随机变量序列极限
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极限分布的概念
极限分布的概念极限分布是概率论中的一个重要概念，它描述了一系列随机变量在试验次数趋于无穷大时的最终分布。
它的概念源于大数定律，大数定律表明当重复进行某个随机实验时，随着试验次数的增加，其结果将趋于一个稳定的值。
而极限分布则进一步描述了这个稳定值的分布情况。
首先，需要明确极限分布的基本概念。
考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，每个随机变量都有其特定的分布。
当试验次数n趋于无穷大时，随机变量的累积分布函数（CDF）F(x)将趋于一个极限分布函数G(x)，即：limₙ→∞Fₙ(x) = G(x)其中Fₙ(x)表示第n次试验后的随机变量Xₙ的累积分布函数。
极限分布的性质主要有以下几个方面：1. 极限分布的存在性：对于满足一定条件的随机变量序列，存在极限分布。
具体而言，序列{X₁, X₂, X₃, ...}需要满足独立同分布（IID）的条件，即每个随机变量都是相互独立且具有相同的分布。
只有在满足这个条件的情况下，极限分布才存在。
2. 极限分布的唯一性：在某些情况下，极限分布是唯一的。
例如，当随机变量序列服从一个稳定分布时，其极限分布就是这个稳定分布。
但在其他情况下，极限分布可能有多个。
3. 极限分布的性质：极限分布具有一些特定的性质。
例如，对于随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}的极限分布G(x)，其期望值E[G(x)]等于随机变量X₁的期望值E[X ₁]，即：E[G(x)] = E[X₁]这意味着在试验次数趋于无穷大时，极限分布的期望值会趋近于随机变量的期望值。
4. 极限分布的应用：极限分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
例如，在大样本推断中，可以利用极限分布的性质进行参数估计和假设检验。
此外，在随机过程的研究中，极限分布也起到重要的作用。
总之，极限分布是描述随机变量序列在试验次数趋于无穷大时的最终分布。
它的存在性和唯一性取决于随机变量序列的特性，而极限分布的性质和应用则与概率论和统计学的相关理论密切相关。
概率与统计：中心极限定理
案例分析—积分的蒙特卡罗计算
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点 及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问 题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的概 率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学 期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术 平均值，根据大数定律得到问题的解；
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 300的概率是多少？ 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)(p105) 设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率与统计
中心极限定理
5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛*
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim F ( x ) F( x ),
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
n n
Xn X.
w 现 令Yn X k , 若Yn的 标 准 化 r .v .Yn* ~ N (0, 1), k 1 n
检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒 时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间. 假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时 内检验员能够至少检查1900件的概率. 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则
10 此件不需复查 Xi E ( X i ) 15, D( X i ) 25 20 此件需复查
概率论极限定理讲解
其中EXk=k, DXk≤C<+∞,（k=1,2,…,n,…）
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε 为误差。 （随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε 为误差。 （随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
随机分析1--均方极限
aX bY H ,
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象 一类具有二阶矩的随机过程 研究内容 连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a
k
a l R X ( k , l )收 敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是 二 阶 矩 过 程 ， X H , t 0 T ,
如 果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则 称 当 t t 0时 ，X ( t ), t T }收 敛 于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n
证明
E aX bY
2
E ( a X b Y )( a X b Y )
E ( a X b Y )( a X b Y ) E ( aX
2
bY
2
aX bY aX bY )
aX bY aX bY 2 Re( aX bY )
E a
二阶矩过程的均方微积分
研究对象 一类具有二阶矩的随机过程 研究内容 连续性、可导性与可积性等. 是均方极限意义下的随机微积分
重点
均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的的概念以及相应准则. 熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
a
k
a l R X ( k , l )收 敛 .
二阶矩过程均方极限定义
设 { X ( t ), t T }是 二 阶 矩 过 程 ， X H , t 0 T ,
如 果 lim E X ( t ) X
t t0 2
0,
则 称 当 t t 0时 ，X ( t ), t T }收 敛 于 X . {
定理（均方大数定理）
设 { X n , n 1, 2, } H
是相互独立同分布的随机变量序列,且
E X n , n 1, 2, , 则
l.i.m
n
1
X n
k 1
n
k
,
证明：E
n
1
n i 1
n
1
n
2
Xi
E
2
i 1
(X n
概率论与数理统计：中心极限定理
X Xk
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
随机变量序列的极限
p
P A
p
例1 设 X1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2.
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2, , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有 i 1
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
P 0.
特别地, 若E Xi ,i 1, 2, , 则上式表明
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
注意 该定理的条件为方差有界.
定理 （独立同分布情形下的大数定律） 设 X1, X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则 X P .
间 2, 2上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的,
试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以
不低于 99%的概率保证总重量的误差的绝对值不超过
10kg.
解 设将机床分解成 N个部件, 而 X i 表示第 i个部件的
重量, 则 Xi R2, 2,i 1, 2, , N. 所以
E
X
i
0,
D
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
概率论第十六讲中心极限定理
a / r 120 (17.32) 48 0
反查标准正态函数分布表，得
3.09 99.9%
令 解得
a 120
r
3.09
48
a (3.09 48 120)r 141r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
中心极限定理的应用
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
独立同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
则对于任意实数 x ,
n
Xk
n
lim P k1
x
n
n
1
x
e
t2
2 dt
(x)
2
n
注
X k n
记 Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
n Yn ~ N (0,1)
X k nYn n 近似服从N (n,n 2 )
k 1
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果.
反查标准正态函数分布表，得
3.09 99.9%
令 解得
a 120
r
3.09
48
a (3.09 48 120)r 141r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
中心极限定理的应用
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
独立同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
则对于任意实数 x ,
n
Xk
n
lim P k1
x
n
n
1
x
e
t2
2 dt
(x)
2
n
注
X k n
记 Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
n Yn ~ N (0,1)
X k nYn n 近似服从N (n,n 2 )
k 1
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果.
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时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
i 1
n
Xi
B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X
则
B m, p , Y
B n, p ,
X Y
有这个必要.
B m n, p .
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,
,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
第五章 随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
n
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列, 如果存在常
lim P X n c 1,
依概率收敛于c, 记作
P Xn c.
则称随机变量序列 X1 , X 2 ,
是
独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 0
则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
其中
x 为标准正态分布的分布函数.
n X i n lim P i 1 x x . n n
A, A,
引进随机变 量
1 Xi 0
第i次试验A发生 第i次试验A发生
Xi ~ B 1, p , E Xi p, i 1,2. , n,
X1 , X 2 ,
频率
p 1 f n A X i X P A p n i 1 n
, Xn
相互独立，则在n次试验中A发生的
以 0.5 的概率向左或向右滚下, 于是
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相 当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N
0, 的密
2
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
i 1,2,
,1200 .
1 1200 1200 E X i 1200 0 0, D X i 1200 =100 12 i 1 i 1
由独立同分布的中心极限定理:
X
i 1
n
i
~ N 0,100
.
1200 1200 P X i 20 1 P 20 X i 20 i 1 i 1
例1 设 X 1 , X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且
则
E X i , D X i 2 , i 1,2, , 1 n 2 P 2 2 X . i n i 1
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n 个独立同分布的随机变量
X1, X 2 , , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有
若随机变量序列 X1 , X 2 ,
n
依概率收敛于c, 则
lim P X n c 0.
定理
a, b 处连续,
如果 X n
a, Yn b, 且函数 g x, y 在点 P 则 g X n , Yn a, b.
P P
定理
设 X1 , X 2 ,
是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D
X i c, i 1, 2,
,则
1 n 1 n P X E X 0. i i n i 1 n i 1
特别地, 若E
Xi , i 1,2,
X
,
则上式表明
1 n P . X i n i 1
20 0 20 0 1 10 10
1 2 2
n充分大,
总认为
X 近似服从正态分布.
i 1 i
下面这个例子说明了这个情况.
例
（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,
图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的
距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下
一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
共16层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 层钉后向右落下 k 层钉后向左落下
(k 1, 2, ,16)
程序如下
输出图形
定理
（独立同分布的中心极限定理）设 X1 , X 2 ,
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1 , X 2 , 得
, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi
R 0.5,0.5
1 E X i 0, D X i , 12
i 1
n
Xi
B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X
则
B m, p , Y
B n, p ,
X Y
有这个必要.
B m n, p .
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,
,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
第五章 随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
n
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列, 如果存在常
lim P X n c 1,
依概率收敛于c, 记作
P Xn c.
则称随机变量序列 X1 , X 2 ,
是
独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 0
则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
其中
x 为标准正态分布的分布函数.
n X i n lim P i 1 x x . n n
A, A,
引进随机变 量
1 Xi 0
第i次试验A发生 第i次试验A发生
Xi ~ B 1, p , E Xi p, i 1,2. , n,
X1 , X 2 ,
频率
p 1 f n A X i X P A p n i 1 n
, Xn
相互独立，则在n次试验中A发生的
以 0.5 的概率向左或向右滚下, 于是
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相 当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N
0, 的密
2
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
i 1,2,
,1200 .
1 1200 1200 E X i 1200 0 0, D X i 1200 =100 12 i 1 i 1
由独立同分布的中心极限定理:
X
i 1
n
i
~ N 0,100
.
1200 1200 P X i 20 1 P 20 X i 20 i 1 i 1
例1 设 X 1 , X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且
则
E X i , D X i 2 , i 1,2, , 1 n 2 P 2 2 X . i n i 1
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n 个独立同分布的随机变量
X1, X 2 , , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有
若随机变量序列 X1 , X 2 ,
n
依概率收敛于c, 则
lim P X n c 0.
定理
a, b 处连续,
如果 X n
a, Yn b, 且函数 g x, y 在点 P 则 g X n , Yn a, b.
P P
定理
设 X1 , X 2 ,
是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D
X i c, i 1, 2,
,则
1 n 1 n P X E X 0. i i n i 1 n i 1
特别地, 若E
Xi , i 1,2,
X
,
则上式表明
1 n P . X i n i 1
20 0 20 0 1 10 10
1 2 2
n充分大,
总认为
X 近似服从正态分布.
i 1 i
下面这个例子说明了这个情况.
例
（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,
图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的
距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下
一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
共16层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 层钉后向右落下 k 层钉后向左落下
(k 1, 2, ,16)
程序如下
输出图形
定理
（独立同分布的中心极限定理）设 X1 , X 2 ,
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1 , X 2 , 得
, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi
R 0.5,0.5
1 E X i 0, D X i , 12