与切线有关的证明与计算 专题

与切线有关的证明与计算

例1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．

(1)求证：AB 是⊙O 的直径；

(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；

(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．

【分析】：(1)连接AD ，证AD ⊥BC 可得；(2)连接OD ，利用中位线定理得到OD 与AC 平行，可证∠ODE 为直角，由OD 为半径，可证DE 与圆O 相切；(3)连接BF ，先证三角形ABC 为等边三角形，再求出BF 的长，由DE 为三角形CBF 中位线，即可求出DE 的长．

【答案】：(1)连接AD ，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 为圆O 的直径

(2)DE 与圆O 相切，证明：连接OD ，∵O ，D 分别为AB ，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆O 相切

(3)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝6，连接BF ，∵AB 为圆O 的直径，∴∠AFB ＝∠DEC ＝90°，∴AF ＝CF ＝3，DE ∥BF ，∵D 为BC 的中点，∴E 为CF 的中点，即DE 为△BCF 中位线，在Rt △ABF 中，AB ＝6，AF ＝3，根据

勾股定理得BF ＝62－32＝33，则DE ＝12BF ＝332

例2、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC 相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA ＝48，FG＝2，DF＝2BF，求AH的值．

【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得BC BG＝

AB

BC，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC

2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.

【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线

(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG

＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴BC

BG＝

AB

BC，即BC

2＝BG·BA＝48，

∴BC＝43，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝BC2－FB2＝42，∴CG＝CF＋FG＝52，在Rt△BFG中，BG＝BF2＋FG2＝32，∵BG·BA＝48，∴BA＝82，∴AG＝52，∴CG＝AG，∴∠A ＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH

＝CB ＝43，∵△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝CB·CG BG ＝2033，

∴AH ＝AC －CH ＝833

例3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.

(1)求∠CDE 的度数；

(2)求证：DF 是⊙O 的切线；

(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．

【答案】：(1)∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°

(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD ，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∵∠OCF ＝90°，∴∠ODF ＝∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠DCF ＝∠OCF ＝90°，∴DF 是⊙O 的切线

(3)∵∠E ＋∠DCE ＝90°，∠DCA ＋∠DCE ＝90°，∴∠DCA ＝∠E ，

又∵∠ADC ＝∠CDE ＝90°，∴△CDE ∽△ADC ，∴DC AD ＝DE DC ，∴DC 2

＝AD·DE.设DE ＝x ，则AC ＝25x ，AC 2－AD 2＝DC 2＝AD·DE ，即(25x)2－AD 2＝AD·x ，整理得AD 2＋AD·x －20x 2＝0，解得AD ＝4x 或AD ＝－5x(舍去)，则DC ＝（25x ）2－（4x ）2＝2x ，故

tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD DC ＝4x 2x ＝2

例4、如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB ＝∠DCE.

(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

(2)若tan ∠ACB ＝22，BC ＝2，求⊙O 的半径．

【答案】：(1)直线CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠DAC ，又∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠DAC ＝∠DCE ，连接OE ，有OA ＝OE ，则∠DAC ＝∠AEO ＝∠DCE.∵∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEO ＋∠DEC ＝90°，∴∠OEC ＝90°，即OE ⊥CE.又OE 是⊙O 的半径，∴直线CE 与⊙O 相切

(2)∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝22，BC ＝2，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝2，∴AC

＝ 6.又∵∠ACB ＝∠DCE ，∴tan ∠DCE ＝tan ∠ACB ＝22，∴DE ＝

DC·tan ∠DCE ＝1.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝3，设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，CO 2＝OE 2＋CE 2，即(6－r)2＝r 2＋3，

解得r ＝64

例5、如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交

⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.

(1)求证：∠1＝∠CAD；

(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．

【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD ＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD

(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA ＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝22，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(22＋x)2，解得x＝2，∴⊙O的半径为 2

例6、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．

【答案】：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD

＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABO ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线

(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝

90°，∵BC ＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB

，∵∠DBE

＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴DB CA ＝DE CB ，∴35＝DE 3

，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴5

2R ＝R R ＋35

，∵R

＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD 2

＝33，∵AC AB ＝BD BE ，∴BE ＝3115

例7、如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ∶OC ＝3∶5，AB ＝8.

(1)求⊙O 的半径；

(2)点E 为圆上一点，∠ECD ＝15°，将CE ︵沿弦CE 翻折，交CD 于

点F ，求图中阴影部分的面积．

【答案】：(1)连接AO ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝4，∵OG ∶OC ＝3∶5，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5

(2)将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD ＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN ＝

MO·sin 60°＝5×32＝532，∴S 阴影＝S 扇形OMC －S △OMC ＝120×π×52360－1

2

×5×532＝25π3－2534，即图中阴影部分的面积是25π3－2534

例8、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点(点E 不与点A ，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.

(1)求证：AE ＝BF ；

(2)连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ；

(3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．

【答案】：(1)连接BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即

BD ⊥AC ，∴AD ＝DC ＝BD ＝12AC ，∠CBD ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝

∠FBD ，∵DF ⊥DG ，∴∠FDG ＝90°，∴∠FDB ＋∠BDG ＝90°，又

∵∠EDA ＋∠BDG ＝90°，∴∠EDA ＝∠FDB ，可证△AED ≌△BFD(ASA )，∴AE ＝BF

(2)连接EF ，BG ，∵△AED ≌△BFD ，∴DE ＝DF ，∵∠EDF ＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF ＝45°，∵∠G ＝∠A ＝45°，∴∠G ＝∠DEF ，∴GB ∥EF

(3)∵AE ＝BF ，AE ＝1，∴BF ＝1，在Rt △EBF 中，∠EBF ＝90°，∴根据勾股定理得EF 2＝EB 2＋BF 2，∵EB ＝2，BF ＝1，∴EF ＝22＋12＝5，∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF ＝90°，∴cos ∠DEF ＝DE EF ＝22，∵EF ＝5，∴DE ＝5×22＝102，∵∠G ＝∠A ，∠GEB ＝

∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE ＝EB ED ，即GE·ED ＝AE·EB ，∴102·GE ＝2，∴GE ＝2105，则GD ＝GE ＋ED ＝91010