ ）． 123654789101514131211a a a a a a a a a a a a a a a………………………A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯ 11．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，且()f x 的图象是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()cos ()sin 0f x x f x x '-<，若1()cos 23f t t f π⎛⎫<⎪⎝⎭，则t 的取值范围是（ ）． A ．,23ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．若不等式32ln(1)230a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2780,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2780,2ln 2ln5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2780,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．27,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．定积分)232sin x x dx -+⎰的值是________．14．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e i z i π+⋅=+，则||z =________． 15．已知()(sin )xf x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________． 16．已知函数()ln 2xf x e x =--．下列说法正确的是________．①()f x 有且仅有一个极值点；②()f x 有零点；③若()f x 极小值点为0x ，则()0102f x <<；④若()f x 极小值点为0x ，则()0112f x <<． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知a ，b ，c 均为正实数．（1）用分析法证明：2a b +≤； （2）用综合法证明：若1abc =，则(1)(1)(1)8a b c +++≥． 18．（本小题满分12分） 观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想． 19．（本小题满分12分） 已知函数ln ()xf x x=． （1）求()f x 在(1,0)处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）比较20192018与20182019的大小． 20．（本小题满分12分）“既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C （与A ，B 不重合），沿AC 修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧．．．．．）种植绿化带；再沿弧BC 修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧．．．．．）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计，设BAC θ∠=（弧度），将绿化带的总长度表示为θ的函数()f θ，求绿化带的总长度()f θ的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x mx =-，m R ∈．（1）若()f x 在点(1,(1))A f 处的切线与直线210x y ++=垂直，求m 的值； （2）设函数21()()2H x x f x =+，且函数()H x 的两个极值点为1x ，2x ，求证：()()123H x H x +<-； （3）若对于[1,)x ∀∈+∞，()0xf x m +≤恒成立，求正实数m 的取值范围．六安一中2019~2020年度第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案13．2π 14．1 15．1a ≥- 16．①③ 17．（Ⅰ）证明：因为0a >，0b >，所以02a b+>，要证明2a b +≤22222a b a b ++⎛⎫ ⎪≤⎝⎭， 即证22()2()a b a b ++≤，即证2220a b ab +-≥，即证2()0a b -≥． 因为不等式2()0a b -≥显然成立，从而原不等式成立． 5分 （Ⅱ）因为a ，b ，c 均为正实数，则由基本不等式，得1a +≥1b +≥，1c +≥所以(1)(1)(1)a b c +++≥1abc =，所以(1)(1)(1)8a b c +++≥． 10分18．【解析】（1）111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++……． 4分 （2）证明：<1>当1n =时，左边11122=-=，右边12=，左边=右边∴当1n =时，等式成立； 5分 <2>假设当n k =时等式成立，即111111111234212122k k k k k-+-++-=+++-++…… 则当1n k =+时 左边111111112342122122k k k k =-+-++-+--++ (11111)1222122k k k k k =++++-++++ (1111123)21122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭…1111232122k k k k =++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立 11分由<1><2>可知，对一切n N ∈，等式都成立． 12分 19．【解析】（1）由题可得：(1)0f =，21ln ()xf x x-'=，所以(1)1f '=， 所以所求切线方程为：01y x -=-，即：1y x =- 4分 （2）21ln ()xf x x -'=，当x e >时，()0f x '<，当0x e <<时，()0f x '> 所以函数()f x 在区间(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减． 8分 （3）因为函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，所以(2018)(2019)f f >， 即：ln 2018ln 201920182019>，整理得：2019ln20182018ln2019>， 即20192018ln 2018ln 2019>，由ln y x =在(,)e +∞递增可得：2019201820182019>． 12分20．解：设圆心为O ，连结OC ，BC ．在直角ABC 中，cos 100cos AC AB θθ==，BC 的弧长502100θθ=⨯=； 2分所以()200cos 100f θθθ=+，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 6分 ()200cos 100f θθθ'=-+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f θ'=，可得1sin 2θ=，所以6πθ=． 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，()f θ单调递增； 当,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'<，()f θ单调递减； 所以max 350()20010010036263f f πππθ⎛⎫==⨯+⨯=⎪⎝⎭．所以绿化带的总长度()f θ的最大值为503π+米． 21．（1）定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x+'=+=①若0a ≥，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞↑②若0a <，则1()a x a f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=，()f x 在10,a ⎛⎫-↑ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞↓ ⎪⎝⎭综上知①0a ≥，()f x 在(0,)+∞↑，②0a <，()f x 在10,a ⎛⎫-↑ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞↓ ⎪⎝⎭6分 （2）不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在(0,)+∞恒成立，令ln 1()x e x g x x --=，0x >，则2(1)ln ()x x e xg x x -+'=， 8分令()(1)ln xh x x e x =-+，0x >，1()0x h x xe x'=+>．所以()y h x =在(0,)+∞单调递增，而(1)0h =，所以(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增． 10分所以在1x =处()y g x =取得最小值(1)1g e =-，所以1a e ≤-，即实数a 的取值范围是{1}aa e ≤-∣． 12分 22．（1）∵()ln f x x mx =-，则1()f x m x=-， 直线210x y ++=的斜率为12k =-，由题意可得(1)12f m '=-=，解得1m =-， 所以，()ln f x x x =+，则(1)1f =，则点(1,1)A ，因此，所求切线的方程为12(1)y x -=-，即210x y --=； 3分（2）∵2211()()ln 22H x x f x x mx x =+=-+，所以，211()x mx H x x m x x -+'=-+=，函数()y H x =的定义域为(0,)+∞由题意设方程210x mx -+=的两根分别为1x 、2x ，则21212400210m x x m m x x ⎧∆=->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩，()()221211122211ln ln 22H x H x x mx x x mx x +=-++-+ ()221212121ln 2x x m x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦ ()()21212121212ln 2x x x x m x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦()2221121(2)22m m m m =--=--> ∴()()123H x H x +<- 7分（3）[1,)x ∀∈+∞，2()ln 0xf x m x x mx m +=-+≤恒成立，即ln 0mx mx x-+≤恒成立， 令()ln mg x x mx x=-+，其中1x ≥，且(1)0g =，则()(1)g x g ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立， 2221()m mx x mg x m x x x-+-'=--= ①当0m ≤时，对任意的[1,)x ∈+∞，()0g x '>，此时，函数()y g x =在[1,)+∞上单调递增，此时，()(1)0g x g ≥=，不合乎题意；②当0m >时，则214m ∆=-． （ⅰ）若0∆≤，则12m ≥，对[1,)x ∀∈+∞，()0g x '≤，此时，函数()y g x =在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g x g ≤=，合乎题意；（ⅱ）若0∆>，则102m <<， 令()0g x '=，得20mx x m -+=，解得10x '=>，2x '=，由韦达定理得121x x ''=，则必有121x x ''<<，当11x x <<'时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增；当1x x '>时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减．所以，()max 1()(1)0g x g x g '=>=，不合乎题意．综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 12分。
六安中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题文含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定．
【详解】“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”．
故选:D。
【点睛】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．属于基础题。
4.已知函数 ,其导函数 的图象如图所示，则 （ ）
A。 在 上为减函数B。 在 处取极小值
C. 在 上为减函数D。 在 处取极大值
【答案】C
【解析】
【分析】
由导函数图象与原函数图象关系可解.
【详解】由导函数图象知, 在 和 上单增，在 , 上单减，在在 处取极大值，在 处取极小值.
故选：C。
【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值
（3）依据题意可得所有可能结果，然后计算符合要求的可能结果数，最后利用古典概型的计算方法可得结果.
【详解】（1)填表如下：
合计
12
24
36
7
7
14
合计
19
31
50
（2）由表可知， 。
故没有95％的把握认为患者的两项生理指标 和 有关系；
（3)设集合 , .
设甲的康复时间为 ，乙的康复时间为 ，
则选取病人的康复时间的基本事件空间为 ,
6.函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为
A。 （ 1,1]B. （0，1］C. [1，+∞）D. （0,+∞)
【答案】B
【解析】
对函数 求导，得 （x>0），令 解得 ，因此函数 的单调减区间为 ，故选B
安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)答案
（3）设集合 M {10,11,12,13,14,15,16} ，N {12,13,14,15,16,17, 25} ．
②当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x a ； 由 f (x) 0 得 x a ；由 f (x) 0 得 x a ； f (x) 在 (0 ， a] 上为减函数，在 (a, ) 上为增函数.
又 a 0 ，所以 a x 3a ， 当 a 1时，1 x 3 ，
对于
q：
x x
3 2
0
等价于
x 2 0
x 2x
3
0
，解得：
2
x
3
，
（2）由表可知，
K2
n(ad bc)2
50(247127)2 1.1883.841．
(ab)(cd)(ac)(bd) 19311436
故没有 95%的把握认为患者的两项生理指标 x 和 y 有关系；
当1 a 0 ，即 a 1时，因为 f a ea a a ea 0 ，
所以 f x 在 ，0 内只有一个零点；
由（1）得 ex 2x ，令 x a ，得 ea 2a ，
所以 f a ea a a ea 2a 0 ，于是 f x 在 0, 内有一个零点；
因此，当 a 1时， f x 在 R 上有两个零点.
ab
要证
2ab
，
2 ab
只要证， (a b)2 4ab ，
x 1.7
7
7
14
合计
19
31
50
21.（1）由题意得
f
(x) 的定义域为 (0, ) ，
f (x)
1 x
a x2
x) 0 ，故 f (x) 在 (0, ) 上为增函数；
2019-2020学年六安一中高二下学期期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年六安一中高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若A =[x|x 2−2x <0]，B =[x|1x ≤1]，则A ∩B =( ) A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) D. [1,2)2. 2、在复平面内，复数的共轭复数的对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若奇函数f(x)在[1,3]上是增函数，且最小值是1，则它在[−3,−1]上是( )A. 增函数，最小值−1B. 增函数，最大值−1C. 减函数，最小值−1D. 减函数，最大值−14. p ：|x −m|<1，q ：x 2−8x +12<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A. 3<m <5B. 3≤m ≤5C. m >5或m <3D. m ≥5或m ≤35. 已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( ) A. 1x −1y >0B. (12)x −(12)y <0 C. log 2x +log 2y >0 D. sinx −siny >0 6. 设f(x)={1+log 2(2−x),(x <1)2x−1,(x ≥1)，则f(−6)+f(log 212)的值为( ) A. 8 B. 9C. 10D. 12 7. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 3+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，若a ，b ∈R ，且a +b >0，ab <0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒等于0B. 恒小于0C. 恒大于0D. 无法判断 8. 函数f(x)=12x 2−ln|x|−1的大致图象为( )A. B.C. D.9. 设函数f(x)={log 2x,x >02x ,x ≤0，若函数g(x)=f(x)−k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. k <0 B. 0<k <1 C. 0<k ≤1 D. k >110. 已知函数f(x)={x +1,x <1x 2+ax,x ≥1，若f(f(0))=4a ，则实数a 的值等于( ) A. 13 B. 2 C. 45 D. 911. 已知某市2013−2019年全社会固定资产投资以及增长率如图所示，则下列说法错误的是( )A. 从2013年到2019年全社会固定资产的投资处于不断增长的状态B. 从2013年到2019年全社会固定资产投资的平均值为713.6亿元C. 该市全社会固定资产投资增长率最高的年份为2014年D. 2016年到2017年全社会固定资产的增长率为012. 函数f(x)=log 6|x|−sinπx 的零点个数为( )A. 10B. 11C. 12D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∀x >1，x 2−2x +1>0的否定是______ ．14. 定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)，对任意的x ∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log 2x]=6，若x 0是方程f(x)−f′(x)=4的一个解，且x 0∈(a −1,a)(a ∈N ∗)，则a = ______ ．15. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，若实数a 满足f(a −1)>f(1)，则a 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)=log 13[(13)2x −2⋅(13)x −2]，则满足f(x)<0的x 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. ﹙本题14分﹚设命题p：指数函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax 2+ax+1>0对x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=lnx−(x−1)2，g(x)=x−1．2(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若存在x0>1，当x∈(1,x0)时，恒有f(x)>mg(x)，求实数m的取值范围．19.某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与患龋齿的关系”，对该校某年级700名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有60名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名，按时刷牙但患龋齿的学生有140名．(1)能否在犯错概率不超过0.01的前提下，认为该年级学生的按时刷牙与患龋齿有关系？(2)4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到“负责收集数据组”并且工作人员乙分到“负责数据处理组”的概率．附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k 0)0.0100.0050.0016.6357.87910.828K020.(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；(II)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．21.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x千件2356成本y万元78912(1)画出散点图．(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)22.已知函数f(x)=−2sin2x−cosx−2(x∈R)．(1)求函数f(x)的值域；]时．不等式f(x)≤m2−3m−7恒成立．求实数m的取值范围．(2)若x∈[0,π2【答案与解析】1.答案：D解析：解：由A中的不等式变形得：x(x−2)<0，解得：0<x<2，即A=(0,2)，由B中的不等式变形得：1x −1≤0，即1−xx≤0，整理得：x−1x≥0，解得：x<0或x≥1，即B=(−∞,0)∪[1，+∞)，则A∩B=[1,2)．故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题．解：∵i(1+2i)=i+2i2=−2+i，∴i(1+2i)的共轭复数为−2−i，∴i(1+2i)在复平面内对应的点(−2,−1)位于第三象限，故选C．3.答案：B解析：解：由奇函数在对称区间上的单调性相同，∴f(x)在[−3,−1]上是增函数又∵f(−1)=−f(1)=−1，函数f(x)在[−3,−1]上是增函数，最大值−1故选：B．由奇函数在对称区间上的单调性相同及f(−x)=−f(x)得到结论．本题主要考查奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．4.答案：B解析：结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法先化简p ，q 是解决本题的关键． 解：由|x −m|<1得m −1<x <m +1，由x 2−8x +12<0得2<x <6，若q 是p 的必要不充分条件，则{m −1≥2m +1≤6得3≤m ≤5， 故选：B ．5.答案：B解析：解：因为x >y >0，所以1x <1y ，故A 错误，因为y =(12)x 为减函数，故B 正确，因为当1>x >y >0时，log 2x +log 2y =log 2xy <0，故C 错误，因为当x =π，y =π4时，sinx −siny <0，故D 错误，故选：B ．根据不等式的性质判断A ，根据特殊值，判断C ，D ，根据指数函数的性质判断B本题考查不等式大小的比较，关键是掌握函常用函数的性质，属于基础题． 6.答案：C解析：解：∵f(x)={1+log 2(2−x),(x <1)2x−1,(x ≥1)， ∴f(−6)=1+log 28=4，f(log 212)=2log 212÷2=6，∴f(−6)+f(log 212)=4+6=10．故选：C ．由已知得f(−6)=1+log 28=4，f(log 212)=2log 212÷2=6，由此能求出f(−6)+f(log 212)． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.答案：C解析：解：令m 2−m −1=1，解得m =2或m =−1，当m =2时，f(x)=x 3；当m =−1时，f(x)=x −3．f(x)在(0,+∞)上为增函数，故f(x)=x 3，a +b >0，ab <0，可知a ，b 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f(a)+f(b)恒大于0．故选：C ．利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性求解即可．本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力．8.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及函数值的对应性是解决本题的关键，难度不大．结合函数值的对应性，以及极限思想进行排除即可．解：函数的定义域为{x|x ≠0}，f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x →+∞，f(x)→+∞，排除A ，D ，f(1)=12−1=−12>−1，∴排除B ， 故选：C ．9.答案：C解析：解：由f(x)−k =0得f(x)=k ，作出函数f(x)的图象，∵f(x)={log 2x,x >02x ,x ≤0， ∴作出函数f(x)的图象，则由图象可知，要使函数g(x)=f(x)−k 存在两个零点，则等价为方程f(x)=k 有两个实根，则0<k ≤1，故选：C由f(x)−k =0得f(x)=k ，作出函数f(x)的图象，由数形结合即可得到结论．本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合的数学思想．10.答案：A解析：解：由函数f(x)={x +1,x <1x 2+ax,x ≥1， 可得f(0)=1，∴f[f(0)]=f(1)=1+a =4a∴a =13，故选：A ．先由已知函数可求出f(0)，然后根据f(0)的值与1的大小比较进一步确定函数的对应关系，即可求解．本题主要考查了分段函数的函数值的求解的应用，属于基础试题． 11.答案：D解析：解：因为从2013年到2019年全社会固定资产的投资分别为415.8，506.1，590.8，687.7，800.8，939.9，1054.1，所以A 项正确；因为415.8+506.1+590.8+687.7+800.8+939.9+1054.17=713.6.所以B 项正确；2014年的全社会固定资产投资增长率为21.7%，为2013年到2019年的最大值，故C 项正确； 2016年和2017年全社会固定资产投资的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 故选：D ．根据所给统计图逐一分析即可本题考查统计的相关知识，考查学生合情推理能力，属于基础题．12.答案：C解析：解：因为函数f(x)=log6|x|−sinπx的零点的个数等价于函数y=log6|x|与y=sinπx图象交点的个数．画出函数y=log6|x|与y=sinπx的图象如图：由图象可知，共12个交点，故选：C．函数f(x)=log6|x|−sinπx的零点的个数⇔函数y=log6|x|与y=sinπx图象交点的个数．画出函数y=log6|x|与y=sinπx的图象即可．本题考查了函数与方程的思想、数形结合思想，是中档题．13.答案：∃x>1，x2−2x+1≤0解析：解：全称命题∀x>1，x2−2x+1>0，由全称命题的否定是特称命题得∀x>1，x2−2x+1>0的否定是：∃x>1，x2−2x+1≤0．故答案为：∃x>1，x2−2x+1≤0．根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，否定结论即可得到所求．本题主要考查了命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．14.答案：2解析：解：根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=6，又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，则f(x)−log2x为定值，设t=f(x)−log2x，则f(x)=t+log2x，又由f(t)=6，可得t+log2t=6，，可解得t=4，故f(x)=4+log2x，f′(x)=1xln2又x0是方程f(x)−f′(x)=4的一个解，∴x 0是函数F(x)=f(x)−f′(x)−4=log 2x −1xln2的零点，分析易得F(1)=−1ln2<0，F(2)=1−12ln2=1−1ln4>0，故函数F(x)的零点介于(1,2)之间，∴a =2，故答案为：2．由题意可得f(x)−log 2x 为定值，设为t ，代入可得t =4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F(x)=f(x)−f′(x)−4=log 2x −1xln2有零点，易得F(1)<0，F(2)>0，由零点的判定可得答案．本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，考查了学生的灵活应变能力，属中档题． 15.答案：(0,2)解析：解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，故函数在(−∞,0)上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，由f(a −1)>f(1)可得|a −1|<1，所以−1<a −1<1即0<a <2．故答案为：(0,2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．16.答案：(−∞,−1)解析：本题考查的知识点为对数和指数不等式的解法．直接利用对数不等式进行变换，将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质求出结果．解：函数f(x)=log 13[(13)2x −2⋅(13)x −2]，f(x)<0， 则：log 13[(13)2x −2⋅(13)x −2]<0=log 131， 则：(13)2x −2⋅(13)x −2>1，设(13)x =t >0，则：t 2−2t −3>0，解得：t>3或t<−1(舍去)，)x>3，故：(13解得：x<−1．故不等式的解集为：x∈(−∞,−1)．故答案为：(−∞,−1)．17.答案：解∵y=在R上单调递增，∴p：a>1；又不等式∀对x∈R恒成立，当a=0时，不等式恒成立；当a≠0时∴0<a<4，∴q：0≤a<4.而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个真，一个假．①若p真q假，则a≥4；②若p假q真，则0≤a≤1．所以a的取值范围为[0,1]∪[4,+∞)．解析：本题主要考查且、或、非复合真假的判断。
安徽省六安一中2019-2020学年高二数学下学期期中试题文【含答案】
安徽省六安一中2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{lg(2)},2,x A x y x B y y x R ==-==∈∣∣，则A B 等于（ ）A ．∅B ．RC ．{2}xx >∣ D ．{0}x x >∣ 2．已知复数z 满足(1)3i z i +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则|1|z -=（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．53．下列函数为奇函数且在定义域上为增函数的是（ ） A ．||y x x = В．1y x =-C ．2xy = D ．1y x x=+ 4．不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．2x <- B ．0x <或2x > C ．0x ≥ D ．12x ≤-或3x ≥ 5．设120.214,,lg 52x y z -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）А．z x y << B ．z y x << C ．y z x << D ．x z y << 6．已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦С．[1,3] D ．[3,9]7．已知函数23x y a-=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()3||()2x f x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的函数()f x 满足：(2)(2)f x f x +=-，当2x ≥时，0,2()lg(2),2x f x x x =⎧=⎨->⎩，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)(3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞ D ．(3,)+∞10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在(0,1)上()3xf x =，则()3log 54f =（ ） A ．32 B ．23- C ．23 D ．32- 11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是；设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和()*,,,d a b c d c ∈N ，则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<．若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．4715 B ．6320 С．227 D ．782512．设函数121,1()4,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若互不相等的实数,,p q r 满足()()()f p f q f r ==，则222p q r ++的取值范围是（ ）A ．(8,16)B ．(9,17)C ．(9,16)D ．1735,22⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“0,210x x ∃>-≤”的否定是________．14．已知函数425(),()f x ax bx c f x '=++是()f x 的导函数，若(2)1f '=-，则(2)f '-=__________．15．已知()()ln 1(0)axf x e bx b =+-≠是偶函数，则ab =___________． 16．已知函数(1)2y f x =+-为奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 图象的交点为()()()112288,,,,,,x y x y x y ⋯，则()()128128y y y x x x ++-++=_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知0m >，命题p ：函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，命题q：函数()g x =的定义域为R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x ax b =++在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=． （1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间和最小值． 19．（本小题满分12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶100户贫困户．工作组对这100户村民的贫困状况和家庭成员受教育情况进行了调查：甲村55户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的只有10户，乙村45户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的有20户．（1）完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关；（2）在被帮扶的100户贫困户中，按分层抽样的方法从家庭成员接受过中等及以上教育的贫困户中抽取6户，再从这6户中采用简单随机抽样的方法随机抽取2户，求这2户中甲、乙两村恰好各1户的概率．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当12a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）一只昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现收集了6组观测数据与下表中．由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线21c xy c e =⋅的周围．令ln z y =，经计算有：（1）试建立z 关于x 的回归直线方程并写出y 关于x 的回归方程21c xy c e=⋅．（2）若通过人工培育且培育成本()g x 与温度x 和产卵数y 的关系为()(ln 9.97)180g x x y =⋅-+（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？注：对于一组具有线性相关关系的数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归直线ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘公式分别为()121ˆˆˆ,ni ii ni i u y nuvv u u u βαβ==-==--∑∑． 22．（本小题满分12分）已知函数()2221()log 4log ,,4,8f x x x m x m ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦为常数．（1）设函数()f x 存在大于1的零点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()f x 有两个互异的零点,αβ，求实数m 的取值范围，并求αβ⋅的值．六安一中2019~2020年度第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考答案13．0,210x x ∀>-> 14．1 15．2 16．8 17．解：命题p ：令()2,()u x mx u x =-在[0,1]x ∈上单减，1m ∴>．又min ()0,()(1)20,12u x u x u m m >∴==->∴<< 3分 命题q ：由()g x =的定义域为R ，得220x x m ++>恒成立，440,1m m ∴∆=-<∴> 6分p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ∴、一真一假．（1）若p 真q 假，则1210m m m <<⎧⎪≤⎨⎪>⎩m ∴无解． （2）若p 假q 真，则 1 210m m m m ≤≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或，2m ∴≥，综上所述，[2,)m ∈+∞ 10分 18．解：（1）()ln ,()ln 1f x x x ax b f x x a '=++∴=++又∵函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为12210,(1)2x y f --==， (1)111(1)2f a f a b '⎧=+=⎪∴⎨=+=⎪⎩，解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 6分 （2）由（1）可得：()1ln f x x '=+， 当10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()f x f x '≤单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，()f x ∴的单调减区间为10,,()f x e ⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，min 111()2f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 12分19．解：（1）根据题中的数据，填写列联表如下：因为22100(45201025)8.1297.87955457030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关 6分 （2）根据题意，在抽取的6户中，乙村4户，甲村2户，分别设为1234,,,a a a a 和12,b b ，从这6户中随机抽取2户得到的样本空间为()()()()()1213141112,,,,,,,,,a a a a a a a b a b ， ()()()()()2324212234,,,,,,,,,a a a a a b a b a a ，()()()()()3132414212,,,,,,,,,a b a b a b a b b b ，样本空间数是15，其中这2户中恰好为1户甲村、1户乙村的样本数是8， 因此这2户中恰好为1户甲村、1户乙村的概率是815P =12分 20．解：（1）当12a =-时，111()1239xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令211,0,1,132xt x t y t t ⎛⎫=<∴>=-+ ⎪⎝⎭；2112y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，32y ∴>，即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立．∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数” 6分（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令1,0,(0,1]3xt x t ⎛⎫=≥∴∈ ⎪⎝⎭．214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，：只需min3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，设3()g t t t=-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =．∴实数a 的取值范围为(,2]-∞ 12分 21．解：（1）由21c xy c e=⋅得21ln ln y c x c =+．令ln z y =，得21ln z c x c =+．由表格得()()66116526.602619.5019.6iii ii i x x z z x z x z ==--=-⋅=-⨯=∑∑．219.60.2870c ∴==，又21119.50ln ,ln 0.2826 4.036z c x c c =+∴=-⨯=-． 0.28 4.03ln z x y ∴=-=，0.28 4.03x y e -∴= 6分（2）2()(0.28 4.039.97)1800.2814180g x x x x x =--+=-+20.28(25)5x =-+．即25x =时，()g x 取最小值．答：温度为25℃时，培成最小. 12分22．解：令21log ,,48x t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2()4([3,2])g t t t m t =++∈-，（1）由于函数()f x 存在大于1的零点，所以方程240t t m ++=在(0,2]t ∈内存在实数根， 由240t t m ++=，得24,(0,2]m t t t =--∈， 所以实数m 的取值范围是[12,0)- 6分（2）函数()f x 有两个互异的零点,αβ，则函数()g t 在[3,2]-内有两个互异的零点12,t t ，其中1222log ,log t t αβ==，所以1640(3)0(2)0m g g ∆=->⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，解得34m ≤<，所以实数m 的取值范围是[3,4)．根据根与系数的关系，可知124t t +=-，即22log log 4αβ+=-， 所以421log ()4,216αβαβ-⋅=-⋅==12分。
2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（文）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．3．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤， 由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴1a ≥， 故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键. 4．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ）A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．下列说法:①2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的值越接近于1;③“若x ∈R ,则111x x <⇒-<<类比推出,“若z C ∈,则111z z <⇒-<<;④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,推理形式错误.其中说法正确的有( )个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，可判断①；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断②；虚数不能比较大小可判断③；大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，故可判断④. 【详解】①中因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，所以2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小,正确；②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误； ③中因为虚数不能比较大小，可知111z z <⇒-<<错误；④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了独立性检验，线性回归，类比推理，三段论推理，属于中档题. 6．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.72222(2)(2)10x y x y -+++=，化简的结果是（ ）A ．2212516x y += B ．2212521x y +=C ．221254x y +=D ．2212521y x +=【答案】B【解析】2222(2)(2)10x y x y -+++=,可知动点(,)P x y 到定点(2,0)-和(2,0) 距离和是定值10,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,,a b c ,进而得到答案.【详解】根据两点间的距离公式可得:表示点(,)P x y 与点1(2,0)F 的距离,表示点(,)P x y 与点2(2,0)F -的距离.所以原等式化简为1210PF PF += 因为12210F F =<所以由椭圆的定义可得:点(,)P x y 的轨迹是椭圆:5,2a c == 根据椭圆中:222a b c =+,得:221b =所以椭圆的方程为: 2212521x y +=.故选:B. 【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案
0 ，证明：
a
2
b
2ab ab
．
18．（12 分）
设命题 p：实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 ，其中 a 0 ；命题 q：实数 x 满足 x 3 0 ． x2
（1）若 a 1 ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围：
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
B． x R ， lg x2 1 0
C．若“ x2 x ，则 x 0 ”的逆命题
D．若“ x y ，则 x2 y2 ”的逆否命题
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并 有 99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（ ） A．吸烟人患肺癌的概率为 99% B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过 1% C．吸烟的人一定会患肺癌 D．100 个吸烟的人大约有 99 个人患有肺癌
A． p q 是假命题
B． p q 是真命题
C． p (q) 是真命题
D． p (q) 是假命题
8．曲线 y 1 x3 2x 3 在点 (1, 4) 处的切线的倾斜角为（ ）
3
3A．4来自B．3C． 2 3
D． 3 4
9．若函数 f x kx ln x 在区间 1, 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ）
5 34
1 23
1
1 4 23
；
…
由以上等式可推出一个一般结论：
对于 n
N*
3
，
12
1 2
4 23
1 22
n 2 n( n 1)
1 2n
KS解析安徽省六安市第一中学高二下学期第二次段考数学文试题Wor含解析
安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，{}|21xA y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()UC A B ⋂=（ ）A. {|01}x x <<B. {|1}x x <C. 1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A 与集合B ，求出A 的补集，再和集合B 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}|211xA y y y y ==+=>，{}{|ln 0}01B x x x x =<=<<， 所以{}1U C A y y =≤，因此(){}01U C A B x x ⋂=<<. 故选A【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.“1x >-”是“(+1)(3)<0x x -”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式(+1)(3)<0x x -，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】解不等式(+1)(3)<0x x -得13x -<<；由13x -<<能推出1x >-，由1x >-不能推出13x -<<； 所以“1x >-”是“(+1)(3)<0x x -”的必要不充分条件. 故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.3.命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是（ ） A. 若220a b +≠，则,a b 都不为零 B. 若220a b +≠，则,a b 不都为零 C. 若,a b 都不为零，则220a b +≠ D. 若,a b 不都为零，则220a b +=【答案】B 【解析】 【分析】根据四种命题之间的关系，可直接得出结果.【详解】命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则,a b 不都为零”. 故选B【点睛】本题主要考查原命题的否命题，熟记四种命题之间关系即可，属于基础题型.4.若4log 3a =，0.33b =，3log cos 2019c π=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数性质，分别得到,,a b c 的范围，即可得出结果. 【详解】由题意可得4log 3(0,1)a =∈，0.30331b =>=，33log cos log 201019c π==<，所以c a b <<. 故选D【点睛】本题主要考查对数与指数幂比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于基础题型.5.若函数()log (2)xa f x a x =++在[]0,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A.16B.13C.12D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先由函数解析式得函数在给定区间单调，根据题意列出方程，即可求出结果.【详解】易知()log (2)xa f x a x =++在[]0,1上单调，因此，()log (2)xa f x a x =++在[]0,1上的最值在区间端点处取得，由其最大值与最小值之和为a 可得(0)(1)f f a +=， 即1log og 2l 3a a a a +++=，化简得log 61a =-，解得16a =. 故选A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数单调性的应用，熟记性质即可，属于常考题型.6.已知函数(23)43(1)()(1)xa x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 2a <C. 12a <<D. 12a <≤【答案】D 【解析】 【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数，所以有23012343a a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+-+≥⎩，解得12a <≤.故选D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.7.四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④•2xy x =的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A. ④①②③B. ①④③②C. ①④②③D. ③④②①【答案】C 【解析】试题分析：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，故它对应第一个图象，②③都是奇函数，但②在y 轴的右侧图象在x 轴上方与下方都存在，而③在y 轴右侧图象只存在于x 轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③，故选C ． 考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．点评：本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．8.已知()31y f x =-是偶函数，则函数()3y f x =的图像的对称轴是（ ） A. 1x =- B. 1x =C. 13x =-D. 13x =【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到()31y f x =-关于y 轴对称，再根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为()31y f x =-是偶函数，所以()31y f x =-关于y 轴对称，又()3y f x =可由()31y f x =-向左平移13个单位得到； 所以函数()3y f x =的图像的对称轴是13x =-.故选C【点睛】本题主要考查函数的对称性、奇偶性，以及函数平移问题，熟记函数的性质以及平移原则即可，属于常考题型.9.若偶函数()f x 在(,0)-∞内单调递减，则不等式(1)(lg )f f x -<的解集是（ ）A. 230B L v Q R=B. 10,10⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,(10,)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭UD. (0,10)【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先得到函数()f x 在(0,)+∞的单调性，进而可对不等式求解，得出结果. 【详解】因为()f x 为偶函数在(,0)-∞内单调递减，所以()f x 在(0,)+∞单调递增； 由(1)(lg )f f x -<，可得lg 1x >，即lg 1x >或lg 1x <-， 解得10x >或1010x <<， 所以，原不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U .故选C【点睛】本题主要考查函数性质的应用，熟记函数奇偶性、单调性即可，属于常考题型.10.已知函数()f x 满足：()(2)0f x f x +-=，()sin(1)g x x =-，若()f x 的图像与()g x 的图像有2019个不同的交点()()()()11223320192019,,,,,,,,x y x y x y x y ……，则12320191232019x x x x y y y y +++++++++=L L （ ）A. 2019B. 4038C. 2021D.20192【答案】A 【解析】 【分析】先由()(2)0f x f x +-=，()sin(1)g x x =-得到函数()f x ，()g x 都关于(1,0)中心对称，且都过(1,0)，根据对称性，即可求出结果.【详解】因为()(2)0f x f x +-=，所以(1)(1)0f x f x ++-=，即函数()f x 关于(1,0)中心对称，且(1)(1)0f f +=，即(1)0f =，即函数()f x 过点(1,0)；又()sin(1)g x x =-，所以()sin(1)g x x =-关于(1,0)中心对称，且(1)sin 00g ==， 即函数()g x 过点(1,0)；若()f x 的图像与()g x 的图像有2019个不同的交点，则(1,0)必为其中一个交点，且在(1,0)左右两侧各有1009个交点， 记1232019x x x x <<<<L ，则()11,x y 与()20192019,x y 关于(1,0)对称；()22,x y 与()20182018,x y 关于(1,0)对称；……；()10091009,x y 与()10111011,x y 关于(1,0)对称；共1009对，所以有2018120192100910112x x x x x x ++=+===L ，2018120192100910110y y y y y y ++=+===L ，所以1232019123201910092102019x x x x y y y y +++++++++=⨯++=L L . 故选A【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，熟记函数的对称性即可，属于常考题型.11.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.52-=-，[]1.51=，若直线(1)(0)y k x k =-<与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A. 11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C. 11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先由题意作出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩的图像，再由(1)=-y k x 过(1,0)点，结合图像，即可求出结果.【详解】因为[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，当01x ≤<时，()[]f x x x x =-=； 当12x ≤<时，()[]1f x x x x =-=-；当10x -≤<时，011x ≤+<，则()(1)1f x f x x =+=+；当21x -≤<-时，110x -≤+<，则()(1)(1)12f x f x x x =+=++=+； 作出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩在[]2,2-上的图像如下：由图像可得，当直线(1)=-y k x 过点(0,1)A 时，恰好不满足题意； 当直线(1)=-y k x 过点(1,1)B -时，恰好满足题意；所以，为使直线(1)(0)y k x k =-<与函数()y f x =的图像有三个不同的交点， 只需10100111k --<≤---，即112k -<≤-. 故选B【点睛】本题主要考查由直线与分段函数的交点求参数的问题，通常需要作出图像，用数形结合的思想求解，属于常考题型.12.若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程()()0x f g x -=有实数根，则()()g f x 不．可能．．是（ ） A. 21x x +- B. 21x x ++ C. 21x -D. 214x +【答案】B 【解析】 【分析】先设0x 是方程()()0x f g x -=的一个根，得到()00()x f g x =，[]{}00()()g x g f g x =，再令0()t g x =，得到[]()t g f t =，进而得到方程(())x g f x =有解，再逐项判断，即可得出结果.【详解】设0x 是方程()()0x f g x -=的一个根，则()00()x f g x =，故[]{}00()()g x g f g x = 再令0()t g x =，则[]()t g f t =， 即方程(())x g f x =有解；A 选项，方程21x x x =+-可化为210x -=有解；B 选项，方程21x x x =++可化为210x +=无解；C 选项，方程21x x =-可化为210x x --=有解；D 选项，方程214x x =+可化为2104x x -+=有解； 故选B【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用，函数解析式的求解及常用方法，主要用到转化与化归的思想来处理，属于常考题型.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2()log (||1)f x x =-的定义域是__________．【答案】{}|2112x x x -≤<-<≤或【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为2()log (||1)f x x =-，求其定义域只需24010x x ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩，即2211x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，所以{}|2112x x x -≤<-<≤或. 故答案为{}|2112x x x -≤<-<≤或【点睛】本题主要考查求具体函数解析式，只需使解析式有意义即可，属于常考题型.14.已知函数2()43f x x x =-+，()32(0)g x mx m m =+->，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】(,2][2,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据对任意的[]10,4x ∈,总存在[]20,4x ∈,使()()12f x g x =成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于m 的不等式组,解不等式组可得答案．【详解】由题意，函数()()224321f x x x x =-+=--．()32g x mx m =+-．根据二次函数的性质，可得当[]0,4x ∈时,()[]1,3f x ∈- ,记[]1,3A =-． 由题意知0m ≠,当0m >时,()32g x mx m =+-在[]0,4上是增函数, ∴()[]32,23g x m m ∈-+,记[]32,32B m m =-+．由对任意[]10,4x ∈,总存在[]20,4x ∈,使()()12f x g x =成立，所以A B ⊆则0132323m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，解得：2m ≥ 当0m <时,()32g x mx m =+-在[]0,4上是减函数,∴()[]23,32g x m m ∈+-,记[]23,32C m m =+-．由对任意[]10,4x ∈,总存在[]20,4x ∈,使()()12f x g x =成立，所以A C ⊆则2313230m m m +≤-⎧⎪-≥⎨⎪<⎩，解得2m ≤-, 综上所述,实数m 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞． 故答案为：][(),22,-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的[]10,4x ∈,总存在[]20,4x ∈,使()()12f x g x =成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题。
六安市第一中学高二下学期第二次阶段检测数学文科试题-含答案
六安一中2020～2021学年第二学期高二年级第二次阶段性检测数学试卷（文科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,22x A x y B x ⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= （ ）A ．[)3,1--B ．[)3,1-C ．()1,1-D ．(]–1,1 2．命题“若332x y +>，则1x >或1y >”的否命题是（ ）A ．若222x y +>，则1x ≤且1y ≤B ．若222x y +≤，则1x ≤或1y ≤C ．若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤D ．若222x y +>，则1x ≤或1y ≤3．复数z 满足：)(236z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3-4．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上单调递增”，q ：“2a >-”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必受条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．若110a b <<，给出下列不等式．①a b >；②a b >；③a b ab +<；④2a bb a+>．其中正确的不等式的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >2+≥B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值是1 D ．设0a >，则321a a +的最小值是2 7．在如图所示的程序框图中，输出值是输入值的13，则输入的x =（ ）A ．35 B ．911 C ．2123D ．4547 8．在实数集R 上定义一种运算“*”，对任意,,a b R a b ∈*为确定的唯一实数，且具有性质： （1）对任意,0a R a a ∈*=；（2）对任意()(),,00a b R a b ab a b ∈*=+*+*．则函数1()x x f x e e=*的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．89．下图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A ．,n a n n *=∈N B ．n a n *=∈N C ．n a n *=∈N D ．2,n a n n *=∈N10．过曲线xy e x =-外一点(),e e -作该曲线的切线l ，则切线1在y 轴上的截距为（ ）A ．e e -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +11．已知321()(4)(0,0)3f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为（ ）A ．33+ B ．3+ C ．3 D ．12．函数()f x 在定义域(0,)+∞内恒满足()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．1(1)14(2)2f f << B ．1(1)116(2)8f f << C ．1(1)13(2)2f f << D ．1(1)18(2)4f f << 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13，甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会．”乙说：“我不会．”丙说：“甲不会．”如果这三句话中，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是___________．14．将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：()()()()1,3,5,7,911,13,15,17,19，…．称()1,3为第1组，()5,7,9为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第________组．15．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性和不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上的导为“凸函数”，已知43213()432x f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是_________．16．已知函数()ln 2f x x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin k kx t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin 120ρθρθ--=． （1）当2k =时，求出1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当1k =时，P 是曲线1C 上一点，O 是曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 18．（本小题满分12分） 设()23f x x x =-++． （1）解不等式()7f x >；（2）若关于实数x 的不等式()1f x a <-无解，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）随着冬季的到来，是否应该自觉佩戴口罩成为了人们热议的一个话题．为了调查佩戴口罩的态度与性别是否具有相关性，研究人员作出相应调查，并统计数据如表所示;（1）判断是否有9.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关?（2）若按照分层抽样的方法从男性中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰有1人认为子李师液一年十分必要的概率．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20．（本小题满分12分）某公司对项目进行A 生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑． ②线性相关系数1i i ix ynx yr =-⋅=∑r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中21111, 2.1nni ii i i x yy ====≈∑∑．21．（本小题满分12分）已知函数()1l ),0n f x a a x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭．（1）若1a =，求()f x 的极值：（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()20f x x -+≤成立，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数()2ln ()1f x ax x x a =-+∈R ．（1）当2a =时，求函数()f x 的零点个数； （2）当1x ≥时，()0f x ≤，求实数a 的取值范围．六安一中2020～2021年度高二年级第二学期第二次阶段考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题：二、填空题：13．乙 14．405 15．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 16．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：17．解：（1）当2k =时，消t 得22,0,0x y x y +=≥≥， 表示的图形是以()()2,0,0,1A B 为端点的线段． 4分（2）当1k =时，曲线1C 的普通方程为椭圆：2214x y +=； 由cos ,sin x y ρθρθ==得曲线2C 的普通方程为直线：23120x y --=；由221423120x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得2225721280,721001285184128000y y ++=∆=-⨯=-<， 可知直线与椭圆相离，则PQ 的最小值为P 到直线的距离最小值，则d ===，当()sin 1t ϕ-=时，有最小值13． 10分 18．解：（1）21,3()5,32,21, 2.x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，不等式可化为217x -->，解得4x <-．所以4x <-， 当32x -≤≤时，不等式可化为57>，无解；当2x >时，不等式可化为217x +>，解得3x >，所以3x >． 综上，不等式()7f x >的解集是,4)(,)3(-∞-⋃+∞． 6分 （2）因为2323235x x x x x x -++=-++≥-++=， 所以min 23)5(x x -++=．要使231x x a -++<-无解，只需15a -≤．解得6a ≤． 故实数a 的取值范围是(6],-∞． 12分19．（Ⅰ）22800(300150150200)7.61910.828500300450350K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ∴没有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关． 6分（Ⅱ）男性中认为冬季佩戴口罩十分必要抽取3人，记为a ，b ，c ，男性中认为冬季佩戴口罩没有必要抽取2人，记为A ，B ，故随机抽取2人，所有基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a A a B b c b A b B c A c B A B ，其中事件“恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要”包含的基本事件为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ．故所求概率63105P ==． 12分 20．1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有3x =，0.6y =，52155ii x==∑，所以212222151190.255535i ii ii x yx yb xx ==-⋅-===-⨯-∑∑，0.60.230ˆˆa y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =． 线性相关系数550.95340.95i ix yx yr -⋅===≈>∑， 这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行报合合理． 6分 （2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元．所获总利0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11y x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号， 所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． 12分21．（1）若1a =，则()1ln x x f x =-，定义域为(0,)+∞，可得2ln 1()x f x x-'=． 令()0f x '=，解得x e =，当0x e <<时，()0f x '<，当x e >时，()0f x ''>， 故()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增． 所以()f x 的极小值为1()1f e e=-，没有极大值． 6分 （2）由()20f x x -+≤，即n 12l a x x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭， 因为当[]1,x e ∈时，有ln 1x x ≤≤（等号不同时成立），即10ln xx->， 所以原不等式又等价于22ln x xa x x-≤-，要使得对任意,][1x e ∈，都有()20f x x -+≤成立，即2minln 2x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令22(),[n 1]l ,x x h x x x e x -=∈-，则2(1)(2ln 2)()(ln )x x h x x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，l 22n 0x x +->，可得()0h x '≥， 所以()h x 在[]1,e 上为增函数，所以()()min 11h x h ==-， 故实数a 的取值范围是(],1-∞-．22．（1）解：∵当2a =时，2()2ln 1f x x x x =-+，其定义域为()()0,,2ln 22f x x x '+∞=+-，令22(1)()(),()2x g x f x g x x x-''==-=． 由()0g x '>，解得01x <<；由()0g x '<，可得1x >． ∴()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴()()10g x g ≤=，即()0f x '≤，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又∵()10f =，∴()f x 有唯一的零点1x =； 6分（2）∵当1x ≥时，2ln 10ax x x -+≤恒成立，即1ln 0a x x x-+≤在,[)1x =+∞上恒成立， 设1(),[1,n )l h x a xx x x =-+∈+∞，则22211()1a x ax h x x x x -+-'=--=． 考虑()h x '的分子：令2()1u x x ax =-+-，开口向下，对称轴为2ax =， ()u x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，24a ∆=-．①当12a≤，即2a ≤时，1x ≥，所以()()()120,0u x u a h x '≤=-≤≤， ∴()h x 在,[)1x ∈+∞上单调递减，∴()()10h x h ≤=成立；②当2a >时，0∆>．设()0h x '=的两个实数根为1x 、()212x x x <， ∵(1)20h a =->'，∴121,01x x <<>．∴当21x x <<时，()0h x '>；当2x x >时，()0h x '<，∴()h x 在()21,x 上单调递增，在2(),x +∞上单调递减，∴()2(10)h x k >=，不合题意． 综上所述，],(2a ∈-∞． 12分。
2019-2020学年安徽省六安一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
2019-2020学年安徽省六安一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√2【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸．【解答】解：z=1−i1+i +2i=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i=−i+2i=i，则|z|=1．故选C．2. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.1 6B.14C.13D.12【答案】D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．【解答】解：假设两位男同学为A，B，两位女同学为C，D，所有的排列情况有24种，如下：(ABCD)(ABDC)(ACBD)(ACDB)(ADCB)(ADBC)(BACD)(BADC)(BCAD)(BCDA)(BDAC)(BDCA)(CABD)(CADB)(CBAD)(CBDA)(CDAB)(CDBA)(DABC)(DACB)(DBAC)(DBCA)(DCAB)(DCBA)，其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为(ABCD)，(ABDC)，(ACDB)，(ADCB)，(BACD)，(BADC)，(BCDA)，(BDCA)，(CDAB)，(CDBA)，(DCAB)，(DCBA)，故两位女同学相邻的概率是：P=1224=12.故选D.3. 已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的值范围为（）A.[1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−∞, 1]D.(−∞, 3]【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】解出p，根据￢p是￢q的充分不必要条件即可判断出结论．【解答】由条件p:|x+1|>2，解得x>1或x<−3，故￢p:−3≤x≤1，由条件q:x>a得￢q:x≤a，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴a≥1，4. 设x，y，z∈R+，a=x+1y ,b=y+1z,c=z+1x，则a，b，c三数（）A.都小于2B.都大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2【答案】D【考点】反证法【解析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．【解答】∵a+b+c＝x+1y +y+1z+z+1x≥2√x⋅1x+2√y⋅1y+2√z⋅1z=6，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号∴a，b，c至少有一个不小于2．5. 下列说法：①χ2越小，X与Y有关联的可信度越小；②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；⑧“若x∈R，则|x|<1⇒−1<x<1类比推出，“若z∈C，|z|<1，则−1<z<1；④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，推理形式错误．其中说法正确的有（）个A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据统计案例的知识判断①②的正误，注意细节；根据类比推理和演绎推理判断③④的正误．【解答】①对分类变量X与Y的χ2观测值来说，χ2越小，X与Y有关联的可信度越大，即①正确；②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1．不是“r的值”，应该是“r的绝对值”，即②错误；③若z=12i，则|z|=12<1，但无法比较z=12i与1和−1的大小，即③错误；④大前提是“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，推理形式错误，即④正确；所以正确的有①④，6. 函数y=x2ln|x||x|的图像大致是()A. B.C. D.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x>0时，y=x ln x，y′=1+ln x，即0<x<1e 时，函数y单调递减，当x>1e，函数y单调递增.由偶函数的定义可知函数y为偶函数，观察四个图像，只有D符合.故选D.7. 方程√(x−2)2+y2+√(x+2)2+y2=10化简结果是（）A.x2 25+y216=1 B.x225+y221=1 C.x225+y24=1 D.y225+x221=1【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】方程√(x−2)2+y2+√(x+2)2+y2=10表示动点M(x, y)到两个定点(±2, 0)的距离之和为定值10＝2a，且10>2+2，由题意的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2＝a2−c2＝52−22＝21．可得椭圆的方程为：x 225+y221=1．8. 甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A.乙、丁可以知道自己的成绩B.乙可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.丁可以知道四人的成绩【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一判断即可得解．【解答】因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀，一位良好，又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩，又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩，9. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由七块板组成，其简易结构如图所示．某人将七巧板拼成如图中的狐狸形状．若在七巧板中随机取出一个点，则该点来自于图中阴影部分的概率为（）A.1 3B.14C.16D.18【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结【解答】设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形加一个小正方形组成构成，则正方形的对角线长为2 √2，则等腰直角三角形的边长为2√24=√22，对应每个小等腰三角形的面积S =12×√22×√22=14，小正方形的边长为√22；其面积为√22×√22=12；则阴影部分的面积之和为2×14+12=1，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 14，10. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x 求得x =√5+12，类似上述过程，则1+13+132+133+⋯=( )A.2B.32C.3D.53【答案】 B【考点】 类比推理 【解析】由3×(13+132+133+⋯)=1+(13+132+133+⋯)，设x =13+132+133+⋯，则3x ＝1+x ，由此能求出结果． 【解答】∵ 3×(13+132+133+⋯)=1+(13+132+133+⋯) ∴ 可设x =13+132+133+⋯，则3x ＝1+x ，解得：x =12 ∴ 1+13+132+133+⋯=1+12=32．11. 若x,y ∈[−π2,π2]，且x sin x −y sin y >0，则下列不等式一定成立的是（ ） A.x <yB.x >yC.|x|<|y|D.|x|>|y|【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】构造函数f(x)＝x sin x ，x ∈[−12π,12π]，然后结合已知及导数可判断f(x)为偶函数，且在[0, 12π]上单调递增，然后结合偶函数的性质即可比较大小． 【解答】令f(x)＝x sin x ，x ∈[−12π,12π]，则f(x)为偶函数，当x>0时，f′(x)＝sin x+x cos x>0，即f(x)在[0, 12π]上单调递增，根据偶函数的对称性可知，f(x)在[−12π, 0)上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由x sin x−y sin y>0，可得x sin x>y sin y，即f(x)>f(y)，从而可得|x|>|y|．12. 过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C 的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A.√5B.2√2C.2√3D.3√3【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用.【解答】解：由题意可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线为l:x=−1．过焦点的直线方程为x=√33y+1．将其代入抛物线方程y2=4x，得3y2−4√3y−12=0，所以y=2√3或−2√33．又点M在x轴上方，所以y M=2√3，x M=√33y M+1=3，即点M的坐标为(3,2√3)．因此点N的坐标为(−1,2√3)，则直线NF的方程为√3x+y−√3=0，所以点M到直线NF的距离d=|3√3+2√3−√3|2=2√3．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i⋅z=1+2i，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1.已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，则xy ＝________． 【答案】 96【考点】极差、方差与标准差 【解析】根据平均数与方差的定义，求出x 与y 的值，即可得出xy 的值． 【解答】∵ 9，10，11，x ，y 的平均数是10， ∴ (9+10+11+x +y)＝10×5， 即x +y ＝20①； 又∵ 方差是2，∴ 15[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(x −10)2+(y −10)2]＝2， 即(x −10)2+(y −10)2＝8②； 由①②联立，解得{x =12y =8 或{x =8y =12 ；∴ xy ＝96．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点为F 1，F 2．过点F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，△BF 1F 2的面积是△AF 1F 2面积的三倍，∠F 1AF 2＝90∘，则双曲线C 的离心率为________√102【答案】√102．【考点】双曲线的离心率 【解析】设|AF 1|＝m ，|BF 1|＝n ，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理和面积公式，化简可得n ＝3m ，m ＝a ，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值． 【解答】设|AF 1|＝m ，|BF 1|＝n ，由双曲线的定义可得|AF 2|＝2a +m ，|BF 2|＝2a +n ， 由△BF 1F 2的面积是△AF 1F 2面积的三倍，可得12(2a +m)(m +n)−12m(2a +m)＝3⋅12(2a +m)m ，化简可得n ＝3m ，由直角三角形ABF 1可得(m +n)2+(2a +m)2＝(2a +n)2， 代入n ＝3m ，化简可得m ＝a ，在直角三角形AF 1F 2中，可得m 2+(2a +m)2＝4c 2， 即为a 2+9a 2＝4c 2，即c =√102a ， 则e =ca =√102，设a +b ＝1，b >0，则1|a|+9|a|b的最小值是________．【答案】 5【考点】其他不等式的解法 【解析】当0<a <1时，利用基本不等式求得它的最小值；当a <0时，利用导数求出所给式子的最小值，综合可得结论． 【解答】由题意b ＝1−a >0得a <1，又a ≠0， 当0<a <1时，当且仅当1|a|+9|a|b=1a+9a b=1a+9(1−b)b=1a+9b−9=(a +b)(1a+9b)−9=ba +9a b +1≥2√b a⋅9a b +1=7，当且仅当ba=9a b ，即a =14，b =34时等号成立，此时，1|a|+9|a|b的最小值是7．当a <0时，1|a|+9|a|b=−1a−9a 1−a=−1a−91−a+9=8a+1a 2−a+9，记f(a)=8a+1a 2−a+9，则 f ′(a)=−(2a+1)(4a−1)(a 2−a)2，∵ a <0，∴ ，当−12<a <0时，f ′(a)>0，f(a)递增， 当a <−12时，f ′(a)>0，f(a)递减，a =−12时，f(a)取得唯一的极小值也是最小值f(a)≥f(−12)=5，综上，1|a|+9|a|b的最小值是5，三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）．将学生日均体育锻炼时间在[40, 60)的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？参考公式：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．临界值表：由频率分布表可得2×2列联表：由（1）可得k2=300(90×40−50×120)2140×160×210×90=20049≈4.082>3.841，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．【考点】独立性检验【解析】（1）直接由频率分布表得2×2列联表；（2）求出K2的观测值，与临界值表比较得结论．【解答】由频率分布表可得2×2列联表：由（1）可得k2=300(90×40−50×120)2140×160×210×90=20049≈4.082>3.841，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年，某城市举办了一场知识竞赛，为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况，从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷，发现成绩都在[50, 100]内，现将成绩按区间[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]进行分组，绘制成如图的频率分布直方图．（1）利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；（2）从青年组，[80, 90),[90, 100]的分数段中按分层抽样的方法随机抽取5份答卷，再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会，求选出的3位市民中有2位来自[90, 100]分数段的概率．【答案】由青年组的频率分布直方图可知前3个小矩形的面积和为0.5，后2个小矩形的面积和为0.5，所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10＝73.5．青年组[80, 90),[90, 100]的分数段中答卷分别为12份，8份，抽取比例为512+8=14，所以两段中分别抽取的答卷分别为3份，2份．记[80, 90)中的3位市民为a，b，c，[90, 100]中的2位市民为x，y，则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(a, b, c)，(a, b, x)，(a, b, y)，(a, c, x)，(a, c, y)，(a, x, y)，(b, c, x)，(b, c, y)，(b, x, y)，(c, x, y)．其中，有2位来自[90, 100]的有3种：(a, x, y)，(b, x, y)，(c, x, y)．所以所求概率P=310．【考点】频率分布直方图【解析】（1）由青年组频率分布直方图可知前3个小矩形的面积和为0.5，故很容易求出其中位数；再由老年组频率分布直方图每组矩形的中点乘以该组的频率即可得出平均数；（2）由青年组频率分布直方图及分层抽样求出在[80, 90),[90, 100]中的试卷份数，进而利用古典概型求出2位来自[90, 100]分数段的概率．【解答】由青年组的频率分布直方图可知前3个小矩形的面积和为0.5，后2个小矩形的面积和为0.5，所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10＝73.5．青年组[80, 90),[90, 100]的分数段中答卷分别为12份，8份，抽取比例为512+8=14，所以两段中分别抽取的答卷分别为3份，2份．记[80, 90)中的3位市民为a，b，c，[90, 100]中的2位市民为x，y，则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(a, b, c)，(a, b, x)，(a, b, y)，(a, c, x)，(a, c, y)，(a, x, y)，(b, c, x)，(b, c, y)，(b, x, y)，(c, x, y)．其中，有2位来自[90, 100]的有3种：(a, x, y)，(b, x, y)，(c, x, y)．所以所求概率P=310．某地区不同身高x(cm)的未成年男孩的体重平均值y(kg)如表：已知ln y 与x 之间存在很强的线性相关性， （1）据此建立y 与x 之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高150cm 体重为45kg 的在校男生的体重是否正常？参考数据：∑ 5i=1(x i ⋅ln y i )＝940，∑ 5i=1ln y i ＝11.5，e 3.7≈40.5 附：对于一组数据(μ1, v 1)，(μ2, v 2)，…，(μn , v n )，其回归直线v =b x +a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =∑−i=1n μivi nμv¯∑ n i=1μi 2−nμ¯2，a =v ¯−b μ¯．【答案】由已知可得x ¯=80，∑=i=15 xi 2100×(62+72+⋯+102)=33000， ∴ ∑−i=15 xi 25x ¯2=33000−32000=1000， 又∑ 5i=1(x i ⋅ln y i )=940，v ¯=11.55=2.3，∴ b =940−5×2.3×801000=0.02，a =2.3−0.02×80=0.7，∴ ln y ＝0.02x +0.7，∴ 回归方程为：y ＝e 0.02x+0.7．当x ＝150时，y =e 3.7≈40.5，而40.5×1.2＝48.6>45，40.5×0.8＝32.4<45， ∴ 这一在校男生的体重是正常的． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）因为ln y 与x 之间是线性相关，设ln y =b x +a ，然后利用公式算出b ,a ，可得ln y ＝0.02x +0.7，所以回归方程为y ＝e 0.02x+0.7；（2）把x ＝150代入（1）中的回归方程求得y ≈40.5，然后再结合体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，即可得解． 【解答】由已知可得x ¯=80，∑=i=15 xi 2100×(62+72+⋯+102)=33000， ∴ ∑−i=15 xi 25x ¯2=33000−32000=1000， 又∑ 5i=1(x i ⋅ln y i )=940，v ¯=11.55=2.3，∴ b =940−5×2.3×801000=0.02，a =2.3−0.02×80=0.7，∴ln y＝0.02x+0.7，∴回归方程为：y＝e0.02x+0.7．当x＝150时，y=e3.7≈40.5，而40.5×1.2＝48.6>45，40.5×0.8＝32.4<45，∴这一在校男生的体重是正常的．已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【答案】连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90∘，|PF2|＝c，|PF1|=√3c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝(√3+1)c，故曲线C的离心率e=ca=√3−1．由题意可知，满足条件的点P(x, y)存在当且仅当：12|y|⋅2c＝16，y x+c ⋅yx−c=−1，x2a2+y2b2=1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②x2 a2+y2b2=1，③由②③及a2＝b2+c2得y2=b4c2，又由①知y2=162c2，故b＝4，由②③得x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4√2，当b＝4，a≥4√2时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4√2, +∞)．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90∘，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b＝4，根据x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4√2，【解答】连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90∘，|PF2|＝c，|PF1|=√3c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝(√3+1)c，故曲线C的离心率e=ca=√3−1．由题意可知，满足条件的点P(x, y)存在当且仅当：12|y|⋅2c＝16，y x+c ⋅yx−c=−1，x2a2+y2b2=1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②x2 a2+y2b2=1，③由②③及a2＝b2+c2得y2=b4c2，又由①知y2=162c2，故b＝4，由②③得x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4√2，当b＝4，a≥4√2时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4√2, +∞)．已知函数f(x)=ax2+x−1e x．(1)求曲线y=f(x)在点(0, −1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．【答案】解：(1)因为f(x)=ax 2+x−1e x，所以f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e xe2x=(2a−1)x+2−ax2e x，所以f′(0)=2，所以曲线y=f(x)在点(0，−1)处的切线方程为y=2x−1.(2)因为f(x)=ax2+x−1e x，所以f′(x)=−(ax+1)(x−2)e x，因为a≥1，所以0<1a≤1，所以−1≤−1a<0，令f′(x)=0，x=−1a或x=2.所以函数f(x)在(−∞,−1a)和(2,+∞)上单调递减；在(−1a,2)上单调递增.当x≥2时，ax2+x−1>0，e x>0，所以f(x)>0，即f(x)+e≥0.当x<2时，f(x)在(−∞,−1a)上单调递增，在(−1a,2)上单调递增，所以f(x)min=f(−1a)=−e1a，要证f(x)+e≥0，即证e−e 1a≥0，令ℎ(a)=e−e 1a，(a≥1)，所以ℎ′(a)=e1a⋅1a2>0在[1,+∞)上恒成立，所以ℎ(a)在[1,+∞)上单调递增，ℎ(a)min=ℎ(1)=e−e=0，所以e−e 1a≥0在[1,+∞)上恒成立.故综上所述，当a≥1时，f(x)+e≥0. 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x (e x)2由f′(0)=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．（2）可得f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x(e x)2=−(ax+1)(x−2)e x．可得f(x)在(−∞,−1a)，(2, +∞)递减，在(−1a, 2)递增，注意到a≥1时，函数g(x)=ax2+x−1在(2, +∞)单调递增，且g(2)=4a+1>0只需(x)min=−e1a≥−e，即可．【解答】解：(1)因为f(x)=ax 2+x−1e x，所以f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e xe2x=(2a−1)x+2−ax2e x，所以f′(0)=2，所以曲线y=f(x)在点(0，−1)处的切线方程为y=2x−1.(2)因为f(x)=ax2+x−1e x，所以f′(x)=−(ax+1)(x−2)e x，因为a ≥1， 所以0<1a≤1，所以−1≤−1a <0，令f ′(x)=0，x =−1a 或x =2.所以函数f(x)在(−∞,−1a ) 和(2,+∞)上单调递减； 在(−1a ,2)上单调递增.当x ≥2时，ax 2+x −1>0，e x >0， 所以f(x)>0，即f(x)+e ≥0.当x <2时，f(x)在(−∞,−1a )上单调递增， 在(−1a ,2)上单调递增， 所以f(x)min =f (−1a )=−e 1a ， 要证f(x)+e ≥0， 即证e −e 1a ≥0，令ℎ(a)=e −e 1a，(a ≥1)， 所以ℎ′(a)=e 1a ⋅1a 2>0在[1,+∞)上恒成立，所以ℎ(a)在[1,+∞)上单调递增， ℎ(a)min =ℎ(1)=e −e =0， 所以e −e 1a≥0在[1,+∞)上恒成立.故综上所述，当a ≥1时，f(x)+e ≥0.注意：以下请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t1+t 2 （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值． 【答案】解：(1)由{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t2 （t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2， 两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴ C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0，得2x +√3y +11=0．即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0. (2)由(1)可设C 上的点P(cos θ, 2sin θ)(θ≠π)， 则P 到直线得2x +√3y +11=0的距离为： d =√3sin √7=|4cos (θ−π3)+11|√7．∴ 当θ=−2π3时，d 有最小值为√7．【考点】利用圆锥曲线的参数方程求最值 圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】（1）把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入2ρcos θ+√3ρsin θ+11＝0，可得直线l 的直角坐标方程； （2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；法二、写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值． 【解答】解：(1)由{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t2 （t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2，两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴ C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0，得2x +√3y +11=0．即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0. (2)由(1)可设C 上的点P(cos θ, 2sin θ)(θ≠π)，则P 到直线得2x +√3y +11=0的距离为： d =√3sin √7=|4cos (θ−π3)+11|√7．∴ 当θ=−2π3时，d 有最小值为√7．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−4|−2|x−1|的最大值为m．（1）解不等式f(x)>1；（2）若a，b，c均为正数，且满足a+b+c＝m，求证：b 2a +c2b+a2c≥3．【答案】f(x)＝|x−4|−2|x−1|={x+2,(x≤1)−3x+6,(1<x<4)−x−2,(x≥4)，∵f(x)>1，∴{x+2>1x≤1或{−3x+6>11<x<4或{−x−2>1x≥4，∴−1<x<53，∴不等式的解集为(−1,53)．由（1）知f(x)的最大值m＝3．∵a，b，c均为正数，∴a2c +c≥2a，b2a+a≥2b，c2b+b≥2c，又a+b+c＝m＝3，∴a 2c +b2a+c2b+a+b+c≥2a+2b+2c．∴b2a +c2b+a2c≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴b2a +c2b+a2c≥3．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)>1分别解不等式即可；（2）根据（1）求出f(x)的最大值m，然后利用基本不等式求出b 2a +c2b+a2c的最小值即可．【解答】f(x)＝|x−4|−2|x−1|={x+2,(x≤1)−3x+6,(1<x<4)−x−2,(x≥4)，∵f(x)>1，∴{x+2>1x≤1或{−3x+6>11<x<4或{−x−2>1x≥4，∴−1<x<53，∴不等式的解集为(−1,53)．由（1）知f(x)的最大值m＝3．∵a，b，c均为正数，∴a2c +c≥2a，b2a+a≥2b，c2b+b≥2c，又a+b+c＝m＝3，∴a 2c +b2a+c2b+a+b+c≥2a+2b+2c．∴b2a +c2b+a2c≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴b2a +c2b+a2c≥3．。
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2019-2020学年安徽省六安一中高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．∅B．R C．{x|x＞2}D．{x|x＞0}2．已知复数z满足（1+i）z＝3+i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则|﹣1|＝（）A．2B．C．1D．3．下列函数为奇函数且在定义域上为增函数的是（）A．y＝x|x|B．C．y＝2x D．4．使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件是（）A．x≥0B．x＜0或x＞2C．D．或x≥3 5．设，则（）A．z＜x＜y B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜z＜y6．已知函数y＝f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（log3x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．C．[1，3]D．7．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则log3f（3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．函数f（x）＝2（x﹣x3）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．9．定义在R上的函数f（x）满足：f（2+x）＝f（2﹣x），当x≥2时，f（x）＝，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（3，+∞）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且在（0，1）上f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．B．C．D．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数p，q，r满足f（p）＝f（q）＝f（r），则2p+2q+2r的取值范围是（）A．（8，16）B．（9，17）C．（9，16）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∃x＞0，2x﹣1≤0”的否定是．14．已知函数f（x）＝ax4+bx2+c5，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（2）＝﹣1，则f′（﹣2）＝．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝．16．已知函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数，，且f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），则（y1+y2+…y8）﹣（x1+x2+…x8）＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知m＞0，命题p：函数f（x）＝log m（2﹣mx）在[0，1]上单调递减，命题q：函数的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．18．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间和最小值．19．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶100户贫困户．工作组对这100户村民的贫困状况和家庭成员受教育情况进行了调查：甲村55户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的只有10户，乙村45户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的有20户．（1）完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关；家庭成员接受过中等以下教育的户数家庭成员接受过中等及以上教育的户数合计甲村贫困户数乙村贫困户数合计（2）在被帮扶的100户贫困户中，按分层抽样的方法从家庭成员接受过中等及以上教育的贫困户中抽取6户，再从这6户中采用简单随机抽样的方法随机抽取2户，求这2户中甲、乙两村恰好各1户的概率．参考公式与数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•+．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．21．一只昆虫的产卵数y与温度x有关，现收集了6组观测数据于表中．由散点图可以发现样本点分布在某一指数型函数曲线的周围．温度（x/℃）212325272931产卵数（y/个）711212466114令z＝lny，经计算有2640.519.56928526.6070（1）试建立z关于x的回归直线方程并写出y关于x的回归方程；（2）若通过人工培育且培育成本g（x）与温度x和产卵数y的关系为g（x）＝x•（lny ﹣9.97）+180（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？注：对于一组具有线性相关关系的数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线u+的斜率和截距的最小二乘公式分别为．22．已知函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α•β的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．∅B．R C．{x|x＞2}D．{x|x＞0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞2}，B＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．已知复数z满足（1+i）z＝3+i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则|﹣1|＝（）A．2B．C．1D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，∴，故选：B．3．下列函数为奇函数且在定义域上为增函数的是（）A．y＝x|x|B．C．y＝2x D．【分析】由已知结合函数奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可求解．解：解：f（x）＝x|x|＝是奇函数，且在定义域R上单调递增，故A正确；f（x）＝﹣是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故B不正确；f（x）＝x+是奇函数且在定义域上不是增函数，故D不正确．故选：A．4．使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件是（）A．x≥0B．x＜0或x＞2C．D．或x≥3【分析】首先解不等式2x2﹣5x﹣3≥0，得解集为A＝{x|x≤或x≥3}，再根据充分必要条件的含义，可得使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的充分不必要条件对应的x范围应该是集合A的真子集，再对照各个选项就不难得到正确选项了．解：不等式2x2﹣5x﹣3≥0整理，得（2x+1）（x﹣7）≥0∴不等式的解集为A＝{x|x≤或x≥3}，∵集合B＝{x|}恰好是集合A的真子集故选：C．5．设，则（）A．z＜x＜y B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜z＜y【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵＝＞2＝x＝40.7＞40＝2，z＝lg5＜lg10＝1，故选：A．6．已知函数y＝f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（log3x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．C．[1，3]D．【分析】由已知结合函数的定义可知，解不等式可求．解：由题意可得，，所以，故选：D．7．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则log3f（3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】推导出P（2，4），设幂函数y＝f（x）＝x a，则2a＝4，从而f（x）＝x2，进而f（3）＝32＝9，由此能求出log3f（3）的值．解：∵函数y＝a x﹣2+3（a＞0且a≠4）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，∴P（2，4），∴f（x）＝x2，∴f（8）＝32＝9，故选：D．8．函数f（x）＝2（x﹣x3）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及趋近性即可得解．解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝2[（﹣x）﹣（﹣x）3]e|﹣x|＝2（﹣x+x3）e|x|＝﹣f（x），为奇函数，故排除选项A，当x→+∞时，易知f（x）→﹣∞，故排除选项CD．故选：B．9．定义在R上的函数f（x）满足：f（2+x）＝f（2﹣x），当x≥2时，f（x）＝，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（3，+∞）【分析】考虑x＞2时，由lg（x﹣2）＞0，可得x的范围；x＜2时，可将x换为4﹣x，解lg（4﹣x﹣2）＞0，解不等式可得所求解集．解：由f（2+x）＝f（2﹣x），可得f（x）＝f（4﹣x），当x＞2时，f（x）＝lg（x﹣2），由f（x）＞0，即lg（x﹣6）＞0，解得x＞3；由f（x）＞0，即lg（2﹣x）＞7，解得2﹣x＞1，即x＜1．故选：C．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且在（0，1）上f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝f（x），结合对数的运算性质有f（log354）＝﹣f（log3），结合函数的解析式以及奇偶性分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝f（x），则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log7）＝f（log3）＝﹣f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣；故选：D．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．解：由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第三次用调日法后得是π更为精确的过剩近似值，即，故选：B．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数p，q，r满足f（p）＝f（q）＝f（r），则2p+2q+2r的取值范围是（）A．（8，16）B．（9，17）C．（9，16）D．（，）【分析】作出f（x）的图象，可设p＜q＜r，且3＜r＜4，结合指数的运算性质和指数函数的单调性，即可得到所求范围．解：作出函数f（x）＝的图象，设p＜q＜r，且3＜r＜4，2p+2q＝2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∃x＞0，2x﹣1≤0”的否定是∀x＞0，2x﹣1＞0．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，2x﹣1＞0．故答案为：∀x＞8，2x﹣1＞0．14．已知函数f（x）＝ax4+bx2+c5，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（2）＝﹣1，则f′（﹣2）＝1．【分析】可以求出导函数f′（x）＝4ax3+2bx，可看出该函数是奇函数，然后根据f′（2）的值即可得出f′（﹣2）的值．解：∵f′（x）＝4ax3+2bx是奇函数，f′（2）＝﹣1，∴f′（﹣2）＝1．故答案为：3．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝2．【分析】根据f（x）是偶函数可得f（﹣x）＝f（x），从而可以得出ln（e﹣ax+1）+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，化简可得ln（e ax+1）﹣ax+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，从而得出ax﹣bx＝bx，从而可求出．解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即＝ln（e ax+1）﹣ax+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，∴ax＝2bx，∴．故答案为：2．16．已知函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数，，且f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），则（y1+y2+…y8）﹣（x1+x2+…x8）＝8．【分析】分析可知函数f（x）与g（x）均关于点（1，2）对称，由此得出f（x）与g（x）图象的交点也成对关于点（1，2）对称，由此求得答案．解：∵函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数，∴函数y＝f（x）关于点（1，2）对称，∴f（x）与g（x）图象的交点为（x2，y1），（x2，y2），…，（x8，y8）也成对关于点（1，8）对称，∴（y1+y2+…y8）﹣（x1+x2+…x3）＝16﹣8＝8．故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知m＞0，命题p：函数f（x）＝log m（2﹣mx）在[0，1]上单调递减，命题q：函数的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．【分析】函数f（x）＝log m（2﹣mx）由复合函数的单调性可得m＞1，再由（2﹣mx）在[0，1]恒大于0可得1＜m＜2．由的定义域为R，得△＝4﹣4m＜0，解得m＞1，由题意可得p、q一真一假．分①若p真q假，②若p假q真，解得m的取值范围．解：命题p：令u（x）＝2﹣mx，∵u（x）在x∈[0，1]上单减，∴m＞1．∴u（x）min＝u（6）＝2﹣m＞0，命题q：由的定义域为R，∴△＝4﹣4m＜0，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，①若p真q假，则②若p假q真，则，综上所述，m∈[2，+∞）．18．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间和最小值．【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．解：（1）∵f（x）＝xlnx+ax+b，∴f ′（x）＝lnx+a+1又∵函数f（x）在（1，f（1））处的切线为，（2）由（1）可得：f′（x）＝1+lnx，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，．19．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶100户贫困户．工作组对这100户村民的贫困状况和家庭成员受教育情况进行了调查：甲村55户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的只有10户，乙村45户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的有20户．（1）完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关；家庭成员接受过中等以下教育的户数家庭成员接受过中等及以上教育的户数合计甲村贫困户数451055乙村贫困户数252045合计7030100（2）在被帮扶的100户贫困户中，按分层抽样的方法从家庭成员接受过中等及以上教育的贫困户中抽取6户，再从这6户中采用简单随机抽样的方法随机抽取2户，求这2户中甲、乙两村恰好各1户的概率．参考公式与数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题中的数据，填写列联表如下：家庭成员接受过中等以下教育的户数家庭成员接受过中等及以上教育的户数合计甲村贫困户数451055乙村贫困户数252045合计7030100因为，（3）根据题意，在抽取的6户中，乙村4户，甲村2户，分别设为a1，a2，a3，a6和b1，b2，（a1，a2），（a8，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a4，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b6），其中这2户中恰好为1户甲村、1户乙村的样本数是8，因此这7户中恰好为1户甲村、1户乙村的概率是．20．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•+．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝﹣代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令，对t∈（0，1]恒成立，设，，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值．解：（1）当时，，令，∵x＜0，∴t＞1，；∴，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数；即：﹣4≤f（x）≤3，令，∴对t∈（6，1]恒成立，设，，由t∈（0，1]，H（t）在t∈（4，1]上的最大值为h（1）＝﹣6，∴实数a的取值范围为[﹣6，2]．21．一只昆虫的产卵数y与温度x有关，现收集了6组观测数据于表中．由散点图可以发现样本点分布在某一指数型函数曲线的周围．温度（x/℃）212325272931产卵数（y/711212466114个）令z＝lny，经计算有2640.519.56928526.6070（1）试建立z关于x的回归直线方程并写出y关于x的回归方程；（2）若通过人工培育且培育成本g（x）与温度x和产卵数y的关系为g（x）＝x•（lny ﹣9.97）+180（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？注：对于一组具有线性相关关系的数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线u+的斜率和截距的最小二乘公式分别为．【分析】（1）把指数型函数曲线两边取对数得lny＝c2x+lnc1，令z＝lny，则z＝c2x+lnc1，由已知求得与，则z关于x的回归直线方程可求，进一步得到y关于x的回归方程；（2）由g（x）＝x•（lny﹣9.97）+180，得g（x）＝x•（0.28x﹣4.03﹣9.97）+180＝0.28x2﹣14x+180，再由二次函数求最值．解：（1）根据题意，样本点分布在指数型函数曲线周围，两边取对数得lny＝c2x+lnc1，由已知可得，，，，＝4126．．则lny＝0.28x﹣4.03，∴y＝e0.28x﹣4.03；g（x）＝x•（2.28x﹣4.03﹣9.97）+180＝0.28x3﹣14x+180．故当温度为25°时，培育成本最小．22．已知函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α•β的值．【分析】（Ⅰ）转化g（t）＝t2+4t+m，t∈[﹣3，2]g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2，根据二次函数求解得出即即可．（Ⅱ）根据二次函数得出，运用韦达定理求解即可，方程g（t）＝t2+4t+m＝0的两根t1+t2＝﹣4，即再运用对数求解即可，，解：（Ⅰ）函数f（x）＝（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．令t＝log8x，则由已知，若f（x）存在大于1的零点，即g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2，即m的取值范围为[﹣12，0，即g（t）在t∈[﹣5，2]∴g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0＝﹣2即m的取值范围为[3，4），即，。