极坐标与参数方程知识点总结
第一部分：坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()
??
?>?='>?='0,0,:μμλλ?y y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标()y x ,
极坐标()θρ,
互化公式
?
?
?==θρθ
ρsin cos y x ()0tan 2
22≠=
+=x x
y
y x θρ 在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r 的圆
()πθρ20<≤=r
圆心为()0,r ,半径为r 的圆
??? ??<≤-
=22
2πθπ
ρr
圆心为??
?
??2,
πr ,半径为r 的圆
()πθθρ<≤=0sin 2r
过极点,倾斜角为α的直线
(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或 (2) ()()00≥+=≥=ραπθραθ或
过点()0,a ,与极轴垂直的直线
??? ??<<-
=22
cos πθπ
θρa
过点??
?
?
?
2,πa ,与极轴平行的直线
()πθθρ<<=0sin a
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点??
?
??4,4ππM 可以表示为??? ??-??? ??-??? ??+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有??
?
??4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.
二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()?
??==t g y t f x ①,并且对
于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数
的关系()t g y =,那么()()?
??==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取
值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M ()y x ,，则()为参数θθ
θ
??
?==sin cos r y r x 。这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意
义是0OM 转过的角度。圆心为()b a ,，半径为r 的圆的普通方程是()()2
2
2
r b y a x =-+-，
它的参数方程为：()为参数θθθ
?
??+=+=sin cos r b y r a x 。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()0122
22>>=+b a b
y a x 其参数方程为
()为参数???
?
?
?==sin cos b y a x ，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是()012
2
22>>=+b a b x a y 其参数方程为()为参数??
????==sin cos a y b x 其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为[)π?2,0∈。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到π2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当2
0π
α≤≤时，相应地也有2
0π
?≤
≤，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为()0,0122
22>>=-b a b
y
a x 其参数方程为
()为参数????
?
?==tan sec b y a x ，其中[)23,22,0π
?π?π?≠≠∈且。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是()0,0122
22>>=-b a b x a y 其参数方程为()为参数??
????==csc cot a y b x ，
其中()π?π?≠∈且2.0
以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线()022
>=p px y 的参数方程为()为参数t pt
y pt x ???==222
7．直线的参数方程
经过点()000,y x M ，倾斜角为??
?
?
?≠
2παα的直线l 的普通方程是()00tan x x y y -=-α而过()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()为参数t t y y t x x ???+=+=α
α
sin cos 00。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
()为参数t t y y t x x ??
?+=+=α
α
sin cos 00，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点()y x M ,为终点的有向线段M M 0的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，
t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其
单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换?
??==y y x
x //23:?
（1）求点??
? ??-2,31
A 经过?变换所得的点A '的坐标；
（2）点B 经过?变换得到点
1
(3,)
2B '=-，求点B 的坐标； （3）求直线:6l y x =经过?变换后所得到直线的l '方程；
（4）求双曲线2
2
:1
64y C x -=经过?变换后所得到曲线C '的焦点坐标。
（二）极坐标与直角坐标的互化
〖例2〗在极坐标系中，如果
5(2,),(2,)
44A B ππ为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB=
3
π
，⊿POQ 的面积为8，求PQ 中点M 的极坐标方程。
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A 在直线x=4上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA （O ，P ，A 依次按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。
二、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C ： （t 为参数）， C ：（为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为2
π
=
t ，Q 为C 上的动点，求中点到直线
??
?+-=+=t
y t
x C 223:3 （t 为参数）距离的最小值。 （二）椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系
中，点是椭圆上的一个动点，求
的最大值
解答：
（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相
应的的值。 解析：
（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C 的参数方程是为参数)，且曲线C 与直线=0相交于两点A 、B
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求弦AB 的垂直平分线的方程（3）求弦AB 的长 【感悟高考真题】
1．在极坐标系中，点（2，3π
）到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )
（A ）2 (B)
2
49π+
(C)
2
19π+
（D) 3
2．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）
（A ）(1,)2π （B ）
(1,)
2π
- （C ）(1,0) （D ）(1,)π 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为?
?
?+==αα
sin 1cos y x ,).(为参数α在极坐标系（与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为______
4．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为??
?==ααsin 3cos 2y x ).
(为参数α在极坐标系（与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为___
5.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为ρ=2sin 4cos θθ+，以极点为原点，极轴
为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .
6．（2011·陕西高考理科·T15C ）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+??
=+?（θ为参数）和曲线2C
：1ρ=上，则||AB 的最小值
为 ．
7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系x O y 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos sin x y θ
θ=+??
=?（θ为参数）和曲线2C
：1ρ=上，则||AB 的最小值
为 ．
8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C 的参数方程为???==t
y t
x 882
（t 为参数）若斜率为1的直线经过
抛物线C 的焦点，且与圆
2
224
(0)
x y r r 相切，则r =________.
9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ?=??
=??≤＜和25()4x t t R y t ?=?∈??=?，它们
的交点坐标为 .
10．（2）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x 3cos y sin ααα?=?
?
=??（为参数）.
（I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为??
?
??2,
4π，判断点P 与直线l 位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
11.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ?
?=??
=?（?为参数）的右焦点，且与直线423x t
y t =-??
=-?
（t 为参数）平行的直线的普通方程。 12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为2cos 22sin x y α
α=??
=+?
（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3π
θ=
与C1的异于极点的交点为A ，与C2
的异于极点的交点为B ，求
AB
.
13.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
2cos 22sin x y αα=??
=+?（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3π
θ=
与C1的异于极点的交点为A ，与C2
的异于极点的交点为B ，求
AB
.
14.（2011·辽宁高考理科·Ｔ23）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐
标系xOy 中，曲线C1的参数方程为??
?==)(,sin ,
cos 为参数???y x ，曲线C2的参数方程为??
?>>==),0(,sin ,
cos 为参数???b a b y a x .在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=a 与
C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=2π
时，这两个交点重合．
（I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（II ）设当α=4π时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-4π
时，l 与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
15. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?
=+?（t 为参数）所表示的图形分别是（D ）
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线 16．极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线
17．在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______． 18． 已知P 为半圆C:??
?==θ
θsin cos y x （θ
为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原
点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
的长度均为
3
π。 （I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。 【考点模拟演练】 一、选择题
1．已知极坐标平面内的点P ????2，－5π
3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ( )
A.????2，π3，(1，3)
B.????2，－π3，(1，－3)
C.????2，2π3，(－1，3)
D.????2，－2π
3，(－1，－3) 2．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.?
???1，－π3 B.????2，4π3 C.????2，－π3 D.?
???2，－4π
3 3．在直角坐标系xOy 中，已知点C(－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐
标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．
4．过点???
?2，π
4平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρcosθ＝4 B ．ρsinθ＝4 C ．ρsinθ＝ 2 D ．ρcosθ＝ 2 答案：C 5．曲线的参数方程是?????
x ＝1－1t
y ＝1－t2(t 是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A ．(x －1)2(y －1)＝1
B ．y ＝
x
x －21－x 2 C ．y ＝x
1－x2
＋1 D ．y ＝
1
1－x 2
－1
6．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝π
4对称的直线方程为( )
A ．ρcosθ＝－2
B ．ρsinθ＝2
C ．ρsinθ＝－2
D ．ρ＝2sinθ
7．已知直线l 的参数方程为??
?
x ＝－1－22t
y ＝2＋2
2
t (t 为参数)，则直线l 的斜率为 ( )
A ．1
B ．－1 C.
22 D ．－22
8．直线3x －4y －9＝0与圆：?
????
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是 ( )
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但不过圆心
9．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________． 10．在极坐标系中，直线ρsin ????θ＋π
4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 二、填空题
11．在极坐标系中，直线θ＝π
6
截圆ρ＝2cos ????θ－π6(ρ∈R)所得的弦长是________． 12．直线2x ＋3y －1＝0经过变换可以化为6x ＋6y －1＝0，则坐标变换公式是________．
13．（皖南八校2011届高三第二次联考）已知平面直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程式为
2x t y t =??
=-?（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C 的极坐标方程为
22sin()
4π
ρθ=+，则直线l 的圆C 的位置关系是 。
14.已知曲线的参数方程为??
?+=+=θ
θsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数
为 .
15.已知2x2+3y2-6x=0 （x,y ∈R ），则x2+y2的最大值为 .
16.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP=12，则点P 的轨迹方程为 . 三、解答题
17．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ???
?3，π
6，半径r ＝3， (1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．
18．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面
直角坐标系，曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2cos α，
y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．