人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答案

人教A 版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答

案

测试卷（A 卷）

（测试时刻：120分钟 满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米）与时刻（秒）满足关系式

，则有 （ ）

A. B.

C.

D.

【答案】C

【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心距离水面2米，，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要

秒，∴

，∴

，故选C.

2．电流强度I(安)随时刻t(秒)变化的函数I ＝Asin ()ωt ＋φ(A>0，ω>0，0<φ<π

2)的图象如图所示，

则t ＝

1

100

秒时，电流强度I ＝( )

A ．－5安

B ．5安

C ．53安

D ．10安 【答案】A

3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π

2)

的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，依照以上条件能够确定f(x)的解析式是( )

A ．f(x)＝2sin ? ????π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *

)

B ．f(x)＝7sin ? ????π4x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *

)

C ．f(x)＝7sin ? ????π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *

)

D ．f(x)＝2sin ? ????π4

x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *

)

【答案】D

【解析】依照题意，T ＝ 2(7－3)＝8，ω＝2πT ＝π

4，由?????A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得?????A ＝2，B ＝5，

当x ＝3时，

2sin ? ????π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ? ????π4

x －π4＋5.故选D.

4．一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0P ，离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从

0P 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离()h m 与时刻(min)t 之间的函数关系式是（ ）

A ．()8sin 106

h t t π

=-+ B ．()8cos 106

h t t π

=-+ C ．()8sin 86

h t t π

=-+ D ．()8cos

86

h t t π

=-+

【答案】B

5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x ，y)．若初始位置为P 0?

??

??

32，12，秒针从P 0(注：现在t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时刻t 的函数关系为( )

A ．y ＝sin ?

??

??π30t ＋π6

B ．y ＝sin ? ????－π60t －π6

C ．y ＝sin ? ????－π30t ＋π6

D ．y ＝sin ? ????－π30

t －π6 【答案】C

【解析】由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ? ????－π30t ＋φ? ????0＜φ＜π2(秒针是顺时针走动)．∵初始位置为P 0?

??

??

32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sinφ＝12，φ可取π6.∴函数解析

式为y ＝sin ? ????－π30

t ＋π6.故选C.

6．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时刻t 的函数图象大致为( )

【答案】C

7.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24si n160πt ＋110.其中f(t)为血压(mmHg)，t 为时刻(min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A ．60 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】C

【解析】由题意可得f ＝1T ＝160π

2π

＝80.因此此人每分钟心跳的次数为80.故选C.

8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ??

??π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时刻水深(单位：m)的最大值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10 【答案】C

【解析】由图知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ? ??

??π6x ＋φ＋5，y max ＝3＋5＝8.故选C. 9. 【2021届福建省泉州市模拟三】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一样涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择()sin y A x K ωφ=++（0,0A ω>>）拟合该港口水深与时刻的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时刻大致操纵在（要考虑船只驶出港口需要一定时刻）

A. 5:00至5:30

B. 5:30至6:00

C. 6:00至6:30

D. 6:30至7:00 【答案】C

10. 已知函数()()cos 02f x x ππ???

?

=+<< ??

?

的部分图象如图所示，()()00f x f =-，则正确的选项是（ ）

A ．0,16

x π

?=

= B ．04

,6

3

x π

?=

=

C 【答案】A

，解得01x =，故选A ． 11．已知函数()sin 2f x x =向左平移个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ）

A

B

C

D 【答案】C

【解析】函数()sin 2f x x =的图象向左平移

关于A ，心对称，∴A 不正确；关于B 时，00sin ==y ，图象不关于B 不正确；

关于C 的周期是π．函数取得最小值，

∴C 正确；关于D

的周期是π．当D 不正确；故选：C ．

12. 个单位，再向上平移1个单位，得到)(x g 的图象.

若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ） A ．

625π B ．635π C ．1249π D ．4

17π

【答案】C

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针平均地绕点O 旋转，当时刻t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点间的距离d ()cm 表示成t ()s 的函数，则d ＝_____________，其中t∈[]0，60. 【答案】10sin π60t.

【解析】如图所示，

OA ＝OB ＝5()cm ，秒针由B 平均地旋转到A 的时刻为t ()s ，则∠AOB＝π

30t ，取AB 中点为C ，则OC⊥AB，

从而∠AOC＝12∠AOB ＝π

60

t.

在Rt △AOC 中，AC ＝OAsin ∠AOC ＝5sin π60t ，∴d ＝AB ＝10sin π

60t ，t ∈[]0，60.

故填10sin π

60

t.

14．某实验室一天的温度（单位： 0

C ）随时刻t （单位： h ）的变化近似满足函数关系：

()102sin 12

3f t t π

π??=-+ ???， [)0,24t ∈，该实验室这一天的最大温差为__________．

【答案】4

【解析】 因为()102sin 12

3f t t π

π??=-+ ???，因此731233t ππππ<+<，

当312

3

2

t π

π

π

+

=

时，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=， 当

12

3

2

t π

π

π

+

=

时，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=，

因此一天的最大温差为1284-=．

15.已知某种交流电电流I(A)随时刻t(s)的变化规律能够拟合为函数I ＝52sin ? ????100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次． 【答案】25.

【解析】∵f＝1T ＝ω2π＝100π

2π

＝50，

∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.

16.某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3 m ，楼与楼之间相距15 m ，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回来线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回来线上)． 【答案】3.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．画出函数y ＝|cosx|的图象并观看其周期． 【答案】见解析.

【解析】函数图象如图所示．

从图中能够看出，函数y ＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线． 我们也能够如此进行验证：|cos(x ＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|， 因此，函数y ＝|cosx|是以π为周期的函数．

18.如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．

(1)求函数h ＝f(t)的关系式； (2)画出函数h ＝f(t)的图象．

【答案】（1）y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f(t)＝－2cos πt

6

＋2.5.（2）见解析.

【解析】(1)如图，以O 为原点，过点O 的圆O 1的切线为x 轴，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y)，则h ＝y ＋0.5.

设∠OO 1A ＝θ，则cosθ＝2－y

2，

y ＝－2cosθ＋2. 又θ＝2π12·t ＝πt

6

，

因此y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f(t)＝－2cos πt

6＋2.5.

(2)列表：

t 0 3 6 9 12 h

0.5

2.5

4.5

2.5

0.5

描点连线，即得函数h ＝－2cos 6

t ＋2.5的图象如图所示：

19. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发觉：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估量哪个月盈利最大？并说明理由．

【答案】6月份盈利最大. 【解析】

由已知条件可得，出厂价格函数关系式为

y 1＝2sin ? ????π4x －π4＋6，销售价格函数关系式为

y 2＝2sin ? ????π4

x －34π＋8，则利润函数关系式为 y ＝m(y 2－y 1)

＝m[2sin ? ????π4x －34π＋8－2sin ? ????π4

x －π4－6] ＝－22msin π

4

x ＋2m.

当x ＝6时，y ＝2m ＋22m ＝(2＋22)m ， 即6月份盈利最大．

20. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8

π

=x ．

（1）求?并用“五点法”画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像； （2）求函数)(x f y =的单调增区间； 【答案】（1）34π-

，图象见解析；（2）5[,],88

k k k Z ππ

ππ++∈． 【解析】（1）)(8

x f y x ==

是函数π

的图像的对称轴，,1)8

2sin(±=+?

∴?π

.,2

4

Z k k ∈+

=+∴

π

πππ

.4

3,0π

??π-

=<<- .4

5,,2,0,2,43],45,43[432,],0[πππππππππ--=-∈-=∈t x t x 取时由知)432sin(π

-=x y

4

32π-

x 43π- 2π- 0

2

π

π 45π x

8π

83π 85π 87π π y

2

2

- －1

1

2

2-

故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =

（2）由题意得.,2

24322

2Z k k x k ∈+≤-

≤-π

πππ

π 得：Z k k x k ∈+

≤≤+

,8

58

π

ππ

π 因此函数.],8

5,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-

=πππππ的单调增区间为 21. 已知电流I 与时刻t 的关系式为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是I=Asin(ωt+φ) π0,||2ω??

?

><

??

?

在一个周期内的图象,依照图中数据求解析式;

(2)假如t 在任意一段1

150

秒的时刻内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 【答案】（1）I=300sin 7200π

8π17

17x ??+

???；（2）943.

【解析】试题分析：（1）由已知中函数的图象，我们能够分析出函数的最大值，最小值，周期及专门点坐标，依照函数的解析式中参数与函数性质的关系，易得到函数的解析式． （2）由已知中假如t 在任意一段1150秒内I 能取到最大值和最小值, I=Asin(ωt+φ)的周期T≤1150

即可求解.

(2)∵t在任一段

1

150

秒内I能取到最大值和最小值,

∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤

1 150

,

即2π1

150

ω

≤,ω≥300π≈943.

∴ω的最小正整数值是943.

22. 弹簧挂着的小球作上下振动，时刻t(s)与小球相对平稳位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的

函数关系式是h＝2sin(2t－π

4

)， t∈[0，＋∞)．

(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)小球开始振动的位置在哪里？

(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平稳位置的距离分别是多少？

(4)小球通过多长时刻往复振动一次？

(5)小球1s能振动多少次？

【答案】（1）见解析；(2) 小球开始振动时的位置为(0，－2)(平稳位置的下方2cm处)．

（3）2cm ；（4）0.318次/s ．

【解析】(1)画出h ＝2sin ? ????2t －π4的简图(长度为一个周期)．

按五个关键点列表：

t π8 3π8 5π8 7π8 9π8 2t －π4

π2

π

3π

2

2π 2sin

? ??

??2t －π4 0 2 0 －2 0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h ＝2sin ?

????2t －π4(t≥0)在一个周期的简图，如图所示．

(2)t ＝0时，h ＝2sin ? ??

??－π4＝－2，即小球开始振动时的位置为(0，－2)(平稳位置的下方2cm 处)．