建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题

[学习目标]

1.能表述锁具装箱问题的分析过程；

2.能表述模型的建立方法；

3.会利用排列组合来计算古典概型；

4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。

一、问题

某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。

从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。

团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题：

1．每批锁具有多少个，能装多少箱？

2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。

二、问题分析与建立模型

因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。

下面用一个5元数组来表示一个锁具：

Key=（h1，h2，h3，h4，h5）

其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件：

条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

条件2：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3种不同的槽高。

条件3：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有|h i，h i-1|≠5，i = 2，3，4，5。

而两个锁可以互开的条件为：两个锁的钥匙有四个槽高相同，其中一个槽高相差为1。

1．一批锁具个数的计算

记一批锁具的集合为：

K={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）| h i ∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5，且（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）为一锁具}，其个数小于65，可采用逐个检验条件1，2，3的方法，求一批中的所有锁具，当然也可计算出其个数。

2．抱怨程度的刻划

在这里我们简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度，所以，关键是计算出顾客购买一箱或两箱时的平均互开总对数，这可以用计算机模拟去计算。

我们引入下面的记号：

P={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）|（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）∈K ，且∑=5

1

i i h 为偶数}

Q ={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）|（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）∈K ，且∑=51

i i h 为奇数}

则可得到P 中的锁具不能互开，Q 中的锁具不能互开，P 中的锁具与Q 中的才能互开。 在计算中，判断互开时，我们将P 和Q 中的锁具分别标号为0，1，这样就减少了判断时的计算，大大提高了计算速度。

说明：直接用平均互开总对数来刻划抱怨程度有一定的不合理性。因为这样来刻划，购买的箱数越多，抱怨程度就越大，而实际上，购买的越多，自然互开的可能性就越大，这是顾客意料之中的，不应有太多的抱怨，顾客所不能容忍的是在购买少量的锁具而出现互开现象。因此应把购买箱数作为一个因素考虑到抱怨函数中。理想的抱怨函数应该是，开始随购买量的增加而增加，到一定量后下降，这才合理。在这里，我们的主要任务是模拟求解，而简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度。

三、 计算过程

计算流程如下：

1． 对（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）的所有排列逐个检验条件2、条件3，判断其是否为锁具，将锁具放在数组key 中，若∑=51i i h 为奇数，标号为1，若∑=5

1i i h 为偶数，标号为0，并计数count 。

2．输出一批锁具的总个数count 。

3．多次用随机数来模拟销售一箱的情况，计算平均互开总对数。

4．输出一箱平均互开总对数average 。

注意：以上流程略去了某些细节，具体的细节可参看下面的程序。对上流程稍加修改，可用于研究2，3，4箱等的平均互开总对数。程序对（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）的所有排列逐个检验条件2、条件3时要进行两次判断，一次是判断（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）是否有3个不同的数，另一次是相邻槽高之差是否为5。在前一次判断时，采用了比较简捷的方法，请仔细考察。

找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，实际上可用五重循环来实现。具体程序如下：Model[{h1，h2，h3，h4，h5，flag，cnt，key，flal，su，te，keel，i，aid，mnx，kebe，k，j，n}，（*计算一批锁具的个数*）key=Table[Table[0，{5}]，{5880}]；

keel=Table[0，{5}]；flag=Table[-1，{5880}]；cnt=0；

For[h1=1，h1<=6，h1++，

For[h2=1，h2<=6，h2++，

For[h3=1，h3<=6，h3++，

For[h4=1，h4<=6，h4++，

For[h5=1，h5<=6，h5++，te=Table[0，{6}]；te[[h1]]=1；te[[h2]]=1；

Te=[[h3]]=1；te[[h4]]=1；te[[h5]]=1；su=te.Table[1，{6}]；

If[su>=3，keel[[1]]=h1；keel[[2]]=h2；keel[[3]]=h3；

For[flal=1；i=2，i<=5，i++，

If[Abs[keel[[i]]-keel[[i-1]]]>=5，flal=0，]]；

If[flal= =1，cnt++；key[[cnt]]=keel；

flag[[cnt]]=If[Mod[keel.Table[1，{5}]，2]= =0，0，1]；

，]，]] ] ] ] ]；

Print[“count=”，cnt]；（*计算顾客购买一箱时的平均互开总对数*）cnt=0；aid=Table[1，{5}]；kebe=Table[0，{5}]；

For[n=1，n<=1000，n++，（*模拟1000次*）Mnx=Table[Rndom[Integer，{1，5880}]，{60}]；

For[i=1，i<=60，i++，

For[k=i+11，k<=60，k++，

If[flag[[mnx[[i]]]! =flag[[mnx[[k]] ]]，

If[Abs[key[[mnx[[i]]]].aid-key[[mnx[[k]]]].aid]= =1，

Keel=key[[mnx[[I]]]]；kebe=key[[mnx[[k]]]]；

For[flal=0；j=1，j<=5，j++，If[keel[[j]]!=kebe[[j]]，flal++，]]；

If[flal= =1，cnt++，]，]，]；]]]；

Print[“Average=”，N[cnt/1000]]；]

运算结果：count=5880与Average=2.362，即得到一批锁具的个数为：5880，购买一箱的平均互开总对数大约为：2.362。对程序稍加修改可得到买两箱时的平均互开总对数大约为：8.91，即得到如下结果：count=5880与Average=8.91。

习题15.4

1．请为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍旧是60个锁具装一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再抱怨或减少抱怨？

2．有4位教师给5个班级授课，按教学要求教师X i给班级Y i上课的课时数如下表所示。