2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形

第19章矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质1.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( D )(A)(B)4 (C)4.5 (D)52.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6 cm,则AB的长是( A )(A)3 cm (B)6 cm(C)10 cm (D)12 cm3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,EF∥BC,DE∥CA.若四边形C DEF周长是y,DE是x,DC是10,则y与x之间的函数表达式是( B )(A)y=x+10 (B)y=2x+20(C)y=10x (D)y=4.(整体思想)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )(A)4.8 (B)5(C)6 (D)7.25.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连结EG,F H,则图中矩形共有9 个.6.(2018常德)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连结BG,则∠AGB= 75°.7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 .8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 22.5 度.9.(2018广东)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E 处,AE交CD于点F,连结DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF是等腰三角形.证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC,AB=CD.由折叠的性质得BC=CE,AB=AE.所以AD=CE,AE=CD.因为DE=ED,所以△ADE≌△CED.(2)因为△ADE≌△CED,所以∠DEF=∠EDF.所以EF=DF.所以△DEF是等腰三角形.10.(2018北京东城区期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.(1)求证:BE=BF;(2)求BE的长.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC.所以∠DEF=∠EFB.根据折叠的性质得∠BEF=∠DEF.所以∠BEF=∠EFB.所以BE=BF.(2)解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°.由折叠的性质得BE=ED.设BE=x,则AE=9-x.因为AE2+AB2=BE2,所以(9-x)2+32=x2.解得x=5.所以BE=5.11.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动,速度为1 cm/s,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,B两点出发,连结EF,DE,DF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:(1)当t为何值时,△BEF为等腰直角三角形?(2)是否存在某一时刻t,使△DCF为等腰直角三角形?解:(1)根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm.所以BE=(6-t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°.因为要使△BEF为等腰直角三角形,应有BE=BF,所以6-t=2t.所以t=2.所以当t=2时,△BEF为等腰直角三角形.(2)根据题意,得BF=2t cm.所以CF=(12-2t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°.因为要使△DCF为等腰直角三角形,应有CF=DC,所以12-2t=6.所以t=3.所以当t=3时,△DCF为等腰直角三角形.12.(方程思想)如图,矩形ABCD中,AB长6 cm,对角线比AD边长2 cm.求AD的长及点A到BD 的距离AE的长.解:设AD=x cm,则对角线长为(x+2) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2+AB2=BD2,所以x2+62=(x+2)2,解得x=8.则AD=8 cm,DB=8+2=10(cm).在Rt△ABD中有,=,而DB=10 cm,AD=8 cm,AB=6 cm,所以AE===4.8(cm).2.矩形的判定1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是( A )(A)AC=BD(B)AC⊥BD(C)AO=CO(D)AB=AD2.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是( C )(A)∠BAC=∠DCA(B)∠BAC=∠DAC(C)∠BAC=∠ABD(D)∠BAC=∠ADB3.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,∠1=∠2.若AC=13,BC=12,则四边形ABCD的面积是( D )(A)20 (B)30 (C)50 (D)604.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,不能判断四边形ABCD为矩形的是( C )(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD(B)AO=CO,BO=DO,∠A=90°(C)∠A=∠C,∠B+∠C=180°(D)AB∥CD,AB=CD,∠A=90°5.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件: ∠ABC=90°(或AC=BD等) ,可使它成为矩形.6.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连结AE,BF.当∠ACB为60 °时,四边形ABFE为矩形.7.如图,在两条平行直线a和b上用直角曲尺画两条直线,则构成的四边形ABCD为矩形.8.学完矩形的判定后,小明和小丽想实际应用一下(检验教室的门是否为矩形).根据小明和小丽的对话,你认为小明和小丽谁正确:小明:“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以这个四边形门就是矩形.”小丽:“我用角尺量这个门的任意三个角,发现它们都是直角.所以这个四边形门就是矩形.”解:小明的不一定是矩形,只根据对角线相等不能判定四边形为矩形;因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明的说法错误;小丽的一定是矩形,因为有三个角是直角的四边形是矩形.所以小丽的说法正确.9.(2018北京门头沟期末)已知,如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF和BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)如果CF=3,B F=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以DF∥BE.因为DF=BE,所以四边形BFDE是平行四边形.因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°.所以四边形BFDE是矩形.所以∠BFD=∠BFC=90°.所以BC==5,所以AD=BC=5.因为DF=5,所以AD=DF.所以∠DAF=∠DFA.因为AB∥CD,所以∠DFA=∠FAB.所以∠DAF=∠FAB.所以AF平分∠DAB.10.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,外角∠ACD 的平分线于点E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;(2)连结AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由. 解:(1)因为EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,所以∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,因为EF∥BC,所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,所以∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以OE=OC,OF=OC,所以OE=OF.因为∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,所以∠ECF=90°,在Rt△CEF中,由勾股定理得EF===10,所以OC=OE=EF=5.(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由:连结AE,AF,如图所示,当O为AC的中点时,AO=CO,因为EO=FO,所以四边形AECF是平行四边形,因为∠ECF=90°,11.(拓展探究)(2018青岛)已知,如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G 为AD的中点,连结CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连结FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BF∥CD,AB=CD,所以∠AFG=∠DCG.因为GA=GD,∠AGF=∠CGD,所以△AGF≌△DGC.所以AF=CD.所以AB=AF.(2)解:四边形ACDF是矩形.证明如下:因为AF=CD,AF∥CD,所以四边形ACDF是平行四边形.所以AG=DG,FG=CG.因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠BAD=∠BCD=120°.所以∠FAG=60°.因为AB=AF,AG=AB,所以AG=AF.所以△AFG是等边三角形.所以AG=GF.所以AG=DG=FG=CG.所以AD=CF.所以四边形ACDF是矩形.12.(方程思想)如图,在直角梯形A B C D中,∠B=90°,A D∥B C,A B= 14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,点E由点A出发沿AD方向向点D匀速运动,速度为1 cm/s,点F 由点C出发沿CB方向向点B匀速运动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,C两点出发,连结EF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:(1)当t何值时,梯形AEFB的面积是91 cm2?(2)当t何值时,四边形AEFB是矩形?解:(1)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,则BF=(21-2t)cm.因为S梯形AEF B=91,所以×(t+21-2t)×14=91.所以t=8.所以当t=8时,梯形AEFB的面积是91 cm2.(2)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,则BF=(21-2t)cm.因为AE∥BF,∠B=90°,所以当AE=BF时,四边形AEFB是矩形.所以t=21-2t.所以t=7.所以当t=7时,四边形AEFB是矩形.。