抽象函数的定义域的求法解析式的求法很全面
题型3：复合函数及其定义域的求法
一．基本知识
(1) 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中
的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.
(2) 复合函数的定义：一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义
域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成
()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+
(3)复合函数的定义域
函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值围，而不是)(x g 的取值围.
① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则层函数的值域必须包含于外层函数的
定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的围，即为)]([x g f 的定义域。
② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的围即为)(x f 的定义域
③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
④ 已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交
集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
二．例题精讲
例1： 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域.
解：由题意得
∵)(x f 的定义域为](3,5-
3325x ∴-<-≤
137x -<≤
1
7
33x ∴-<≤
所以函数(32)f x -的定义域为17,33??
- ???.
巩固练习： 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
???≤≤->-+?≤+<130
2
320232022
2x
x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤ 故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3?-- 例2：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得 ∵ 函数()x f 23-的定义域为[]2,1- ∴5231≤-≤-x 所以函数()f x 的定义域为：[]5,1- 巩固练习：已知)1(2-x f 的定义域为]3,3[-，求)(x f 的定义域. 例3：已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域. 解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 巩固练习：已知)2(+x f 的定义域为]2,1[，求)12(+x f 的定义域. 例4：已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域. 解: ???+≤≤+-≤≤-????≤-≤≤+≤m b x m a m b x m a b m x a b m x a ， ∵m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<- 要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即2 0a b m -≤ <，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+