第九章多元函数微分法及其应用
多元函数微分学的基本原理及其在实际问题中的应用
多元函数微分学的基本原理及其在实际问题中的应用多元函数微分学是微积分的一个分支，主要研究多元函数在某点处的变化率及其相关性质。
在实际问题中，多元函数微分学有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
一、多元函数微分学的基本原理1. 偏导数：对于多元函数，偏导数是指将其他所有自变量固定，只对一个自变量求导的过程。
偏导数可以表示函数在某一方向上的变化率。
2. 全微分：给定一个多元函数，如果函数在某一点可导，则存在一个线性映射，将各个自变量的变化与函数值的变化联系起来。
这个线性映射称为全微分，表示函数在某一点的变化。
3. 方向导数：方向导数表示函数在给定方向上的变化率。
对于足够光滑的函数，在某一点处的方向导数可以通过对该点处的梯度与方向向量取内积得到。
4. 雅可比矩阵：雅可比矩阵是偏导数的推广，用于描述多元函数的变化率。
它是一个 m×n 的矩阵，其中 m 表示函数的输出维度，n 表示函数的输入维度。
二、多元函数微分学在实际问题中的应用1. 最优化问题：多元函数微分学可以帮助我们解决最优化问题。
通过求解多元函数的导数以及方程组，我们可以找到函数的最值点。
这在经济学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用，如最大化收益、最小化成本、优化产品设计等。
2. 凸优化问题：凸优化问题在机器学习和数据分析中起着重要的作用。
多元函数微分学可以帮助我们判断一个函数是否是凸函数，并且通过求解函数的导数和二阶导数，可以找到函数的凸区域和凸包络。
这对于解决凸优化问题和设计高效算法至关重要。
3. 方程组求解：多元函数微分学可以应用于求解多元方程组。
通过对方程组中的各个方程进行偏导数运算，并联立求解方程组，我们可以求得方程组的根。
这在工程学和科学研究中经常用到，如电路分析、物理问题求解等。
4. 曲面拟合：多元函数微分学可以帮助我们对实际观测的数据进行曲面拟合。
通过求解多元函数的一阶导数和二阶导数，我们可以确定曲面的局部特性，并找到最适合观测数据的拟合曲面。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
高中数学知识点多元函数微积分应用
高中数学知识点多元函数微积分应用在高中数学学习中，多元函数微积分是一个非常重要的知识点。
多元函数微积分可以用来研究多元函数的导数、极值、曲线、曲面、变化率、微分、积分等等，具有广泛的应用。
本文将探讨多元函数微积分在实际中的应用。
一、多元函数的导数和极值多元函数的导数不仅可以用于研究函数的变化率，还可以指导实际生活中的问题。
例如，在物理学中，速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
利用这些知识，可以研究行人、汽车、火车、飞机等移动物体的速度和加速度问题。
一般来说，多元函数的极值是在优化问题中经常用到的，例如，求解一个开销最小的问题，或者求解一个最大利润的问题。
例如，存在一个工厂需要购买原材料和粉尘，对于这个问题，我们可以建立一个多元函数模型，以此求出最优方案。
这个方案的最小值或者最大值就是整个问题的解。
二、曲线和曲面多元函数也可以用来研究曲线和曲面等几何问题。
例如，在计算机图形学中，平面和立体的图形都是由曲线和曲面组成的。
利用多元函数微积分，可以研究图形的曲率、曲面的法向量等几何问题。
在物理学中，曲率也有着非常重要的应用。
例如，曲率可以用来研究弯曲物体的形态，如桥梁、大棚、玻璃等的形态。
三、微分和积分微分是多元函数微积分中的另一个重要概念。
它的主要作用是确定一个函数的局部变化率和切线方程，进而可以用来解决各种实际问题。
例如，微分可以用来确定一个物体在某个瞬间的位置、速度和加速度。
积分也是多元函数微积分中的一个重要概念。
它可以用来求解面积、体积、质量、重心等问题。
例如，在建筑工程中，如何确定一个建筑物的体积？在机械制造中，如何确定一个机器的质量和重心？这些问题都可以通过积分来求解。
总之，多元函数微积分的应用范围非常广泛，可以用来研究各种实际问题。
在生活中，我们经常遇到需要用到多元函数微积分来解决的问题。
掌握了多元函数微积分的相关知识，对我们的生活和工作都有显著的帮助。
多元函数微分法应用-极值与最值
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、 多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用在物理学中，多元函数微分学广泛应用于描述和分析物理问题。
例如，通过对位移、速度和加速度等量的求导，可以得到物体的运动学性质。
这种应用包括运动物体、弹性和流体力学等领域。
在力学中，多元函数微分学被用于描述复杂的力和能量系统。
例如，它可以帮助研究动力学系统的不稳定性和平衡性。
在经济学中，多元函数微分学也有重要的应用。
经济学中的许多问题可以用多元函数模型进行数学建模，如宏观经济模型、价格理论、产量与成本理论等。
例如，均衡理论用微分方程和最优化理论进行数学建模，研究市场供求关系和均衡价格。
在生物学中，多元函数微分学也有广泛应用。
生物学常常需要用复杂的数学模型来描述生态系统。
例如，生态系统中的食物网络和生物钟可以用微分方程进行数学建模和分析。
微分方程还可以用于描述细胞分化、神经反应和心脏功能等生物过程。
在金融学中，多元函数微分学同样具有重要的应用。
金融市场中的诸多因素可以建立数学模型来进行分析和预测。
例如，股票价格的变化可以用微分方程进行数学建模。
此外，数学模型也可以用于描述和分析各种金融衍生品的风险和收益。
在信息工程中，多元函数微分学同样有广泛应用。
例如，信号处理中的滤波器应用了傅里叶变换和微分方程等数学概念，可以进行自动控制和图像处理操作。
此外，微分方程还可以用于描述传感器网格、电路设计等信息科学领域的问题。
总之，多元函数微分学在各个领域都有广泛的应用。
它能够帮助我们理解和分析各种复杂的现象，解决实际问题，推动科学技术的进步。
因此，对多元函数微分学的深入学习和研究是今天各个领域中的重要任务之一。
多元函数微分学及应用
2x3x 2 fdx x 3 h (xdy ydxxdy ydx习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法？(1)多元复合函数设二兀函数z f(u,v)在点(u o ,v o )处偏导数连续，二元函数 u u(x, y), v v(x, y)在点 (x o , y o )处偏导数连续，并且u o u(x o , y o ),v o v(x o ,y o ),则复合函数 z f (u(x, y), v(x, y))在点(x o ,y o )处可微，且dz — dx —z dyx y计算—f u f v zu f v 代人，xu x v xyu y v yzz f uf v fu f v dzdx dydxdyxy u x v xuyv yf u . uf v , v ,dx dydx dyu x yvxydu dv u v例 1 设 z x 3f xy,—，求一^,二。
x x y解：dz f 3x 2dx x 3df 3x 2 fdx x 3 f |d(xy) f 2 d — xf u o ,v ou x o , y of u o ,v ov x o ,y o(x o ,y o )uxvxf u o , v ou x o , y of u o ,v ov X o , y o(x o ,y o )uy vyz xz y多元函数微分形式的不变性:则将z 看成x, y 的函数，有f (u,v),u u(x, y), v v(x, y)，均为连续可微,我们将 dz — dx — dyx y—du ~~ dv 叫做微分形式不变性。
u v例3已知函数y f (x)由方程ax by f x 2 y 2 , a,b 是常数，求导函数。
解：方程ax by f x 2 y 2 两边对x 求导，a b 业 f (x 2 y 2) 2x 2y 业dxdxdy 2xf (x 2 y 2) a dx b 2yf (x 2 y 2)两端分别关于x i 求偏导数得到，并解f, 可得到公式：一yF x x,y F y x, yX iXi例4设函数x x(z), y y(z)由方程组2 2 2 …x y z 12 o 2 2 dx 2y z 1 0确定，求0确定，求导之函数？ y(x 1 ,...,x n ),对于方程F(X 1,...,X n ,y(X 1,...,X n ))3x 2fx 3yf i xyf 2 dx x 4 f 1 x 2f 2 dy由微分形式不变性,dz — dx x—dy y 3x f xyf ixyf 2 dx x 4 f 1 x 2 f 2 dy3x 2fx 3yf ixyf 2x 4 f 1 x 2 f 2例2已知y，求亠dydx解考虑二元函数y1 ,vx 应用推论得dy dxdu u dxy dv .vuv dx(In u)u v $ x1x(1 In x).⑵隐函数 若函数 x ,由方程 按隐函数定义有恒等式:F x, y x 0 x, y A F dx0确定, x, y x求导之函数?F x x, yF y x, y x y xF x x,y x oF y x, y x从这是可见：函数y x 可导有一个必要条件是,F y x,y 0.般来说，若函数y y x ,由方程F x, y将y 看作是x 1,...,x n 的函数y y xdx dy dz ，dzdz dz 2 2 2 ,2x2y — 2z解xyz 1dx dy 解方程得：2小2x 2yz 212x dz —4y dz 2zdxdydxdz = 1 4y 2y 2z 1 12yzdy 4xy2x 2x2z4xy8xzdz由此得到dX 3z, dy 2zdz x ' dz yu,v 是由方程uv 1 0 u （x, y）的x, y 的隐函数，在这两个等式两端分别关于0 cosv 」usinv y 1 sinv —u ucosv yx, y 求偏导数，得_v y v yv(x, y)cosv 』 xsinv 』 x usinv — x ucosv 」x得到u vsin uuv cosv得到ycosv,sin v,xxuy xu将这个结果代入前面的式子，得到z u vv uvcosv sin vx xxz u v与v u -vsin v cosvyyyu f (x, y, z,t)⑶ 隐函数函数u u(x,y)由方程 g(y, z,t) 0 确定，求一9x h(z,t) 0变量）？ 3 （ 方程）=2（自变量）; ）,二中（z, t ）解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法x, y 是自变量，u,v 是中间变量（u,v 是x, y 的函数）,先由z uv 得到zzuzv u vv u x u x v x x x zzuz v u vv uy u yv y y y例5已知函数z z x, y 由参数方程：x u cosvy usinv ,给定，试求—. x y zuv解：函数关系分析：5 （ 一函（u ）,二自（x, yz , ,i h 上 g g t 0y ©h)t 丨（乙t ）| h yz z 二阶偏导数：一阶导函数的偏导数 f f zf tyz yt yf hf hg u ft zz tyyyg h ghz t tzu f u =5exxy例6 z 2 z(x, y)由 x 2y 2 2 z a 决定，求解: 2x 2^z 0 2y 2zZ oxy x y2zzx z _y xJz yz 2z yz xy23x yzxzx f x,2x ,x，其中函数的二阶偏导数连续，求d 2g x dx 2X\ f(xy,—) y xf lff f5f25yf2fu f2fvf 2ff2fM1222212J121uvu vv u,f 二阶连续可微，求 xy, v2 2 -2xzf u f v1 £y f 1f xuxvxy2zzf 11 f2 2yxx xxyxu,v 为中间变量,都是以r 1 F F f11 「2u因为 v以x,y 为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得 f 1uv1fnf 12y fn f 12xxxy f 2uv1七f21f22y f 21—怯xxxy2z 2 fo f1 f2 y T 11122 T22 .xy例9设z z(x, y)二阶连续可微，并且满足方程例10 设u(x, y)2C2,又ux2u 220, u(x,2x) x, u x(x,2x) x ,求yU xx(x,2x), U xy(x,2x) U yy(X,2X)解：u / c \(x,2x) x2 x ,两边对x求导,2z 2z2B -------x y2z若令U X y,试确定v x y 为何值时能变原方程为2z0.u,v看成中间变量，利用链式法则得z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y2z z z 2 z2 x x u v 2 u2z z z2 2z2y y u v 2 u2z z zx y x u vz z——zu v u vz z——zu v u v2 2 2z z2- 2 —zu v v u v2 2z 2 z2 2u v v u2 2 2z z z2 2u u v v2B —z v2z _ ~~2= yA 2B 2B2 z~~2 vA 2B0.问题成为方程 A 2Bt Ct20有两不同实根，即要求令 B ■ B2AC, B B2AC ,即可。
9-1 多元函数
{( x, y) | 0 < x + y ≤ 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合． 是聚点但不属于集合． 例如, 例如
{( x, y) | x2 + y2 = 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合． 边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）三维立体空间的相关概念
如：两点间距离、邻域、区间等，自行推广 两点间距离、邻域、区间等，
y
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. 开区域连同它的边界一起称为闭区域
y
例如， 例如，{( x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P ∈ E 与某一定点 A间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP ≤ K 成立， 为有界点集， 对一切 P ∈ E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 则称为无界点集．
第九章
多元函数微分法及其应用
前面介绍了一元函数关于自变量x的变化率 前面介绍了一元函数关于自变量 的变化率 与函数的微小变化，即导数与微分。作为推广， 与函数的微小变化，即导数与微分。作为推广， 下面介绍二元函数关于两个自变量的变化率以 及沿任意方向的函数的微小变化， 及沿任意方向的函数的微小变化，即偏导数和 全微分。 全微分。多元函数偏导数和全微分统称为多元 函数微分学。
二、多元函数的概念
（1）定义
是平面上的一个点集， 设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) ∈ D， 变量 z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应， 的二元函数， 和它对应 ，则称 z 是变量 x, y 的二元函数 ，记为 z = f ( x, y)（或记为 z = f (P)）.
多元函数的全微分
多元函数的全微分在数学中，多元函数是指具有多个自变量和一个因变量的函数。
而全微分是研究多元函数导数性质的重要工具之一。
本文将探讨多元函数全微分的概念、计算方法以及其应用。
一、多元函数的全微分概念多元函数的全微分是指在给定点附近的微小变动中，函数值的变化量与自变量变化量之间的关系。
对于二元函数f(x, y)，它的全微分表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量的微小变化量。
二、多元函数全微分的计算方法1.全微分的计算方法一：利用偏导数对于f(x, y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别可以通过对x和y求导得到。
然后，将偏导数与自变量的微小变化量相乘，并将结果累加得到全微分df。
2.全微分的计算方法二：利用微分符号利用微分符号可以简化多元函数全微分的计算过程。
对于f(x, y)，其全微分可以表示为：df = f'(x, y) * dx + f'(x, y) * dy其中，f'(x, y)表示多元函数f(x, y)的全导数。
三、多元函数全微分的应用1.线性近似利用多元函数的全微分，可以进行线性近似的计算。
在给定点附近，可以用全微分来逼近函数值的变化量，从而得到一个线性的逼近函数。
2.误差估计在实际问题中，常常需要对测量误差进行估计。
利用多元函数的全微分，可以通过计算函数值的变化与自变量变化的关系来估计误差的大小。
3.参数优化多元函数的全微分也可以用于参数优化问题。
通过计算函数值的变化量与参数变化量之间的关系，可以找到使函数取得极值的最优参数。
四、结语多元函数的全微分是研究多元函数导数性质的重要工具，它可以用于线性近似、误差估计和参数优化等问题。
通过本文的介绍，希望读者对多元函数的全微分有基本的了解，并能在实际问题中灵活应用。
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第九章 多元函数微分法及其应用 3 第九章 多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2) 了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3) 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 (4) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8) 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。
二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1. 多元函数的极限和连续 (1) 基本概念 1) 点集和区域。 2) 多元函数的定义、定义域。 3) 二元函数的极限、连续。 (2) 基本定理 1) 多元初等函数在其定义域内是连续的。 2) 多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2. 多元函数微分法 (1) 基本概念 高等数学学习指导 22 偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法
1) 偏导数：),(yxfz在),(00yx处对x的偏导数0xxxz，就是一元函数
),(0yxfz在0xx
处的导数；对y的偏导数
0xxx
z
（同理）。
2) `全微分：),(yxfz的全微分dyyzdxxzdz 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
A. 设),(vufz，)(),(tvtu，则全导数dtdvvzdtduuzdtdz。
B. 设),(vufz，),(),,(yxvyxu
则： xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(xfy由隐函数0),(yxF确定，则yxFFdxdy。
B. 设函数),(yxfz由隐函数0),,(zyxF确定，则zxFFdxdz，
zyFFdy
dz
。
C. 设函数)(),(xgzxfy由隐函数方程组0),,(0),,(zyxGzyxF确定，从
0)()(0)()(
xgGxfGGxgFxfFF
zyxzyx，求出导数)(),(xgxf。
(3) 多元函数连续、可导、可微的关系
(4) 基本定理 第九章 多元函数微分法及其应用
3 1) 可微的必要条件：如果函数),(yxfz在点),(yx处可微分，则函数在点),(yx处偏导数必定存在，且全微分为yyzxxzdz。
2) 可微的充分条件：如果函数),(yxfz的偏导数yzxz,在点),(yx处连续，则函数在该点必可微，且dyyzdxxzdz。 3. 多元函数微分学的应用 (1) 方向导数和梯度 1) 方向导数
A. 定义：),(),(lim0yxfyyxxf，22)()(yx
B. 计算方法：coscosyfxflf 2) 梯度 A. 定义：jyfixfyxgradf),(
B. 函数在一点的梯度grad),(yxf是一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。 3) 方向导数和偏导数的区别和联系 A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是沿坐标轴方向（两个方向）的变化率； B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。
(2) 在几何上的应用 空间曲线 ),,(
0000zyxM
为曲线上一点
Tttzztyytxx,)()()(
1、切线方程：)(')(')(000000tzzztyyytxxx
2、法平面方程：0))(('))(('))((000000zztzyytyxxtx
0),,(0),,(
zyxGzyxF
1、切线方程：)(')('100000MzzzMyyyxxxx
2、法平面方程：0))(('))((')(00000zzMzyyMyxxxX 高等数学学习指导 22 空间曲面 ),,(
0000zyxM
为曲面上一点
),(yxfz 1、切平方面方程))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx
2、法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx 0),,(zyxF 1、切平面方程0))(())(())((000000zzMFyyMFxxMFzyx
2、法线方程)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx
(3) 极值问题 1) 无条件极值
A. 极值的必要条件：若函数),(yxf在点),(000yxP
处达到极值，且偏
导数都存在，则0),(00yxfx，0),(00yxfy。 B. 极值的充分条件：设函数),(yxf在点),(000yxP的某个邻域)(0PU
内有连续的二阶偏导数，且0),(00yxfx，0),(00yxfy，记),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，则
02BAC 02BAC 02BAC ),(),0,(000yxfCorA
为极小值 ),(),0,(000yxfCorA为极大值 ),(00yxf不是极值 无法判断
2) 条件极值及其求法： A. 定义：函数),(yxf在条件0),(yx下的极值，称为条件极值。 B. 计算方法：拉格朗日乘数法： 将该问题化为求函数),(),(),,(yxyxfyxL的无条件极值，因此从
0),(0),(),(0),(),(
yxyxyxfyxyxf
yyxx
中求出的),(00yx
，就是函数),(yxf在约束条件
0),(yx下的可能的极值点。
(4) 最值问题 1) 设函数),(yxf在开区间D内连续，),(00yx
是D内唯一的极值点，如果该点
是极大（小）点，则该点是最大（小）点，),(00yxf
为最大（小）值。
2) 设函数),(yxf在有界闭区域D上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上 第九章 多元函数微分法及其应用 3 的最值和D内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。 在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值点，则该点就是所求的最值点
三、典型例题分析 1. 多元函数的定义域、极限和连续 1、求定义域 和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。
例1：求函数)1ln(arcsin222yxxyyxz定义域 解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定义域
0,111101022222xx
y
yxyxyx
从而 }0,10,|),{(22xyxxyxyxD
2、复合函数问题 在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。 例2：求下列复合函数问题
(1) 设222),(yxxyyxf，求),1(x
yf
(2) 设xxyxxyxfln1)1()ln,(，求),(yxf 解：（1）由222),(vuuvvuf，令xyvu,1，则),1(xyf222yxxy （2）令xvyxuln,，则vveuyex,
，从而：
vvvveeeue
vuf
ln1)1(),(
veeu
uvv)(，所以yeexxyxfyy)(),(