三角函数、平面向量综合题九种类型

三角函数与平面向量综合题的九种类型

题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合

【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.

（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B

2的最大值.

题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】

已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π

2

，2π)，且→a ⊥→b ．

（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π

3)的值．

题型三. 三角函数与平面向量的模的综合

【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π

2＜β＜0

＜α＜π

2，且sinβ＝－513

，求sinα的值.

题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例4】（2010年高考安徽卷）已知04

π

α<<

，β为()cos(2)8

f x x π

=+

的最小正周期，

(tan(),1),(cos ,2),4

a b a b m β

αα=+-=⋅=，求

22cos sin 2()

cos sin ααβαα++-的值．

练习：设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

【例5】 （浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02

π

ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；

（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例6】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ； （2）若5

2

CB CA ⋅=

，且9a b +=，求c ．

题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例7】（陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(

,2)4

π

．

（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例8】（湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为

Ａ．2cos 234x y π⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例9】（湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式3

()2

f x ≥成立的x 的取值集.

【专题训练】 一、选择题

1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝

（ ）

A ．1

B ．32

C ．12

D ．2

2

2．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π

2

)平移后得到图象对应的解析式是

（ ）

A ．2cos2x

B ．－2cos2x

C ．2sin2x

D ．－2sin2x

3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →

＜0，则△ABC 是 （ ）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13

)，且→a ∥→b ，则锐角α为

（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．75︒

5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π

2

)，则一定有 （ ）

A ．→a ∥→b

B ．→a ⊥→b

C ．→a 与→b 夹角为45°

D ．|→a |＝|→b | 6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12

x 的图象上,实数λ＝

A ．52

B ．32

C ．－52

D ．－32

7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→

长度的最大值是

（ ）

A ． 2

B ． 3

C ．3 2

D ．2 3 8．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足

（ ）

A ．→a 与→b 的夹角等于α－β

B ．→a ⊥→b

C ．→a ∥→b

D ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )

9．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为 （ ） A ． 2

B ．1

C ．

2

2

D ．12

10．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的

（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

二、填空题

11．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－1

2

).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．

12．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA ＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→OB ＝－5，则S △AOB

的值为_____________.

13．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4

，且→m ·→n ＝－1.则向量→

n ＝__________．