控制系统的能控性和能观性 ppt课件
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现代控制系统课件第5章
*
n1
n1
1*
* 0
i1
式中 i* (i 1, 2, n) 为期望的闭环极点（实数极点或共
轭复数极点）。
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20
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
x Tc1x
能将∑0化成能控标准I型： x Ax bu yc x
式中
0 1 0
A
T 1 c1
ATc1
0 0
0
0
a0 a1 a2
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16
5.1.5 闭环系统的能控性与能观性
定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 o (A, B,C)
的能控性。但不保证系统的能观性不变。
实际上，受控系统 o (A, B,C, D) 的传递函数为：
Wo (s) c[sI A]1b d
将∑0的能控标准I型代入上式，可知，引入状态反馈后 传递函数的分子多项式不变，即零点保持不变。但分母
馈来实现闭环系统极点的任意配置。
证明 对单输入一单输出反馈系统
h ((Abhc),b,c)
闭环传递函数为：
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27
式中 Wo (s) c(sI A)1b
为受控系统的传递函数。 由闭环系统特征方程可得闭环根轨迹方程：
hWo (s) 1
当 Wo (s) 已知时，以 h(0 ) 为参变量，可求
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29
5.2.3 采用从输出到 x 反馈
定理5.2.4 对系统 o (A,b,c) 采用从输出
到 x的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件
是∑0完全能观。
证明 根据对偶原理，如果 o (A,b,c) 能观。
~
则 0 (AT , cT ,bT )必能控，因而可以任意配置
可控性和能控标准型(精)
e e 1 e e e t 3t t 3 t 2 e e e e 状态方程中强迫响应为
t 3t t 3t At
u
1
x 2 ( 0)
1
2 x
2
1
x2
t x1 1 t (t ) A( t ) Bu( )d e u ( )d x 0 e 0 1 2p
x1 p (t ) x2 p (t )
四川理工自动化教研室
强迫响应仅是一维的，不能将初态控制到任意指定态。 tgq77@
能控/可控性定义
• 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始 状态转移到期望状态?
如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔 [to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定 的终态x(tf) ，则称此状态x(to)是完全可控的，简 称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，
四川理工自动化教研室 tgq77@
对角阵中的能控/可控性模态
1 1 x1 b1u 1 b1 x x x u 2 2 x2 b2u 2 b2 x 1、对1 2。显然，b1 0时x1可控，
x1 (0) 1 x
b1
x1
u
b2
x 2 ( 0) 1
2 x
x2
1、对b2 0时x2可控，称et为可控模态；
b2 0时x2不可控，称et为不可控模态。 2、b2 0时。若b1 0，则x1受x2间接影响，两自由响
应模态e t 和te t 都可控；若b1 0，则x1受两个通道影 响，模态te t 仍然存在，故系统仍然 是可控的。
四川理工自动化教研室 tgq77@
第7讲 能控标准型和能观标准性
能控规范形(6/16)
定理 对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩 阵Tc1如下
式中，
T1
Tc11
T1 A M
T1
An1
T1=[0 … 0 1][B AB … An-1B]-1
➢ 那么必存在一线性变换 x Tc2 x%,能将上述状态方程变换成 如下能控规范I形:
~x A~~x B~u
由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能 观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。 ➢ 下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II 形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如 下定理。
能观规范形(4/9)
定理 对状态完全能观的线性定常连续系统Σ(A,B,C)引入变换 矩阵To1满足
0 1
2
3
x%
y CTo2 x% 0 1 x%
1 3
x%
能观规范形(9/9)
(2) 求能观规范II形。
➢ 根据定理,先求变换矩阵，有
C 1 0 -1 -1/21 0 -1
R1 CA 1 -1
0
1
2
则变换矩阵To2可取为
To2 R1
A
ห้องสมุดไป่ตู้R1
1
2
3
4
➢ 因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为
x%&
T 1 o2
ATo2
x%
...
...
Tn Tn1 A
* Tn A
➢ 因此,有
Ti=T1Ai-1 i=2,3,…,n 即能控性变换矩阵Tc1为
T1
T 1 c1
T1 A ...
T1
9.2 线性系统的可控性和可观测性
k k t1 k 0 0
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
第5章-线性定常系统的综合2
6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
《多变量控制系统》课件
函数关系。
传递函数模型
1
传递函数模型是多变量控制系统的一种数学描述 方法，它通过传递函数来描述系统输入与输出之 间的关系。
2
传递函数通常表示为有理分式函数，通过系统元 件的传递函数和连接方式来构建整个系统的传递 函数。
3
传递函数模型可以用于分析系统的稳定性、频率 响应等特性，并用于控制系统设计和分析。
性能测试与评估
通过实验测试控制系统的性能，并进行评估 和比较。
性能改进建议
根据性能评估结果，提出性能改进建议，以变量控制系统
contents
目录
• 多变量控制系统概述 • 多变量控制系统的数学模型 • 多变量控制系统的稳定性分析 • 多变量控制系统的设计 • 多变量控制系统的实现 • 多变量控制系统的仿真与优化
01
多变量控制系统概述
多变量控制系统概述
• 请输入您的内容
02
多变量控制系统的数学模 型
状态空间模型
01
02
03
电动执行器
通过电机驱动，具有快速 响应和较高精度，适用于 需要精确控制的应用。
气动执行器
通过压缩气体驱动，具有 防爆、防火等优点，适用 于工业控制领域。
液压执行器
通过液压油驱动，具有较 大的输出力和较高的稳定 性，适用于重型设备和大 型系统。
传感器的选择与实现
温度传感器
用于测量温度，常用的 有热电阻和热电偶等。
压力传感器
用于测量压力，常用的 有应变片和压电晶体等 。
流量传感器
用于测量流量，常用的 有涡街流量计和差压流 量计等。
06
多变量控制系统的仿真与 优化
控制系统仿真
仿真模型建立
根据实际系统建立数学模型，包括系统动态方程、控 制策略等。
传递函数模型
1
传递函数模型是多变量控制系统的一种数学描述 方法，它通过传递函数来描述系统输入与输出之 间的关系。
2
传递函数通常表示为有理分式函数，通过系统元 件的传递函数和连接方式来构建整个系统的传递 函数。
3
传递函数模型可以用于分析系统的稳定性、频率 响应等特性，并用于控制系统设计和分析。
性能测试与评估
通过实验测试控制系统的性能，并进行评估 和比较。
性能改进建议
根据性能评估结果，提出性能改进建议，以变量控制系统
contents
目录
• 多变量控制系统概述 • 多变量控制系统的数学模型 • 多变量控制系统的稳定性分析 • 多变量控制系统的设计 • 多变量控制系统的实现 • 多变量控制系统的仿真与优化
01
多变量控制系统概述
多变量控制系统概述
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02
多变量控制系统的数学模 型
状态空间模型
01
02
03
电动执行器
通过电机驱动，具有快速 响应和较高精度，适用于 需要精确控制的应用。
气动执行器
通过压缩气体驱动，具有 防爆、防火等优点，适用 于工业控制领域。
液压执行器
通过液压油驱动，具有较 大的输出力和较高的稳定 性，适用于重型设备和大 型系统。
传感器的选择与实现
温度传感器
用于测量温度，常用的 有热电阻和热电偶等。
压力传感器
用于测量压力，常用的 有应变片和压电晶体等 。
流量传感器
用于测量流量，常用的 有涡街流量计和差压流 量计等。
06
多变量控制系统的仿真与 优化
控制系统仿真
仿真模型建立
根据实际系统建立数学模型，包括系统动态方程、控 制策略等。
现代控制理论ppt课件
5.2 极点配置
设状态反馈系统希望的极点为 s1, s2, , sn
其特征多项式为
n
Δ*K (s) (s si ) sn an*1sn1 a1*s a0* i 1
选择 k使i 同次幂系数相同。有
K a0* a0 a1* a1 an*1 an1
而状态反馈矩阵 K KP k0 k1 kn1 9
βn-1sn1 βn-2sn2 β1s sn an-1sn1 a1s a0
β0
(s) (s)
引入状态反馈 u V Kx V KP1x V Kx
令
K KP 1 k0 k1 kn1
其中 k0 , k1, , kn1为待定常数
7
5.2 极点配置
0 1
0 0
5
5.2 极点配置
证明：充分性
线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
经过线性变换 x P1x ，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
0 1
y β0 β1 βn1 x
6
5.2 极点配置
系统传递函数：g(s) C[sI A]1b C [sI A]1b
0 0 1 P 0 1 12
16
1 18 144
5.2 极点配置
0 0 1
k kP 4 66 140 1 12
1 18 144
14 186 1220
17
5.2 极点配置
方法二：
k k1 k2 k3
s k1 k2
k3
a*
(
s)
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
线性移不变系统课件
05
线性移不变系统的设计方 法
状态反馈控制
状态反馈控制是线性移不变系统设计中常用的一种方法，通过将系统的 状态变量反馈到输入端，实现对系统的精确控制。
状态反馈控制器的设计通常采用状态空间法，通过构造状态反馈矩阵， 使得闭环系统满足特定的性能指标，如稳定性、跟踪性能等。
状态反馈控制适用于各种类型的线性移不变系统，具有较好的鲁棒性和 适应性。
GPU（图形处理器） GPU具有并行处理能力，可用于加速线性移不变 系统的计算和数据处理。
系统实现中的关键技术
数字信号处理
数字信号处理技术是实现线性移 不变系统的关键，包括信号的采
样、量化、滤波、频谱分析等。
算法优化
针对线性移不变系统的算法进行优 化，以提高系统的实时性和能效。
硬件描述语言
使用硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）进行系统设计和实现，能 够提高系统的可重用性和可维护性。
能观性判定
对于线性移不变系统，可以通过判断系统的可观性矩阵是否满秩来确定系统是否 具有能观性。可观性矩阵是系统状态矩阵A的转置与输出矩阵C的乘积。如果可 观性性移不变系统，如果该系统既是能控的又是能 观的，则称该系统是能对偶的。
对偶性的意义
对偶性是线性移不变系统的一个重要性质，它表明系统的控 制性能和观测性能之间存在一定的关系。在实际应用中，了 解系统的对偶性有助于更好地设计控制系统和观测系统，以 达到更好的控制效果和观测效果。
06
线性移不变系统的实现与 应用
系统实现的硬件平台
1 2 3
FPGA（现场可编程门阵列） FPGA是一种高度灵活的硬件平台，适用于实现 线性移不变系统的硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）编程。