微积分一复习
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
数学复习中的常见微积分题解析
数学复习中的常见微积分题解析微积分是数学中的重要分支之一，涉及到对函数的导数、积分等运算。
在数学的学习与应用中，对微积分的理解和掌握至关重要。
本文将对常见的微积分题进行解析，帮助读者更好地复习和掌握微积分知识。
一、导数的计算导数是微积分中的基本概念，表示函数在某一点上的变化率。
常见的导数计算包括使用基本导数公式、链式法则、求导法则等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：求函数f(x)=(3x^2+2x+1)^2的导数。
解析：首先，我们可以使用链式法则，将该函数拆解为两个函数的复合形式，即f(x)=u^2，其中u=3x^2+2x+1。
接下来，我们求u的导数，即u'。
根据求导法则，我们得到u' = 6x + 2。
然后，将u'代入链式法则的公式中，即d(f(u))/du * u'。
根据链式法则的公式，我们可以求得f(x)的导数为f'(x) = 2u * u' = 2(3x^2+2x+1)(6x+2)。
2. 例题2：求函数f(x)=sin(2x+3)的导数。
解析：对于这个问题，我们可以利用三角函数的导数规则。
根据导数规则，sin函数的导数是cos函数，因此该函数的导数f'(x) =cos(2x+3)。
二、定积分的计算定积分是微积分中另一个重要的概念，表示函数在某一区间上的面积。
常见的定积分计算包括使用基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：计算定积分∫[0, 1] x^2 dx。
解析：对于这个问题，我们可以直接应用定积分的公式，即∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
根据该公式，我们可以求得∫[0, 1] x^2 dx = 1/3 * x^3 |[0, 1] = 1/3 - 0 = 1/3。
2. 例题2：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
微积分下册总复习PPT课件
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
14
3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
4、二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
dz
(x)2 (y)2
dz
P0
z x
P0
x
z y
P0
y
f x ( x0 , y0 )dx
f y ( x0 , y0 )dy
总复习
1
第七章 多元函数微分学
1、多元函数的定义、极限及连续性
确定极限不存在 的方法 (1)找两种不同趋近方式,使 lim f ( x, y)存在,
x x0 y y0
但两者不相等,此时即可断言极限不存在。
（2）找一条特殊的路径，使 P( x, y)沿此路径趋向
于 P0 ( x0 ,
y0
)
时
(
x
0
若为0，则可微，否则不可微。
5
3、复合函数求导法
z f (u,v), u ( x, y)及v ( x, y)
则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
zx zu ux zv vx z
u
x
zy zu uy zv vy
,
y
lim
微积分c复习题和答案
微积分c复习题和答案微积分C复习题和答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \) 的导数是：A. \( 2x + 3 \)B. \( x^2 + 3 \)C. \( 2x - 3 \)D. \( 3x - 2 \)答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在点 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：B3. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：B二、填空题1. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的 \( n \) 阶导数 \( f^{(n)}(x) \) 当 \( n \) 是奇数时，结果为 \( \sin(x) \) 或 \( -\sin(x) \)，当 \( n \) 是偶数时，结果为 \( \cos(x) \) 或 \( -\cos(x) \)。
请写出 \( f^{(4)}(x) \) 的结果：______。
答案：\( \cos(x) \)2. 如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 5 \)，且 \( f(x) = 2x - 1 \)，那么 \( a \) 和 \( b \) 的值分别是：______ 和 ______。
答案：1 和 3三、解答题1. 求函数 \( g(x) = 4x^3 - x^2 + 7x - 5 \) 的极值点。
解答：首先求导数 \( g'(x) = 12x^2 - 2x + 7 \)。
令 \( g'(x) = 0 \) 解得 \( x = \frac{1}{6} \) 和 \( x = -\frac{7}{6} \)。
然后计算二阶导数 \( g''(x) = 24x - 2 \)，代入 \( x =\frac{1}{6} \) 得到 \( g''(\frac{1}{6}) = 3 \)，说明 \( x = \frac{1}{6} \) 是极小值点；代入 \( x = -\frac{7}{6} \) 得到\( g''(-\frac{7}{6}) = -16 \)，说明 \( x = -\frac{7}{6} \) 是极大值点。
微积分BII复习知识点
微积分BII复习知识点微积分 BII 是高等数学中的重要部分，涵盖了众多关键的知识点。
为了帮助大家更好地复习，以下将对一些重要的内容进行梳理。
一、多元函数的极限与连续多元函数的极限是一个较为复杂的概念。
与一元函数不同，多元函数的极限需要考虑多个方向的趋近情况。
判断多元函数极限是否存在，需要通过不同路径的趋近来验证。
如果沿着不同路径趋近得到的极限值不同，那么该多元函数的极限就不存在。
连续的概念与一元函数类似，若多元函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。
二、偏导数偏导数是多元函数微积分中的重要概念。
对于多元函数，我们固定其他变量，只对一个变量进行求导，得到的就是偏导数。
求偏导数时，需要把其他变量看作常数。
例如，对于函数＄z ＝f(x,y)＄，关于＄x$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，计算时把＄y$ 当作常数；关于＄y$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄，计算时把＄x$ 当作常数。
偏导数的几何意义也很重要。
比如，函数＄z ＝ f(x,y)＄关于＄x$ 的偏导数在某点的值，表示函数在该点沿＄x$ 轴方向的变化率。
三、全微分全微分是描述多元函数在某点附近微小变化的一个重要工具。
若函数＄z ＝ f(x,y)＄的全增量可以表示为＄＼Delta z ＝ A\Delta x ＋ B\Delta y ＋ o(＼sqrt{（＼Delta x)＾2 ＋（＼Delta y)＾2}）＄，其中＄A$ 和＄B$ 为常数，则称函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x,y)＄可微，＄A\Delta x ＋ B\Delta y$ 称为函数的全微分，记为＄dz ＝A\Delta x ＋ B\Delta y$。
全微分的计算通常是先求出偏导数，然后将偏导数乘以相应的自变量增量即可。
四、多元复合函数求导多元复合函数的求导法则较为复杂，需要分清函数的复合关系，然后使用链式法则进行求导。
微积分半期复习提纲
x′( y ), z′( y ) = ? x′( z ), y′( z ) = ?
x+ y+z=0 x = x(z ) 确定了函数 , 例3 方程组 2 2 2 x + y + z = 1 y = y(z ) dx dy 求 , . dz dz
曲线在M 处的切线方程 曲线在 0处的切线方程
π
2 sin ϕ
设 f ( x, y)在曲线弧L上连续 , x = x(t ), L (α ≤ t ≤ β ) 的参数方程为 y = y(t ), [ 其中x(t ), y(t )在α, β ]上具有一阶连续导数 ,
则 f ( x, y)ds = ∫ f [ x(t ), y(t )] x′2(t ) + y′2(t )dt ∫
x − x0 y − y0 z − z0 . = = Fx ( M 0 ) Fy ( M 0 ) Fz ( M 0 )
法线方程:
z = f ( x, y)
∂f ∂f ∂f = cosα + cos β = gradf ⋅ n0 ∂l ∂x ∂y
∂f ∂f ∂f ∂f gradf = i + j = , , ∂x ∂y ∂x ∂y
1 2
y( n ) + p1 y( n−1 ) +⋯+ pn−1 y′ + pn y = 0
rn + p1rn−1 +⋯+ pn−1r + pn = 0
特征方程的根 (1)单实根 单实根r 单实根 (2)1对单复根 对单复根 r = α ± βi (3)k重实根 重实根r 重实根 (4)1对k重复根 对 重复根
( 1)
( 2)
微积分(上)复习
n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13，33，35 ， ， 二、6，9，16 ， ，
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如： 例如：振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 （1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（ 微积分（上）
微积分专复习题
微积分复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( B )A. (0，5)B. (1，5 )C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ D ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.下列函数中为奇函数的是（ D ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4)D.y=1e 1e x x +-4.函数f(x)=1+xsin2x 是（ B ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数5.下列极限正确的是( A ) A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ； C.1sin lim =∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xx x ；6.=→2xtan3xlimx （ B ） A.∞B.23C.0D.17.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( D )A.0B. 1C.m1D. m8.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ B ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于( B ) A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ， ，在点0=x 处连续，则k 等于 ( B ) A. 0 B. 41 C. 21 D. 2二、填空题1.=-∞→xxx x sin lim ______1_____2.x x x)21(lim +∞→＝ 2e . 3.设f(x)=⎩⎨⎧>-≤+010sin x e x ax x在x=0处连续，则常数a=____0_________. 三、解答题 1. 求下列各极限：(1) 64lim 222-+-→x x x x解：原式22(2)(2)24limlim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+ (2) xxx x cos 1sin lim 0-→解：原式=00022sin cos cos2222limlim 2lim cos 211222sin sin sin222x x x x x x xx x x x x x →→→⋅⋅==⋅=⋅⋅= (3) )1312(lim 321---→x x x 解：原式= 22211232(1)3(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→⎛⎫++-+-= ⎪-+-++-+++⎝⎭ = 2221121(21)(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→--+-=-+++-+++ 21(21)31lim(1)(1)232x x x x x →+===+++⋅第二章 导数及其应用一、单项选择题:1.如果f(x 0)=0且f '(x 0)存在，则=-→0x x x x )x (f lim 0( A ) A.f '(x 0)B. 0C. 不存在D. ∞2.设y=log a x （a>0，a ≠1），则dy=（ D ） A.x1dx B.x 1 C.ax ln 1 D.ax ln 1dx 3.设函数u(x),v(x)可导，且u(x)≠0,若)()(x v x u y =，则y '等于（ B ）A ．)()()()()(2x v x v x u x v x u ''+' B ．)()()()()(2x v x v x u x v x u '-' C ．)()()()()(2x v x v x u x v x u +'' D ．)()()(2x v x v x u ''4.设y=2x +e 2,则y ′=（ C ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 5.设y=sin(7x+2),则=dxdy( B ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 6.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ B ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=07.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ A ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 8.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ A ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞D.),2(+∞二、填空题1.曲线2x x y +=上点(1,2)处的切线平行于直线13-=x y .2.设y=xlnx+x 2，则dy=(ln 12)x x dx ++.3.函数2x 11y +=的单调递减区间是(0,)+∞ 4.若函数)(x f 在0x 点取得极小值，且)(x f 在0x 点可导，则)(0x f '必为____0_______．5.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a - 1，=c ___1____．6.设)(),(x g x f 可导，0)0()0(==g f ，当0≠x 时0)(≠'x g ，且A x g x f x =''→)()(lim，则=→)()(limx g x f x A ． 三、解答题： 1.求下列函数的导数:(1) +=xxe y xxsin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x⋅-⋅-'=++=++ (2) ()1ln +=x x y解：1ln(1)(1)ln(1)11x y x x x x x x ''=++⋅+=++++ （3）2sin )32cos(xx y +-=解：1sin(23)(23)cos 3sin(23)cos 2222x x xy x x x '⎛⎫''=--⋅-+⋅=-+ ⎪⎝⎭2.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ． 解：方程两边对x 求导: 0x y y xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e y y x e -'=+ 当0x =时，0y = 于是000|10x e y e=-'==+ 3.求下列极限：（1）xxe x x sin cos lim 0-→；解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== (2) 30sin lim x xx x -→解：原式2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-=== (3) )1e 1x 1(lim x 0x --→ 解：原式0001111lim lim lim (1)(1)1102x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---=====--+++++ 四、证明题1.证明：当x>0时，e x >1+x.证：设()(1)x f x e x =-+，则0(0)(10)0f e =-+=()10x f x e '=->，显然()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞上可导所以()f x 在[0,)+∞上单调增加，则()(1)(0)0xf x e x f =-+>=即0x >时，1xe x >+第三章 不定积分一、单项选择题1.若⎰⎰=++=dx )1x 2(f ,C )x (F dx )x (f 则（ B ）A. 2F(2x+1)+CB.C )1x 2(F 21++ C.C )x (F 21+ D.2F(x)+C2.设)()(x f x F ='，则下列正确的表达式是（ B ） A.⎰+=C x f x dF )()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F dxd)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 3.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ D ） A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1xx - 4.⎰=xdx 3sin （ B ） A.C x 3cos 31+B. -C x 3cos 31+C. –cos3x+CD. cos3x+C5.下列等式计算正确的是（ A ）A.⎰+-=C x xdx cos sinB.⎰+=---C x dx x 43)4(C.⎰+=C x dx x32D.⎰+=C dx x x336．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( C ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y sin 1'=+D. x y y ='+''2 二、填空题1.⎰=-dx x )12sin( 1cos(21)2x C --+． 2.不定积分⎰=dx x33ln 3xC +． 3.微分方程0y dxdy =-的通解为xy Ce = 4.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是132y Cx =- 三、解答题 1.求下列不定积分：（1）⎰++dx x x x )1(21222；解：原式222222(1)111arctan (1)1x x dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰（2）⎰+dx x )1ln(2；解：原式22222ln(1)ln(1)ln(1)1xx x xd x x x x dx x =+-+=+-⋅+⎰⎰22222(1)11ln(1)2ln(1)2(1)11x x x dx x x dx x x +-=+-=+--++⎰⎰ 2ln(1)2(arctan )x x x x C =+--+2.求解下列微分方程： （1）22x e xy dxdy-=+ 解：2()2,()x P x x Q x e-==由通解公式2()()22()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()2222xx x xe e e dx C e x C ---=+=+⎰（2）y ′+ycosx=e -sinx解：sin ()cos ,()x P x x Q x e -==由通解公式()()cos cos sin ()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()sin sin sin sin xx xx e eedx C e x C ---=+=+⎰（3）x y '+y=xe x ， y(1)=1 解：两边除以x ，1x y y e x '+=，1(),()x P x Q x e x== 由通解公式11()()()dx dx P x dxP x dx x x x y e Q x e dx C e e e dx C --⎛⎫⎰⎰⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()ln ln 11xx xxxe e e dx C xe dx C xdeC x x-=+=+=+⎰⎰⎰()()11x x x x xe e dx C xe e C x x =-+=-+⎰ 第四章 定积分及其应用一、单项选择题1.=⎰→320sin limx dt t xx （ B ）A.41 B.31 C.21D.12.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 3.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.04.广义积分⎰+∞1xdx （ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于15.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二、填空题 1.⎰-=++113.___2___)1cos 3(dx x x x2.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则____112_______. 三、解答题(图自己画)1.计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。
高等数学(微积分)课件--无穷级数复习题
3
n2 1
, 考虑 1
3
1 n
2 3
发散
1
n3 1 n 2 1 1 C. n , 几何级数q 1收敛 2 2 e n e D. ( ) , 几何级数q 1收敛
, 考虑
收敛
14
二 3、
3 : A. e
1 ( )2 n
n （－ 1 ） 3）当x 3时，原级数变为 收敛 n n 0 故收敛区间为 (3,3]
1
n
收敛区间(二、15，16) (x - 1) 二、 16.求幂级数 的收敛区间 3n 1
n
an 1 3n 1 解： 1) lim lim 1, R 1 n a n 3n 4 n X 1 1,0 X 2 (-1) 2)当x 0时，原级数变为 收敛 n 0 3n 1 1 3)当x 2时，原级数变为 发散 n 0 3n 1 故收敛区间为 [0,2)
7
一、17
8
一、20
9
10
11
二 1、
1 1 1 : 考虑 ( )的部分和S n (x) b n 1 n 1 b n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n (x) ( - ) ( - ) ( ) b1 b 2 b 2 b3 b n b n 1 b1 b n 1 1 1 1 1 1 lim S n (x) lim( ) lim - lim n n b n b n b b1 1 b n 1 1 n 1
1 S' (x) 1 x 两边取定积分：
x 1 0 1 t dt 0 S' (t )dt, ln 1 t ln 1 x S(x) x x 0
《微积分II》总复习题1(含解答)
《微积分II 》总复习练习题11、若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的根ρ等于,则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .4、交换积分次序：= ( ) .一、填空题:当________时收敛；________时发散；∑∞=-111n p n2、级数.)(13323方程称为、方程+=-'-''x y y y ⎰⎰+-2212d ),(y y x y x f dy222y x x y y +=-'sindy yx xy dx x-=二、单项选择题1、微分方程是( ) ;(A) 齐次方程; (B) 可分离变量方程;(C) 一阶线性方程; (D) 以上都不是.而是( ) ;则该方程为（）：;02)B (;02)A (=-'-''=+'+''y y y y y y 3. 设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为xx e C e C y 221+=-.02)D (;02)C (=-'+''=+'-''y y y y y y )(21为任意常数、C C ）：为（）为（级数∑∑∞=∞=++111cos )2(;1sin )1(.2n n n n n n ππ(A)正项级数，收敛；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛; (D) 发散..0,2,12围成的第一象限的区域和由其中、求=+-==⎰⎰y x y x y D xydxdy D五、计算：.0)0()1(12d d 125的特解当、求方程=+=+-y x x yx y .13322+=-'-''x y y y 、求方程的通解：六、解微分方程：三、判别下列级数的收敛性:.212∑∞=n n nnx .)11(21n n n -∞=∑+.d 2ln 1d 23e3ln 2ln ⎰⎰yx x y 、四、求幂级数的收敛域:《微积分II 》总复习练习题1(解答)一、填空题:当__p >2__时收敛；__p ≤2__时发散；∑∞=-111n p n2、级数.)(13323方程称为、方程+=-'-''x y y y ∑∞=1n nu,ρ等于1、若正项级的后项与前项之比值的则当________时级数收敛；_________________时级数发散；____________时级数可能收敛也可能发散.1<ρ1=ρ)lim (11∞=>+∞→nn n u u或ρ当p >2 时绝对收敛；1<p ≤2 时条件收敛;∑∞=--11)1(n p nn注：级数当p ≤1时发散.所围成的闭区域。