2019-2020学年北京市八一中学初二第一学期期中数学试卷(无答案)
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. x2⋅x3=x6B. x2+x2=2x4C. x6÷x2=x3D. (−2x)2=4x23.已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=25°，则∠BDC的度数是()A. 95°B. 90°C. 85°D. 80°4.下列计算正确的是()A. (a−b)2=a2−b2B. (3a−b)(3a+b)=3a2−b2C. (a+1)(a−2)=a2−2D. (a+4b)2=a2+8ab+16b25.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是()A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，MN的长为半径画弧，再分别以M、N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上；④若AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm；⑤S△DAC：S△DAB=1：3．A. 2B. 3C. 4D. 58.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例．这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数等等．有如下四个结论：①当a=−2，b=1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+ 4ab3+b4的值是1；②当a=−3，b=2时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是1；③当代数式a3+9a2+27a+27的值是1时，a的值是−2或−4；④当代数式a4+ 8a3+24a2+32a+16的值是1时，a的值是−1或−3.上述结论中，正确结论的序号为()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.直接写出计算结果：(1)(a4)2=______；(2)(2ab2)3=______．10.点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是______．11.如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是______ ．12.分解因式：x2−6x+9=______．13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD=______．14.已知(a+b)2=32，a−b=2，则ab=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=3，则AC的长为______．16.如图，∠CAB为锐角，AB=a，点M在射线AC上，点B到射线AC的距离为d，BM=x，若△ABM的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共68.0分）17.计算：(1)6x2⋅3xy．(2)(3x+1)(x−2)．(3)(6x4−9x3)÷3x2．(4)(x+2y)2．18.分解因式：(1)12xyz−9x2y2．(2)a2(x+y)−25(x+y)．19.如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AC//DF．20.先化简，再求值：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，其中a=−1，b=2．21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．22.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′______，B′______，C′______．(3)在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．(保留作图痕迹)(4)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个．23.在等边△ABC中点P，Q是直线BC上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，AP=AQ．(1)如图1，若P，Q是BC边上两点，求证：BP=CQ.(2)点Q关于直线AC的对称点为M，若△PQM是等腰三角形，直接写出∠PMQ的度数．24.在学习平方根的过程中，同学们总结出：在a x=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N=a x(a> 0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logaritℎm)，记作：x=log a N，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)∵21=2，∴log22=1；∵22=4，∴log24=2；∵23=8，∴log28=3；∵24=16，∴log216=______；计算：log232=______；(2)计算后小明观察(1)中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28=______；(用对数表示结果)(3)于是他猜想：log a M+log a N=______(a>0且a≠1，M>0，N>0)，请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出log a M−log a N=______．25.已知：如图1，△ABC中，D为AC边上一点，连接BD，∠ABD+∠BDC=180°，点E为AB边上一点，连接CE与BD交于点F，且点F为CE中点．(1)求证：BE=CD．(2)若AB=BD，点E为AB中点，点P是DB延长线上一点，且BP=BE，连接PE并延长交AC于点Q，EQ=3，在图2中补全图形并求PE的长．26.平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴上，∠ABC=90°．(1)如图1，点M是AC与y轴交点，且MA=MB，求证：∠C=∠MBC．(2)如图2，若∠ABO=30°，以AB为一边作等边△ABD，使点C与点D在AB两侧，点C恰好在OB的垂直平分线PQ上，求证AC=OD．(3)如图3，在(2)的条件下，连接CD交AB于点G，求证点G是CD中点．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A.x2⋅x3=x5，故本选项不合题意；B.x2+x2=2x2，故本选项不合题意；C.x6÷x2=x4，故本选项不合题意；D.(−2x)2=4x2，故本选项符合题意；故选：D．选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：在△ABE和△ACD中，{AE=AD ∠A=∠A AB=AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠C=∠B，∵∠B=25°，∴∠C=25°，∵∠A=60°，∴∠BDC=∠A+∠C=85°，故选：C．根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C=∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC=∠A+∠C，代入求出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC=∠A+∠C．4.【答案】D【解析】解：A.(a−b)2=a2+b2−2ab，故选项错误，不符合题意；B.(3a−b)(3a+b)=(3a)2−b2，故选项错误，不符合题意；C.(a+1)(a−2)=a2−a−2，故选项错误，不符合题意；D.(a+4b)2=a2+8ab+16b2，故选项正确，符合题意．故选：D．根据平方差公式、完全平方公式、乘法运算法则即可求出答案．本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=30°，故选：B．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DBA=∠A=40°，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：对于等式(a+b)2=a2+2ab+b2，可看作边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．根据矩形的性质，利用边长为(a+b)的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成可对各选项矩形判断．本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．7.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确；∴∠DAC=∠DAB=30°，∵∠C=90°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠DAB=∠B=30°，∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；∵∠DAC=30°，∴DC=1AD=1dm，2根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∴点D到AB的距离是1dm，故④正确；∵∠B=30°，∴AB=2AC，∵点D到AB的距离=DC=1dm，∴S△DAC：S△DAB=1：2，故⑤错误．综上所述：正确的有①②③④，共4个．故选：C．根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°，根据作图过程可得AD是∠BAC 的平分线，可以判断①；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断②；根据DA=DB，可以判断③；根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断⑤，进而可得结论．本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是综合掌握以上知识．8.【答案】D【解析】解：∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，∴当a=−2，b=1时，a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(−2+1)4=1，所以①正确；∵a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，∴当a=−3，b=2时，a3+3a2b+3ab2+b3=(−3+2)3=−1，所以②错误；∵a3+9a2+27a+27=a3+3a2⋅3+3a⋅32+33=(a+3)3，∴当代数式a3+9a2+27a+27的值是1，(a+3)3=1，解得a=−2，所以③错误；∵a4+8a3+24a2+32a+16=a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24=(a+2)4，∴a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，(a+2)4=1，解得a=−1或−3，所以④正确．故选：D．利用“杨辉三角”得到a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4=(a+b)4，再把a=−2，b=1代入=(a+b)4中计算可对①进行判断；由于a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3，则可把a=−2，b=1代入(a+b)3中计算可对②进行判断；把a3+9a2+27a+27变形为a3+3a2⋅3+3a⋅32+33，则a3+9a2+27a+27=(a+ 3)3，然后解方程(a+3)3=1可对③进行判断；把a4+8a3+24a2+32a+16变形为a4+4⋅a⋅2+6⋅a2⋅22+4⋅a⋅23+24，则a4+8a3+24a2+32a+16=(a+2)4= 1，然后解方程(a+2)4=1可对④进行判断．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了规律型的解决方法．9.【答案】a88a3b6【解析】解：(1)(a4)2=a4×2=a8；(2)(2ab2)3=23⋅a3⋅(b2)3=8a3b6．故答案为：a8；8a3b6．(1)幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，据此计算即可；(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．10.【答案】(−1,3)【解析】解：点M(−1,−3)关于x轴对称的点的坐标是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11.【答案】50°或80°【解析】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故答案为：50°或80°．根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．12.【答案】(x−3)2【解析】解：原式=(x−3)2．故答案为：(x−3)2原式利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.【答案】30°【解析】解：由题意得：D在AB的垂直平分线上．∴DB=DA．∴∠B=∠BAD=50°．∴∠CAD=∠BAD−∠BAC=50°−20°=30°．故答案为：30°．已知∠BAC=20°，欲求∠CAD，需求∠BAD.由D在AB的垂直平分线上，得DB=DA，那么∠B=∠BAD=50°，从而解决此题．本题主要考查线段垂直平分线的性质以及角的和差关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．14.【答案】7【解析】解：∵a−b=2，∴(a−b)2=a2+b2−2ab=4．∵(a+b)2=32，∴a2+b2+2ab=32．∴(a+b)2−(a−b)2=4ab=28．∴ab=7．故答案为：7．由a−b=2，得(a−b)2=a2+b2−2ab=4.由(a+b)2=32，得a2+b2+2ab=32，那么(a+b)2−(a−b)2=4ab=28，从而解决此题．本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键．15.【答案】4.5【解析】解：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴PB=PA=3，PB=1.5，在Rt△PBD中，PD=12∴AD=AP+PD=3+1.5=4.5．故答案为4.5．先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD=30°，∠ABP=∠DBP=30°，则PB=1.5，然后计算PB=PA=3，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD=12AP+PD即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．16.【答案】x=d或x≥a【解析】解：当BM=d时，即x=d，根据“HL”可判断△ABM的形状、大小是唯一确定的；当BM≥a时，即x≥a，以B为圆心，BM为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的，综上所述，x的取值范围为x=d或x≥a．故答案为x=d或x≥a．以B为圆心，BM为半径画弧，当BM=d时，Rt△ABM唯一确定；当BM≥a时，此弧与射线有唯一公共点，则△ABM的形状、大小是唯一确定的．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)6x2⋅3xy=18x3y.(2)(3x+1)(x−2)=3x2−6x+x−2=3x2−5x−2．(3)(6x4−9x3)÷3x2=6x4÷3x2−9x3÷3x2=2x2−3x．(4)(x+2y)2=x2+4y2+4xy．【解析】(1)利用单项式乘以单项式计算法则进行计算；(2)利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可；(3)多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可；(4)利用完全平方公式计算即可．此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．18.【答案】解：(1)原式=3xy(4z−3xy)；(2)原式=(x+y)(a2−25)=(x+y)(a+5)(a−5)．【解析】(1)直接提公因式3xy即可；(2)先提公因式(x+y)，再利用平方差公式即可进行因式分解．本题考查提公因式与公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．19.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵{AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F=∠ACB，∴AC//DF．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型；熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，还要注意已知的边或角是否为所要证明的三角形的边或角，如果不是要加以证明，必要时添加适当辅助线构造三角形．根据BE=CF得：BC=EF，由SSS证明△ABC和△DEF(SSS)，得∠F=∠ACB，可以得出结论AC//DF．20.【答案】解：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，=4a2−b2−4a2+12ab=−b2+12ab，当a=−1，b=2时，原式=−22+12×(−1)×2=−4−24=−28．【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．21.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【解析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22.【答案】(4,1)(2,3)(−1,−2)10【解析】解：(1)如图1：(2)由图可知A(−4,1)，B(−2,3)，C(1,−2)，∴A点关于y轴对称的点为(4,1)，B点关于y轴对称的点为(2,4)，C点关于y轴对称的点为(−1,−2)，故答案为：(4,1)，(2,4)，(−1,−2)；(3)如图2：作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，∴AP+BP=A′′P+BP=A′′B，此时PA+PB值最小；(4)如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，故答案为10．(1)由点的对称性，作出图形即可；(2)关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A′′，连接A′′B交x轴于点P，P点即为所求；(4)利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AP=AQ，∴∠APC=∠AQB，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，在△APB和△AQC中，{∠APB=∠AQC ∠B=∠CAB=AC∴△APB≌△AQC(AAS)，∴BP=CQ；(2)如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴∠MQC+∠C=90°，∴∠MQC=30°，∵△PQM是等腰三角形，∴PQ=MQ，∴∠PMQ=∠MPQ=15°．【解析】(1)根据等边对等角得到∠APC=∠AQB，∠APB=∠AQC，由等边三角形∠B=∠C，AB=AC，可得△APB≌△AQC，即可得到结论；(2)根据题意画出图形，根据等边三角形的性质可得∠CQM=30°，由等腰三角形的性质即可解答即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质是解题的关键．24.【答案】45log232log a MN MN【解析】解：(1)∵24=16，∴log216=4；∵25=32，∴log232=5；故答案为：4，5；(2)log24+log28=2+3=5=log232，故答案为：log232；(3)log a M+log a N=log a MN，验证：设log a M=x，log a N=y，则a x=M，a y=N，∴a x▪a y=a x+y=MN，∴log a a x+y=log a MN=x+y，∴log a MN=log a M+log a N，故答案为：log a MN；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N．故答案为：MN(1)根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；(2)利用对数的定义求解可得结论；(3)根据所得结论进行推导可得结论；(4)根据之前的探究，可得log a M−log a N=M．N本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．25.【答案】解：(1)如图，过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠ADB+∠BDC=180°，∠ADC=∠MDC，∴∠ABD=∠ADB=∠MDC，又∵AB//CM，∴∠ABD=∠M，∴∠M=∠MDC，∴CD=CM，∵点F是CE中点，∴EF=CF，又∵∠EFB=∠CFM，∴△BEF≌△MCF(AAS)，∴BE=CM，∴BE=CD；(2)补图如图，过点B作BN//AC，交PQ于点N，由(1)已证，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，又∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴∠A=∠ABD=60°，∵BN//AC，∴∠ABN=∠A=60°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，又∵∠BEN=∠AEQ，∴△AEQ≌△BEN(ASA)，∴EN=EQ=3，∵PE=BE，∠ABD=60°，∴∠P=∠PEB=30°，∴∠BNP=90°，∴PN=NE=3，∴PE=PN+NE=6．【解析】(1)过点C作CM//AB，交BD的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得∠M=∠MDC，利用AAS定理判定△BEF≌△MCF，从而结合全等三角形和等腰三角形的性质使问题得证；(2)过点B作BN//AC，交PQ于点N，结合全等三角形和等边三角形的判定和性质分析求解．本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．26.【答案】证明：(1)如图1中，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，∵∠ABC=90°，∴∠MAB+∠C=90°，∠ABM+∠CBM=90°，∴∠C=∠MBC；(2)如图2中，设PQ交OB于点F．∵△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°，∵∠ABO=30°，∴∠DBO=90°=∠ABC，∴∠CBO=60°，∵PQ垂直平分线段OB，∴BF=OF，∠CFB=90°，∴∠BCF=30°，∴BC=2BF，∴OB=BC，∴△DBO≌△ABC(SAS)，∴OD=AC；(3)如图3中，设PQ交AB于点T．∵CT//OA，∴∠CTB=∠BAO，∵∠AOB=∠CBT=90°，BC=OB，∴△AOB≌△TBC(AAS)，∴AB=CT，∵BD=AB，∴BD=CT，∵∠DBJ=∠CTJ，∠DJB=∠CJT，∴△DBJ≌△CTJ(AAS)，∴DG=CG．【解析】(1)利用等角的余角相等证明即可；(2)如图2中，设PQ交OB于点F.首先证明DB=BA，BO=BC，再证明△DBO≌△ABC(SAS)，可得结论；(3)如图3中，设PQ交AB于点T.证明△AOB≌△TBC(AAS)，推出AB=CT=BD，再证明△DBJ≌△CTJ(AAS)，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2019-2020学年北京海淀区8年级上-数学期中试题及答案
2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．153．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL 9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝cm．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有个．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'；B'；C'；（3）写出△A'B'C'的面积为．（直接写出答案）20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠＝∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠＝∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠＝∠＝∠．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．15【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5＝10，∴不能构成三角形；当腰为10时，∵5+10＞10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为：10+10+5＝25．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF【分析】根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞∠A，∴∠BPC＞80°，故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、P、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF ＝CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，∴BE＝EG，GF＝CF，∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（2，5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是1260°．【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则40°×n＝360°，解得n＝9．这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．答：这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n ﹣2）•180°；注意熟记n边形的外角和为360°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝165°．【分析】根据邻补角求出∠ADO的度数，再利用外角的性质，即可解答．【解答】解：∵∠BDC＝60°，∴∠ADO＝180°﹣∠BDC＝120°，∴∠OAD＝45°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ADO＝165°．故答案为：165°．【点评】本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．充分利用三角板中的特殊角进行计算．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．【分析】由折叠的性质可知∠B＝∠AEB，因为E点在AC的垂直平分线上，故EA＝EC，可得∠EAC＝∠C，根据外角的性质得∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，由此可求∠C．【解答】解：由折叠的性质，得∠B＝∠AEB，∵E点在AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由外角的性质，可知∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，解得∠C＝30°．故本题答案为：30°．【点评】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质．关键是把条件集中到直角三角形中求解．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝3cm．【分析】由角平分线的性质易得CE＝点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，∴CE＝点E到AB的距离＝3cm，∠BAE＝∠CAE，∵∠AEC+∠CAE＝90°，∠AFD+∠BAE＝90°，∴∠AEC＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查角平分线的性质和等角对等边，注意利用直角三角形的有关性质．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有6个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：6【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．【分析】直接利用三角形的外角的性质得出∠ADC＝80°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，正确应用三角形外角和定理是解题关键．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，证出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出AB＝DE．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定由性质、平行线的性质；证明三角形全等是解题的关键．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'（3，2）；B'（4，﹣3）；C'（1，﹣1）；（3）写出△A'B'C'的面积为 6.5．（直接写出答案）【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）依据△A'B'C'各顶点的位置，即可得出A′、B′、C′的坐标；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图可得，A′（3，2）、B′（4，﹣3）、C′（1，﹣1）；故答案为：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；（3）△A'B'C'的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝15﹣3﹣2.5﹣3＝6.5．故答案为：6.5．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．【分析】根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠AEC的度数．【解答】解：连接DE∵A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE为等边三角形．∴∠C＝60°．∴∠AEC＝90°﹣∠C＝30°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，正确得出△CDE为等边三角形是解题关键．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，证明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝15°（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝20°（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC＝∠BAD（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BP、BQ．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．【分析】（1）根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；（3）根据阅读材料进行判断并作出图形．【解答】解：（1）∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；（2）∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；（3）在（1）的条件下探究：∠ABS＝∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV＝∠ABC如图．【点评】本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO 交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．。
北京市八一学校 2019～2020 学年度第二学期期中试卷初二数学PDF无答案
13． 比较大小： 3 2 ______ 17 填“ ”、“ ”、“ ”
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C B
14. 菱形两条对角线的长为 4 和 6，则菱形 ABCD 的面积为 __ .
15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，若∠B＝64°，则∠ADC 的度数为_________.．
F
D
A
．
D
G
E
15 题图
BE
C
16 题图
B
C
17 题图
18．已知，点 E、F、G、H 在正方形 ABCD 的边上，且 AE＝BF＝CG＝DH．在点 E、F、G、H 处分别沿
45°方向剪开（即∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°），把正方形 ABCD 剪成五个部分，中间的
部分是四边形 PQMN．
考场号
学号
北京市八一学校 2019～2020 学年度第二学期期中试卷
初二 数学 一、选择题
（每题 3 分，共 30 分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． 1 2
B． 32
C． 7
D． a2
2. 下列条件中，不．能．判定一个四边形是平行四边形的是（ ）．
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组对角分别相等
D． 两组对边分别相等
3. 数据 2, 是（ ）
A．5 和 4
B．4 和 4
C．4.5 和 4
D．4 和 5
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若∠AOD=120°，BD=6，则 CD 的长为（ ）
3
A.
C．甲的成绩相对稳定，其方差小
北京八中2019-2020学年第一学期初二数学期中试卷
2019北京八中初二（上）期中数学年级：科目班级：姓名：考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，26道小题，满分100分。
考试时间100分钟。
2. 在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号。
3. 答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4. 考试结束，将试卷和答题纸一并交回。
1. 下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是()2. 计算5−2的结果是（）A. −10B. −25C. 125D.−1253. 如图，∆ABC≅∆DEC，∠A=70°，∠ACB=60°，则∠E的度数为（）A. 70B. 50C. 60D. 304. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. a(b−c)=ab−acB. x2−2x+3=(x−1)2+2C. x2−4=(x+2)(x−2)D. (x+1)(x+2)=x2+3x+25. 下列分式中，是最简分式的是（）A. x 2x B. 2x4x−2yC. x2−y2x+yD. 2x−36. 如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是一点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧7. 若x=−1,则下列分式值为0的是（）A. x 2x B. xx+1C. x−1xD.x2−1x8. 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A. ∆ABC三条角平分线的交点B. ∆ABC三边的中垂线的交点C. ∆ABC的三条中线的交点D. ∆ABC三条高所在直线的交点9. 下列各式从左到右的变形正确的是（）A. −x+yx−y =−1 B. xy=x+1y+1C.xx+y=1y+1D. (−3xy)2=3x2y210. 已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒。
2019-2020学年北京市六校联合考试八年级(上)期中数学试卷
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
解：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2AC．
解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴底角不能为110°，
∴底角为35°．
故答案为：35°．
13．如图，已知，∠CAE＝DAB，使△ABC≌△AED，你添加的条件为AB＝AE．
【分析】首先根据∠CAE＝DAB可得∠BAC＝∠EAD，再加上条件AB＝AE，AC＝AD，可利用SAS证明△ABC≌△AED．
解：添加条件：AB＝AE，
∵∠CAE＝DAB，
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；根据同底数幂相除，底数不变指数相减；根据幂的乘方，底数不变指数相乘．
解：A、a9÷a3＝a5﹣3＝a6，故A正确；
B、（a7）3＝a3×5＝a9，故B错误；
C、a2•a3＝a2+3＝a8，故C错误；
D、a3+a3＝8a3，故D错误；
故选：A．
3．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，则DE的长为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
2．下列各式的运算结果为a6的是（ ）
A．a9÷a3B．（a3）3C．a2•a3D．a3+a3
2019-2020北京第八中学初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京第八中学初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）．A ．()a x y ax ay +=+B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．21055(21)x x x x -=-D ．2163(4)(4)3x x x x x -+=+-+3．下列运算中，正确的是（ ）．A ．222235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．238()x x =D ．222()x y x y +=+4．已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，35B ∠=︒，则B D C ∠的度数是（ ）．A ．95︒B ．90︒C ．85︒D ．80︒5．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x x y y --=-B ．a b a b c c +-+-=C ．a a b a a b -=--D ．a b a b c c ---=-7．如图，已知ABC △的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ABC △全等的图形是（ ）． A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙8．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为（ ）． A ．24︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒二、填空题9．当x __________时，分式11x-有意义．10．在解分式方程2231111x x x -=+--时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以(1)(1)x x +-，得2(1)31x --=．① 2131x --=． ② 解得：52x =． 检验：52x =时，(1)(1)0x x +-≠， ③ 所以，原分式方程的解为52x =． ④如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为小兰在哪些步骤中出现了错误__________（只填序号）．11．如图，将ABC △绕点A 旋转到ADE △，75BAC ∠=︒，25DAC ∠=︒，则CAE ∠=__________．12．如图，已知AB BD ⊥，AB ED ∥，AB ED =，要说明ABC △≌EDC △，若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为__________．若添加条件AC EC =，则可以用__________判定全等．13．如图，在ABC △中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ADC ∆的周长为16，12AB =，则ABC △的周长为__________．14．若关于x 的二次三项式2+x kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则+k b 的值为__________．15．计算：321(3)()x x y ---÷=__________．16．在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A ，(5,5)B ，(5,2)C ，存在点E ，使ACE △和ACB △全等，写出所有满足条件的E 点的坐标__________．三、解答题17．因式分解：（1）256x x --（2）33312a b ab -18．因式分解：2269x x y -+-．19．计算：211(1)m m m-+÷．20．如图，点B ，E ，F ，C 在一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．21．已知2430x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．22．先化简，再对a 取一个适当的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+--+-÷．四、作图题（本题5分）23．电信部门要在．P 区域内．．．修建一座电视信号发射塔．如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B的距离必须相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）五、解答题24．已知：ABC △中，AC BC ⊥，CE AB ⊥于E ，AF 平分CAB ∠交CE 于F ，过F 作FD BC ∥交AB于D ．求证：AC AD =．25．赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车速度和自行车速度各是多少？26．在ABC △中，（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，50AB =，60BC =，请补全图形，并直接写出ABP △与BPC △面积的比值．（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和ACE ，CD 与BE 相交于点O ，求证：BE CD=．（3）在（2）的条件下判断AOD∠的数量关系，并加以证明．∠与AOE（注：可以直接应用等边三角形每个角为60︒）北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A A B C D B二、填空题9．1x ≠10．①②11．50︒12．BC DC =，HL13．2814．1-15．27yx16．(1,5)、(1,1)-、(5,1)三、解答题17．因式分解解：（1）原式(+1)(6)x x =-（2）原式223()ab a b =-3(2)(2)ab a b a b =+-18．解：原式22(3)x y =--(3)(3)x y x y =-+--．19．解：原式1(1)(1)m m m m m ++-=÷1(1)(1)m mm m m +=⋅-+1-1m =．20．解：∵BE CF =，EF EF =，∴BF CE =，在ABF △和DCE △中，AB DCABF DCE BF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABF △≌DCE △，∴A D ∠=∠．21．解：∵0342=--x x ，∴24360x x -+-=，∴(1)(3)6x x --=．22(23)()()x x y x y y --+--2222(23)x x y y =--+-22(23)x x =--(3)(33)x x =--3(1)(3)x x =--，将(1)(3)6x x --=代入上式，则22(23)()()3618x x y x y y --+--=⨯=．22．解：221369324a a a a a a a +--+--+-÷213(2)(2)32(3)a a a a a a a +-+-=-⨯-+-1233a a a a +-=---33a =-．令1a =，得原式33132==--．23．解：如图所示．线段AB 的中垂线与m 、n 的角平分线的交点就是所求的点．24．解：过F 点作FG AC ⊥交AC 于点G ，∵AF 平分CAB ∠，∴GAF EAF ∠=∠，在Rt AGF △和Rt AEF △中，AF AF GAF EAF=⎧⎨∠=∠⎩， ∴Rt AGF △≌Rt AEF △，∴AG AE =，FG FE =，∵DG 与CE 相交于点F ，∴CFG DFE ∠=∠，在Rt CFG △和Rt DFE △中，FG FECFG DFE =⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt CFG △和Rt DFE △，∴CG DE =，∴AC AD =．25．解：设自行车速度为x 千米/时， 则2020529x x -=18x =．∴自行车的速度为18千米/时，自驾车的速度是36千米/时．26．解：（1）∵BP 平分ABC ∠，PM AB ⊥且PN AB ⊥，∴PM PN =， ∴1252ABP S AB PM PM =⋅=△，1302PBC S BC PN PN =⋅=△，∴:25:305:6ABP BPC S S ==△△．（2）∵等边ABD △和等边ACE △，∴AD AB =，AC AE =，60BAD CAE ∠=∠=︒，∵DAC BAC BAD ∠=∠+∠，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD ABDAC BAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAC △≌BAE △，∴EB CD =．（3）∵AOE ∠是ABO △的外角，∴AOE BAO ABO ∠=∠+∠，∵AOD ∠是AOD △的内角，∴180120AOD ADO DAO ADO BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠，∵DAC △≌BAE △，∴ADC ABE ∠=∠，∴120AOD ABO BAO ∠=︒-∠-∠，∴120AOD AOE ∠=︒-∠，即120AOD AOE ∠+∠=︒．北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。
人教版八一中学八年级期中考试试卷.docx
初中数学试卷桑水出品八一中学八年级期中考试试卷数学满分：150分时间：120分钟制卷：郭屹一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．在□ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则□ABCD的周长等于A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG 的长为A．1 B．4 3C．32D．2．如果一次函数y kx b=+的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜03．一组数据X1，X2，…，Xn的极差是8，则另一组数据2X1＋1，2X2＋1…，2Xn＋1极差是A．8B．16C．9D．174．某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的A．中位数B．众数C．平均数D．极差5颜色黄色绿色白色紫色红色数量（件）100 180 220 80 550经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．已知样本x1，x2，x3，…，x n的平均数是3，方差是1，那么样本2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，…，2x n＋3的平均数和方差是A．3，1B．3，2C．9，3D．9，47．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝－2x的图象x A O 1 3 D ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4）8．某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验得到相应数据如下表：砝码的质量x （克）50 100 150 200 250 300 400 500 600 弹簧的长度y （厘米） 12345677.57.57.5则y 与x 的函数图像是 ABCD9．某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S (吨)与时间t (小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 A ．4小时 B ．4.4小时 C ．4.8小时 D ．5小时二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分） 10．已知一次函数，当x 减少3时，y 增加2，则的值是 ▲ ．11．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A ，B 两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如表所示．根据实际需要，广播电视局将面试．综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩，那么 ▲ （填A 或B ）将被录用．12．如图，正比例函数图象经过点A ，将该图象向下平移2个单位后函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ▲ ． 14．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，A 1，B 1，C 1，D 1是四边形ABCD 对应边上的中点，如果 AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1周长为 ▲ ．测试项目测试成绩A B 面试90 95综合知识测试85 80O 第14题图xy 1 Py=x+b y=ax+3 300O1 7.5 y （厘米）7.51325x (克)17.5 400 7.5O275OOy （厘米）x (克)y （厘米）x(克) y （厘米）x(克)第13题图x yA O1315．已知一次函数2y x b =-与两个坐标轴围成的三角形面积为9，则▲．16．已知平面上四点A （0，0），B （10，0），C （10，6），D （0，6），直线32y mx m =-+将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m 的值为 ▲ ．17．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：”你难不倒我，你现在加工了 ▲ 千克．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）18．（本小题满分8分）已知y ＋2与x －1成正比例，且当x ＝3时，y ＝4． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当y ＝1时，求x 的值．19．（本小题满分8分）如图，E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE //DF ． 求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）∠1＝∠2．20．（本小题满分8分）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求∠EFD 的度数．第18题图21．（本小题满分8分）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x (℃)，华氏温度为y (°F)，则y 是x 的一次函数．(1)仔细观察图中数据，试求出y 与x 之间的函数表达式； (2)当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?22．（本小题满分12分）星期天上午，文峰公园来了甲，乙两队游客，两队游客的年龄如表所示： 甲队：年龄 13 14 15 16 17 人数 21412（1 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客年龄 15 15 乙队游客年龄15411.4（2）根据前面的统计分析，回答下列问题： ①能代表甲队游客一般年龄的统计量是_______； ②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？23．（本小题满分12分）某中学为了解某年级1200名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年年龄 3 4 5 6 54 57 人数 1 2 2 3 11乙队：级50名学生进行了调查，结果如下表：时间（天） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13人数 1 2 4 5 7 11 8 6 4 2(1)在这个统计中，众数是_________，中位数是_________；分组频数频率3.5～5.5 3 0.065.5～7.5 9 0.187.5～9.5 0.369.5～11.5 1411.5～13.5 6 0.12合计50 1.00(3)请你估算这所学校该年级的学生中，每学期参加社会实践活动时间不少于9天的大约有多少人?24．（本小题满分12分）早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为50米/分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题：（1）坐标系中②是小欣离家的路程y与时间x的图象；▲是妈妈离家的路程y与时间x的图象．（只填序号）①O－A－C－B；②O－B；（2）点C的坐标是▲；（3）求小欣早晨上学需要的时间．25．（本小题满分14分）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？26．（本小题满分14分）如图，直线y＝kx＋6与x轴y轴分别相交于点E，F.点E的坐标为(－8，0)，点A的坐标为(－6，0).点P（x，y）是第二象限内的直线EF上的一个动点．(1)求K的值；(2)当点P运动过程中，试写出△OP A的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OP A的面积为27／8，并说明理由．。
北京市八一学校2019-2020学年上学期高二数学期中试卷(无答案)
北京市八一学校2019-2020学年第一学期期中试卷高二数学一、选择题1.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果1010S =，那么110a a +的值是( ) A .1B .2C .3D .42.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a 的值为( ) A .1B .2C .3D .43.函数()221y x =-在1x =处的导数值是( ) A .4B .5C .6D .74.如图是函数()y f x =的图象，那么导函数()'f x 的零点个数是( )A .6B .7C .8D .95.已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.下列说法错误的是( )A .任给等差数列{}n a 和{}n b ，数列{}n n a b +是等差数列B .存在等差数列{}n a 和{}n b ，数列{}n n a b 是等差数列C .任给等比数列{}n a 和{}n b ，数列{}n n a b +是等比数列D .存在等比数列{}n a 和{}n b ，数列{}n n a b 是等比数列7.已知二次函数()y f x =及其导函数()'y f x =的图象如图所示，则函数()f x =( ) A .1y x =- B .22y x x =-C .22y x =-D .212y x x =- 8.已知等腰梯形的上底长为7，腰长为2，那么该等腰梯形面积最大时的下底长为( ) A .7.5 B .8 C .8.5 D .99.若函数()3316f x x ax =-+有三个零点，并且在1x =处的瞬时变化率是负值，则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .()2,+∞C .()3,+∞D .()4,+∞10.已知函数()1sin 3f x x x =-，[]0,x π∈，并且[]()001cos 0,3x x π=∈，那么下面命题中真命题的序号是( )①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ③在()[]00,f x x 上是减函数 ④在()f x 在[]0,x π上是减函数 A .②③ B .①④C .④D .③二、填空题11.已知数列{}n a 满足11a =，21211n n n a n a a +++=+，那么2019a =_____________.12.已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是____________.13.等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足15n S -=-，11n S =，121n S +=-，*n N ∈，则n 的值为_____________.14.曲线()212ln 2f x x x =-的切线斜率为1，则切点横坐标是_____________.15.函数()()21xf x x =-的最小值是______________.16.已知函数()323914f x x x x =--+，若函数()()F x f x a =-恰好有两个极小值点，则常数a 的取值范围是_____________.三、解答题17.已知数列{}n a 是等差数列，且2519a a +=，3625a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.学校科技节制作纸条车后，班里剩余一块长为80厘米、宽为50厘米的矩形纸板。
2019——2020学年度第一学期北师大版八年级(上)期中数学测试题(含解析) (81)
北师大版数学八年级（上）期中测试卷数学试卷（满分：100分 时间：100分钟） 命题：黄口中学八年级数学备课组1.下面平等四边形不具有的性质是A 、对角线互相平分B 、两组对边分别相等B 、对角线相等 D 、相邻两角互补2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是A 、0B 、1C 、2D 、3 3.下列关于12的说法中，错误．．的是 A 、12是无理数 B 、3＜12＜4 B 、12是12的算术平方根 D 、12不能再化简 4.下列平方根中，已经化简的是 A 、31B 、20C 、22D 、121 5.右图可以看作是一个等腰直角三角形连续旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°一、选择题（每小题2分，满分20分）（下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入下表中。
ABC第2题图第5题6.如图，在一个由4×4个正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是A 、3 ：4B 、5 ：8C 、9 ：16D 、1 ：27.若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 A 、223cm B 、23cm C 、22cm D 、232cm 8.与数轴上的点一一对应的数是A 、无理数B 、分数或整数C 、有理数D 、实数 9.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离为 A 、212π+ B 、2412π+ C 、214π+ D 、242π+10.如下图，经过平移和旋转变换可能将甲图变成乙图的是（默认三角形都是全等的）11.下列各数：21，0.3·2·，π，5，0.01020304……中是无理数的有 个。
初中八年级数学上学期期中考前测试卷(人教版)含答案解析
2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷数学（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作“沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合”的是（）A．B．C．D．2．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（）A．13°B．23°C．33°D．43°3．（2022·江西赣州·八年级期中）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣，则c的值可以为（）A．6B．7C．8D．94．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，要使ABC ABD△≌△，下面给出的四组条件，错误的一组是（）A．C D∠=∠，BAC BAD∠=∠B．BC BD=，AC AD=C．BAC BAD∠=∠，ABC ABD∠=∠D．BD BC=，BAC BAD∠=∠5．（2021·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()A．B．C．D．6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=90°则∠O的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．20°7．（2021·黑龙江·同江市第三中学八年级期中）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16B．18C．26D．288．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…点O是ABC三条角平分线的交点，则ABOS：BCOS△：CAOS△等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：59．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）如图，在ABC中，4AB AC==，15B∠=︒，CD是腰AB上的高，则CD的长（）A．4B．2C．1D．1210．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图所示，ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若AEF的周长为30cm，则AB AC+=（）cm．A．10B．20C．30D．4011．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70︒，则∠EAN的度数为（）A．35︒B．40︒C．50︒D．55︒12．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④1:3ACD ACBS S=：．其中正确的有（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④13．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE AC⊥于点E，Q为BC延长线上一点，当AP CQ=时，PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定14．（2022·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）如图，在ABC中，90BAC∠=︒，2AB AC=，点D是线段AB的中点，将一块锐角为45︒的直角三角板按如图()ADE放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、CE，CE与AB交于点.F下列判断正确的有（）①ACE≌DBE；②BE CE⊥；③DE DF=；④DEF ACFS S=A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2020·福建省福州延安中学八年级期中）已知点Р(a，3)和点Q(4，b)关于x轴对称，则()2021a b+=________．16．（2022·福建省龙岩市永定区第二初级中学九年级期中）如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝_____．○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________17．（2021·福建·福州教院二附中八年级期末）如图，将等边△ABC 的三条边向外延长一倍，得到第一个新的111A B C △，第二次将等边111A B C △的三边向外延长一倍，得到第二个新的222A B C △，依此规律继续延长下去，若△ABC 的面积01S =，则第2022个新的三角形的面积2022S 为________18．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝10cm ，∠B ＝∠C ，BC ＝8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段AC 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v cm/s ，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为_______cm/s ．三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，BE ＝CF ，AC DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：△ABC ≌△DFE ；(2)若BF ＝12，EC ＝4，求BC 的长．20．（2019·北京市八一中学八年级期中）在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''V （其中A '，B '，C '分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）；(2)直接写出A '，B '，C '三点的坐标：A '（），B '（），C '（）(3)在x 轴上找出点P ，使得点P 到点A 、点B 的距离之和最短（保留作图痕迹）(4)点Q 在坐标轴上，且满足BCQ △是等腰三角形，则所有符合条件的Q 点有__________个．21．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．(1)若D 恰好在BC 的中点上(如图1)①求证CD =CE ；②求证：△ADE 是等边三角形；(2)若D 为直线BC 上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE 是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．22．（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）（1）如图，在7×6的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试只用不带刻度的直尺，按要求画出线段EF （E ，F 均为格点），各画出一条即可．（2）如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC 的角平分线BD （不写………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…23．（2022·河南信阳·八年级期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：①画EF=BC；②在线段EF的上方画∠F=∠C；③画DE=AB；④顺次连接相应顶点得所求三角形．(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．24．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，100ACB∠=︒，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且50CEH∠=︒．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；25．（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D¢的位置时，你能求出∠A'、∠D¢、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．26．（2021·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为；（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷（人教版2022）数学·全解全析1234567891011121314 C C A D D C B D B C B D B C 1．C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，∴∠CBA=∠FED=15°，∵∠A=132°，∴∠C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．3．A【分析】先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值．【详解】解：∵|a﹣，∴a﹣5=0，a=5；b﹣2=0，b=2；则5﹣2＜c＜5+2，6符合条件；故选：A ．【点睛】本题考查非负数的性质和三角形三条边的关系，准确求出a 、b 的值是解题的关键.4．D【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．【详解】解：A 、∵C D ∠=∠，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，∴ABC ABD △≌△(AAS )，正确，故此选项不符合题意；B 、∵BC BD =，AC AD =，AB =AB ，∴ABC ABD △≌△(SSS )，正确，故此选项不符合题意；C 、∵BAC BAD ∠=∠，ABC ABD ∠=∠，AB =AB ，∴ABC ABD △≌△(ASA )，正确，故此选项不符合题意；D 、BD BC =，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，两边以及一边对角对应相等，不能判定ABC ABD △≌△，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL 是解题的关键．5．D【分析】若使PA +PC ＝BC ，则PA =PB ,P 在线段AB 的垂直平分线上，需要做线段AB 的垂直平分线．【详解】解：A.由作图可知BA =BP ，∴BC =BP +PC =BA +PC ，故A 不符合题意；B.由作图可知PA =PC ，∴BC =BP +PC =BP +PA ，故B 不符合题意；C.由作图可知AC =PC ，∴BC =BP +PC =BP +AC ，故C 不符合题意；D.由作图可知PA =PB ，∴BC =BP +PC =PA +PC ，故D 符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质及作图，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解题关键．6．C【分析】设∠O=x ，进而根据三角形外角的性质表示出∠2，即可表示出∠3，同理表示出∠4，可得∠5，再表示出∠6，即可∠7，最后根据∠8=∠O +∠7得出答案即可．【详解】设∠O=x ，∵∠2是△ABO 的外角，且∠O =∠1，∴∠2=∠O +∠1=2x ，∵∠4是△BCO 的外角，∴∠4=∠O +∠3=3x ，∴∠5=∠4=3x ．∵∠6是△CDO 的外角，∴∠6=∠O +∠5=4x ，∴∠7=∠6=4x ．∵∠8是△DEO 的外角，∴∠8=∠O +∠7=5x ，即5x =90°，解得x =18°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题的关键．7．B【分析】根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，据此即可作答．【详解】∵ED 是边AC 的垂直平分线，∴AE =EC ，∵AB =10厘米，BC =8厘米，∴BC +CE +EB =BC +AE +EB =BC +AB =18厘米，即△BEC 的周长为18厘米，故选：B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，是解答本题的关键．8．D【分析】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，利用角平分线的性质得到OD OE OF ==，然后根据三角形面积公式得到ABO S ：BCO S △：CAO S AB = ：BC ：AC ．【详解】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，点O 是ABC 三条角平分线的交点，OD OE OF ∴==，ABO S ∴ ：BCO S △：12CAO S AB OD ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ ：12OE BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭：12OF AC AB ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭：BC ：15AC =：20：253=：4：5．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式．9．B【分析】根据三角形外角的性质得30DAC ∠=︒，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD 的长．【详解】解：AB AC = ，15B ∠=︒，15ACB B ∴∠=∠=︒，30DAC ∴∠=︒，CD 是腰AB 上的高，CD AB ∴⊥，122CD AC ∴==，故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，求出30DAC ∠=︒是解题的关键．10．C【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠EBD ＝∠EDB ，证出ED ＝EB ，同理DF ＝FC ，则△AEF 的周长即为AB +AC ，可得出答案．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠EBD ＝∠EDB ，同理：FD ＝FC ，∴AE +AF +EF ＝AE +EB +AF +FC ＝AB +AC ＝30cm ，即AB +AC ＝30cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出ED ＝EB ，FD ＝FC 是解题的关键．11．B【分析】根据三角形内角和定理可求∠B +∠C ，根据垂直平分线性质，EA ＝EB ，NA ＝NC ，则∠EAB ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，从而可得∠BAC ＝∠BAE +∠NAC －∠EAN ＝∠B +∠C －∠EAN ，即可得到∠EAN ＝∠B +∠C －∠BAC ，即可得解．【详解】解：∵∠BAC ＝70︒，∴∠B +∠C ＝18070110︒︒︒﹣＝，∵AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，∴EA ＝EB ，NA ＝NC ，∴∠EAB ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠BAE +∠NAC －∠EAN ＝∠B +∠C －∠EAN ，∴∠EAN ＝∠B +∠C －∠BAC ，＝11070︒︒﹣＝40︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN 的关系式是关键．12．D【分析】①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD =30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．故①正确；∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC =60°．故②正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =CD +BD =12AD +AD =32AD ，DAC S =12AC •CD =14AC •AD ．∴ABC S =12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ．∴DAC S ：ABC S =14AC •AD ：34AC •AD =1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定、线段垂直平分线的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉线段垂直平分线的判定和性质．13．B【分析】根据题意先过点Q 作AD 的延长线的垂线QF ，证明 AEP ≅ CFQ ，再证明 DEP ≅ DFQ 得到DE =DF ，最后可以得到DE =12AC ，求出最终结果．【详解】如图，过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ACB =60°，∵∠ACB =∠QCF ，∴∠QCF =60°，又∵PE ⊥AC ，QF ⊥AC ，∴∠AEP =∠CFQ =90°，又AP =CQ ，∴△AEP ≅△CFQ (AAS )，∴AE =CF ，PE =QF ，同理可证，△DEP ≅△DFQ ，∴DE =DF ，∴AC =AE +DE +CD =DE +CD +CF =DE +DF =2DE ，∴DE =12AC =12．故选B ．【点睛】本题属于全等三角形的综合问题，考查作辅助线、全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是关键．14．C【分析】利用ADE 为等腰直角三角形得到45EAD EDA ∠∠==︒，EA ED =，则135EAC EDB ∠∠==︒，则可根据“SAS ”判断ACE ≌DBE SAS （），从而对①进行判断；再利用AEC DEB ∠∠=证明90BEC DEA ∠∠==︒，则可对②进行判断；由于9090DEF BED AEC ∠∠∠=︒-=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒-，而AC AD AE =>得到AEC ACE ∠∠>，所以DEF DFE ∠∠<，于是可对③进行判断；由ACE ≌DBE 得到ACE DBE S S = ，由BD AD =得到DAE DBE S S = ，所以ACE DAE S S = ，从而可对④进行判断．【详解】解：2AB AC = ，点D 是线段AB 的中点，BD AD AC ∴==，ADE 为等腰直角三角形，45EAD EDA ∠∠∴==︒，EA ED =，4590135EAC EAD BAC ∠∠∠=+=︒+︒=︒ ，180********EDB EDA ∠∠=︒-=︒-︒=︒，EAC EDB ∠∠∴=，在ACE 和DBE 中，EA ED EAC EDB AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACE ∴ ≌SAS DBE （），所以①正确；AEC DEB ∠∠∴=，90BEC BED DEC AEC DEC DEA ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==︒，BE EC ∴⊥，所以②正确；90DEF BED ∠∠=︒- ．而AEC DEB ∠∠=，90DEF AEC ∠∠∴=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒- ，而AC AD AE =>，AEC ACE ∠∠∴>，DEF DFE ∠∠∴<，DE DF ∴>，所以③错误；ACE Q V ≌DBE ，ACE DBE S S ∴= ，BD AD = ，DAE DBE S S ∴= ，ACE DAE S S ∴= ，DEF ACF S S ∴= ，所以④正确．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．15．1【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：∵点P （a ，3）和点Q （4，b ）关于x 轴对称，∴a =4，b =-3，则20212021()(43)1a b +=-=．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．16．48°##48度【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE ＝120°，∠DCE ＝108°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出∠BEC ．【详解】解：由多边形的内角和可得，∠ABE ＝()621806-⨯︒＝120°，∴∠EBC ＝180°﹣∠ABE ＝180°﹣＝60°，∵∠DCE ＝()521805-⨯︒＝108°，∴∠BCE ＝180°﹣108°＝72°，由三角形的内角和得：∠BEC ＝180°﹣∠EBC ﹣∠BCE ＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故答案为：48°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．17．20227【分析】连接1CB ，根据等底同高可得1111112,2,2B BC A CC A AB S S S === ，从而可得17S =，同样的方法可得227S =，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：如图，连接1CB ，1AB BB = ，ABC 的面积01S =，101BCB ABC S S S ∴=== ，又1BC CC = ，1111B CC BCB S S ∴== ，112B BC S ∴= ，同理可得：11112,2A CC A AB S S == ，111122217A B C S S ∴==+++= ，同理可得：2221112277A B C A B C S S S === ，归纳类推得：7n n n A B n C n S S == ，其中n 为非负整数，202220227S ∴=，故答案为：20227．【点睛】本题考查了图形类规律探索、三角形中线与面积，正确归纳类推出一般规律是解题关键．18．3或154【分析】分情况讨论BPD △，CQP V 全等：①设运动了t 秒，BPD CQP ≅△△，得BP CQ =，3t vt =，算出v ；②设运动了t 秒，BDP QCP ≅V V ，得BD CQ =，PB PC =；得34t =，5vt =，解出v ，即可．10AB AC ==，8BC =【详解】①设运动了t 秒，BP CQ =，BPD CQP ≅△△，∵点D 是AB 的中点∴152BD AB ==∵BD PC=∴()853BP cm =-=∴B 点向C 点运动了33t =，1t =秒∵BPD CQP≅△△∴BP CQ=∴31v =⨯∴3/sv cm =②设运动了t 秒，当BD CQ =时，BDP QCP≅V V ∵5BD =，142PB PC BC ===∴34t =解得43t =秒∵BD CQ =∴453v =⨯∴15/s 4v cm =故答案为：3或154．【点睛】本题考查全等三角形、动点问题，解题的关键是以静制动，利用全等三角形的性质进行解答．19．(1)证明见解析(2)8【分析】（1）先根据平行线的性质可得ACB DEF ∠=∠，再根据线段和差可得BC FE =，然后根据AAS 定理即可得证；（2）先根据线段和差可得8BE CF +=，从而可得4BE =，再根据BC BE EC =+即可得．（1）证明：AC DE ∥，ACB DEF ∠=∠∴，BE CF = ，BE CE CF CE ∴+=+，即BC FE =，在ABC 和DFE △中，A D ACB DEF BC FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DFE ∴≅ ．（2）解：12,4BF EC == ，8BE CF BF EC ∴+=-=，BE CF = ，4BE ∴=，448BC BE EC ∴=+=+=．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．20．(1)见解析；(2)4，1；2，3；−1，−2；(3)见解析；(4)10．【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；（2）关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；（3）作A 点关于x 轴的对称点A ''，连接A B ''交x 轴于点P ，P 点即为所求；（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．（1）如图1：（2）由图可知A （−4，1），B （−2，3），C （1，−2），∴A 点关于y 轴对称的点为（4，1），B 点关于y 轴对称的点为（2，3），C 点关于y 轴对称的点为（−1，−2），∴A′（4，1），B′（2，3），C′（−1，−2），故答案为：4，1；2，3；−1，−2；（3）如图2：作A 点关于x 轴的对称点A '，连接A B ''交x 轴于点P ，∴AP BP A P BP A B ''''+=+=，此时PA ＋PB 值最小；（4）如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．21．(1)①见解析；②见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD，AD⊥BC，进一步求出∠EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出∠DEC=30°，从而得出∠EDC=∠DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论；②由SAS证明△ABD≌△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论；（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF≌△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“∠ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论．（1）①证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，∵D是BC中点，即BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠ADE=60°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=90°-60°=30°，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE；②∵BD=CD，CD=CE，∴BD=CE，在△ABD和△ACE中，∵AB AC ABD ACEBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，又∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形；（2）解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：，∵∠ACB=60°，∴△DCF是等边三角形，∴DF=CD，∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，∴∠ADF=∠EDC，∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，∠ACE=∠ADE=60°，∴∠DAF=∠DEC，∴△ADF≌△EDC（AAS），∴AD=ED，又∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题目要求，利用数形结合的思想画出线段EF即可；（2）取格点Q，连接AQ，取AQ的中点J，作射线BJ交AC于点D，线段BD即为所求．【详解】解：（1）如图，线段EF即为所求：（2）如图，线段BD即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23．(1)见解析(2)2，D EF '；(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；（2）根据所画图形填空即可；（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．（1）解：如图所示：（2）2个；其中三角形D EF '（填三角形的名称）与△ABC 明显不全等，故答案为：2，D EF '；（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．24．(1)40︒(2)证明见解析(3)514【分析】（1）先求出80ACD ∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余可得40DCE ∠=︒，然后根据ACE ACD DCE ∠=∠-∠即可得；（2）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，先根据角平分线的性质可得,EM EH EN EH ==，从而可得EM EN =，再根据角平分线的判定即可得证；（3）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，则EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，再根据21ACE DCE ACD S S S +== 和三角形的面积公式可得x 的值，从而可得EM 的值，然后利用三角形的面积公式即可得．（1）解：100ACB ∠=︒ ，18080ACD ACB ∴∠=︒-∠=︒，,50EH BD CEH ⊥∠=︒ ，9040DCE CEH ∴∠=︒-∠=︒，40ACE ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒．（2）证明：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，BE 平分ABC ∠，,EM BF EH BD ⊥⊥，EM EH ∴=，由（1）可知，40ACE DCE ∠=∠=︒，即CE 平分ACD ∠，EN EH ∴=，EM EN ∴=，又 点E 在CAF ∠的内部，AE ∴平分CAF ∠．（3）解：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，由（2）已得：EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，21ACD S = ，21ACE DCE S S +∴= ，112221AC EN CD EH ∴⋅+⋅=，即()1221x AC CD +=，又14AC CD += ，211223142x AC CD ⨯=∴⨯==+，3EM ∴=，8.5AB = ，ABE ∴ 的面积为11518.53224AB EM ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．25．（1）2∠A ＝∠1+∠2；见解析；（2）2∠A ＝∠1﹣∠2；见解析；（3）2（∠A +∠D ）＝∠1+∠2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3=EDA '∠=12（180-∠1），∠4=DEA '∠=12（180-∠2），∵∠A +∠3+∠4=180°，∴∠A +12（180-∠1）+12（180-∠2）=180°，整理得，2∠A=∠1+∠2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，∠3=12（180-∠1），∠4=12（180+∠2），∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+12（180-∠1）+12（180+∠2）=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，∠3=12（180-∠1），∠4=12（180-∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠D+12（180-∠1）+12（180-∠2）=360°，整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．26．（1）（0，3）；（2）AM ＝2CD ，理由见解析；（3）不变，12【分析】（1）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，由全等三角形的判定定理可得ABO BCH ≌，可得3CH BO ==，即可求解；（2）延长AB ，CD 交于点N ，由全等三角形的判定定理可得ADN ADC ≌，得出CD DN =，再依据全等三角形判定定理证明ABM CBN ≌，可得AM CN =，即可得结论；（3）如图③，作CG ⊥y 轴于G ，由全等三角形判定定理可得BAO CBG ≌，得出BG AO =，CG OB =，再依据全等三角形的判定可证CGP FBP ≌，得出PB PG =，可得1122PB BG AO ==，由三角形面积公式可求解．【详解】解：（1）如图①，过点CH ⊥y 轴于H ，∴90BHC ABC ∠=︒=∠，∴90BCH CBH ABH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCH ABH ∠=∠，∵点C 的横坐标为﹣3，∴3CH =，在ABO 和BCH 中，BCH ABHBHC AOB BC AB∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴ABO BCH ≌，∴3CH BO ==，∴点B （0，3）；故答案为：（0，3）；（2）2AM CD =，如图②，延长AB ，CD 交于点N，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，在ADN 和ADC 中，90BAD CADAD AD ADN ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ADN ADC ≌，∴CD DN =，∴2CN CD =，∵90BAD ∠+∠=︒N ，90BCN ∠+∠=︒N ，∴BAD BCN ∠=∠，在ABM 和CBN 中，BAM BCNBA BC ABM CBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABM CBN ≌，∴AM CN =，∴2AM CD =；（3）△BPC 与△AOB 的面积比不会变化，理由：如图③，作CG ⊥y 轴于G，∵90BAO OBA ∠+∠︒＝，90OBA CBG ∠+∠︒＝，∴BAO CBG ∠∠＝，在BAO 和CBG 中，90AOB BGC BAO CBG AB BC∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴BAO CBG ≌，∴BG AO ＝，CG OB ＝，∵OB BF ＝，∴BF GC ＝，在CGP 和FBP 中，90CPG FPBCGP FBP CG BF∠=∠⎧⎪∠∠=︒⎨⎪=⎩＝，∴CGP FBP ≌，∴PB PG＝，∴1122PB BG AO==，∵12AOBS OB OA∆=⨯⨯，111222PBCS PB GC OB OA∆=⨯⨯=⨯⨯⨯，∴12PBC AOBS S∆∆=：．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，理解题意，作出相应辅助线，充分运用全等三角形的判定是解题关键．。