5. 随机变量序列的极限
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第版)-章节题库-第4~8章【圣才出品】
A．有相同的数学期望
B．服从同一离散型分布
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C．服从同一泊松分布
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D．服从同一连续型分布
【答案】C
【解析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，C 项正确。事实上，应用辛钦大数定
律，随机变量序列{Xn，n≥l}必须是“独立同分布且数学期望存在”，A 项缺少同分布条件，
ε＝1，有
lim
P
n
n i 1
Xi
＜n
＝1，又
n i 1
Xi
＜n
n i1
X
i＜n
，
所以
lim
n
P
n i 1
X
i＜n
＝1。
3．设 Xn 表示将一硬币随意投掷 n 次“正面”出现的次数，则（ ）。
A． lim P{ Xn n x} (x)
n
n
B． lim P{ Xn 2n x} (x)
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解：设同时使用紫外线的分机数为 ， 设此单定安装的外线共有 条，则应用中心极限定理 又查表知
【答案】
【解析】题目要求我们计算
为此我们需要应用大数定律或依概率收
敛的定义与性质来计算。由题设知 X1，…，Xn 独立同分布：
且
，根据辛钦大数定律
4．设随机变量列 X1，X2，…，Xn…相互独立且同分布，则 X1，X2，…，Xn，…服从辛 钦大数定律，只要随机变量 X1______。
【答案】期望存在 【解析】辛钦大数定律的条件是 Xi 独立同分布，且期望存在，而切比雪夫大数定律的 条件是 不相关且方差有界。
考研数学一(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)历年
考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn( )．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2， (X)具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年] 设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是( )．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年] 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则( )．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年] 总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D 入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年] 设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=( )．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年] 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4 (i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2 (i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
随机变量序列的极限
p
P A
p
例1 设 X1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2.
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2, , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有 i 1
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
P 0.
特别地, 若E Xi ,i 1, 2, , 则上式表明
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
注意 该定理的条件为方差有界.
定理 （独立同分布情形下的大数定律） 设 X1, X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则 X P .
间 2, 2上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的,
试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以
不低于 99%的概率保证总重量的误差的绝对值不超过
10kg.
解 设将机床分解成 N个部件, 而 X i 表示第 i个部件的
重量, 则 Xi R2, 2,i 1, 2, , N. 所以
E
X
i
0,
D
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.
概率论作业
概率论作业本姓名：任课教师：专业：班级：学号：黑龙江八一农垦大学文理学院数学系第一章 随机事件与概率1、设C B A 、、为已知事件，用C B A 、、表示以下事件:(1) 不发生发生，、C B A (2) C B A 、、都不发生(3)C B A 、、至少有一个发生 (4) C B A 、、恰有一个发生(5) C B A 、、至多有一个发生 （6）C B A 、、至少有两个发生2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。
从中任取10件，试求：（1）样本空间所含基本事件个数n 。
（2）设"10"1件全是合格品所取=A 所含基本事件个数1m 。
（3）设"10"2件恰有两件次品所取=A 所含基本事件个数2m 。
3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。
4、一盒中装有60个零件。
其中甲厂生产的占31，乙厂生产的占32。
现随机地从盒中取3 个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。
5、一份试卷上有6道试题。
某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。
试求：（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。
（2）这4处错误发生在不同题上的概率。
（3）至少有3道题全对的概率。
6、将数字54321、、、、写在5张卡片上。
任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概率。
7、将4个小球随机地投入3个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。
8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？9、,B A ⊂5.0)(,1.0)(==B P A P ，试求)(),(),(B A P B A P AB P ⋃⋃。
10、6.0)(,3.0)(==B P A P ，7.0)(=⋃B A P 。
求)()(B A P B A P 和。
11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为875.0，试求该射手在一次射击中命中的概率。
12、五名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是8.0。
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
第五章 大数定律与中心极限定理
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
大数定律知识点总结
大数定律知识点总结大数定律的基本思想是：独立同分布的随机变量的大样本均值将趋于其数学期望。
这一定律的成立对于统计学、概率论、经济学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
下面将对大数定律的相关知识点进行总结和介绍。
一、独立同分布随机变量序列的大数定律1. 独立同分布的随机变量序列：在大数定律的讨论中，通常假设考虑的是一个独立同分布的随机变量序列。
也就是说，随机变量X1，X2，...，Xn互相独立，并且它们都具有相同的分布，且均值为μ，方差为σ²。
2. 大数定律的描述：设X1，X2，...，Xn是一个独立同分布的随机变量序列，它们的数学期望为μ，方差为σ²。
定义随机变量序列的均值为Yn = (X1+X2+...+Xn)/n，即前n个随机变量的均值。
大数定律描述了当n趋向于无穷大时，随机变量序列的均值Yn将以概率1收敛于其数学期望μ，即limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，其中ε>0。
3. 大数定律的形式：大数定律有弱大数定律和强大数定律之分。
弱大数定律指的是对于任意的ε>0，有limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，即随机变量序列的均值以概率1收敛于其数学期望。
而强大数定律则是指有limn→∞ Yn=μ，即随机变量序列的均值几乎处处收敛于其数学期望。
4. 大数定律的证明：大数定律的证明通常可以利用切比雪夫不等式、马尔可夫不等式、刘维尔中心极限定理等概率论基本定理进行推导。
通过限制随机变量序列的方差，并且利用独立同分布的特性，可以证明大数定律成立。
5. 应用实例：大数定律在实际问题中有着重要的应用。
例如，在赌场中，赌徒可以利用大数定律的原理来预测赌局的结果。
又如在金融领域中，大数定律可以用来预测股市的波动情况。
在工程领域中，大数定律可以用来分析随机过程和随机信号的性质。
二、大数定律的拓展和推广1. 李雅普诺夫大数定律：对于互不相干的独立同分布的随机变量序列，其均值将以概率1收敛于其数学期望。
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设供电网有 10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开 灯的概率均为 0.7， 并且彼此开闭与否相互独 立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分 别估算夜晚同时开灯数在 6800 到 7200 之间 的概率
设一个车间里有400台同类型的机器,每台 机器需要用电力Q瓦.由于工艺关系.每台机 器并不连续开动,开动的时间只占工作总时 间的3/4.问应该供应多少瓦电力才能99% 的概率保证该车间的机器正常工作?这里,假 定每台机器的停,开是相互独立的.
i 1 n
5.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设随机变量Yn B (n, p ), 则对任意正数x, 有 Yn np lim P x ( x). np(1 p) n 直观意义 : 当n足够大时, 服从二项分布的随机变量Yn 可以认为近似地服从正态分布N (np, np (1 p )).
第五章 随机变量序列的极限
1.切比雪夫大数定律
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立, 数学期望 E ( X i ), D( X i ), i 1, 2,都存在, 且方差是一致有上界的, 即存在常数c, 使得 D( X i ) c, i 1, 2, , n, , 则对于任何正数 , 有 1 n 1 n lim P( X i E ( X i ) ) 1. n n i 1 n i 1
|
|
2.辛钦大数定律(独立同分布)
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立且同分布, 并具有有限的数学期望 和方差 2 , 则对任意正数 , 有 1 n lim P ( X i ) 1. n n i 1
|
|
3.贝努利大数定律
设随机变量Yn B (n, p), 则对任意正数 , 有 Yn lim P( －p ) 1. n n 直观意义 : 在大量独立重复的试验中件A发生的概率.
4.列维-林德伯格中心极限定理(独立同分布)
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立且同分布, 数学期望E ( X i ) , 方差D( X i ) 2 0(i 1, 2, , n,), 则对任何实数x, 有 n X i n lim P i 1 x ( x). n n 直观意义 : 当n足够大时.可以近似地认为 X i N (n , n 2 ).
为了测定一台机床的质量,把它分解成75个 部件来称量.假定每个部件的称量误差(单 位:kg)服从区间(-1,1)上的均匀分布,且每 个部件的称量误差相互独立,试求机床重量 的总误差的绝对值不超过10kg的概率.
在人寿保险公司里有3000个同龄人参加人 寿保险,在一年内每人的死亡率为0.1%,参 加保险的人在一年的第一天交付保险费10元, 死亡时家属可以从保险公司领取2000元.试 用中心极限定理求保险公司亏本的概率.