最新初中数学方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析

最新初中数学方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析

一、选择题

1．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）

A ．100（1+x ）2=282

B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282

C ．100（1+2x ）＝282

D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282

【答案】B

【解析】

【分析】

主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．

【详解】

五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：

100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.

故选：B ．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2

(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．

2．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（ ）

A ．10%

B ．15%

C ．20%

D ．25%

【答案】C

【解析】

【分析】

根据原来售价是4000元，经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为2560元，设两次降价的百分率为x ，一次降价为()40001x -，两次降价为()240001x -得出 ()240001x -=2560，算出x ．

【详解】

解：设两次降价的百分率为x ，由题意得：

4000（1﹣x ）2＝2560

∴（1﹣x ）2＝

256400

∴1﹣x ＝±0.8

∴x 1＝1.8（舍），x 2＝0.2＝20%

故选：C ．

【点睛】

熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型，注意分析是一次增长（下降），还是二次增长（下降）问题．

3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）

A ．1和3

B ．-1和3

C ．1和4

D ．-1和4 【答案】C

【解析】

【分析】

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．

【详解】

移项得x 2-2x=3，

配方得x 2-2x+1=4，

即（x-1）2=4，

∴m=1，n=4．

故选C ．

【点睛】

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．

4．若代数式226(3)1x x m x ++=+-，则m =（ ）

A ．-8

B ．9

C ．8

D ．-9

【答案】C

【解析】

【分析】

已知等式右边利用完全平方公式化简，利用多项式相等的条件求出m 的值即可．

【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8，

可得m=8，

故选：C.

【点睛】

此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握计算公式.

5．设O e 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离OP m =，且m 使得关于x 的方程

2

610

x m

-+-=没有实数根，则直线l与O

e的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【详解】

∵关于x的方程6x2x+m-1=0没有实数根，

∴△=b2-4ac＜0，

即48-4×6×（m-1）＜0，

解这个不等式得m＞3，

又因为⊙O的半径为3，

所以直线与圆相离．

故选：A．

【点睛】

此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判断．

6．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是( )

A．x＝40%10%

2

+

B．100(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2

C．(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2

D．(100+40%)(100+10%)＝100(1+x)2

【答案】C

【解析】

【分析】

设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【详解】

设平均每次增长的百分数为x．

∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%）．

∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）=100（1+x）2，整理得：（1+40%）

（1+10%）=（1+x）2．

故选C ．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

7．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41

B ．-35

C ．39

D ．45 【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．

【详解】

∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，

∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，

∴22a 3ab 8b 2a ++-

=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2

=2×0+3×（-1）+8×5+2

=39．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -

，x 1·x 2=c a

；熟练掌握韦达定理是解题关键．

8．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）

A ．5x >

B ．5x <-

C ．3x ≥-

D ．3x ≤-

【答案】D

【解析】

【分析】

由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．

【详解】

∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．

故选D ．

【点睛】

本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．

9．如果等腰三角形的两边长分别是方程x 2－10x ＋21＝0的两根，那么它的周长为 （ ）

A ．17

B ．15

C ．13

D ．13或17

【答案】A

【解析】 试题分析：根据题意可得方程的两根为x=3和x=7,3、3、7不能构成三角形，则三角形的三边为3、7、7，则周长为17.

考点：一元二次方程、等腰三角形.

10．已知m ，n 是方程2210x x --=的两根，且()()227143510m m a n n m -+-+=，则a 的值是（ ）

A ．5-

B ．5

C ．9-

D ．9

【答案】A

【解析】

【分析】

由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出2221,21,2m m n n m n -=-=+=，结合()()

227143510m m a n n m -+-+=，可求出a 的值，此题得解． 【详解】

解：∵m ，n 是方程2210x x =--的两根，

2221,21,2m m n n m n ∴-=-=+=．

()()

227143510m m a n n m -+-+=Q ，

即(7)(32)10a ++=， 5a ∴=-．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确求出a 的值.

11．关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

由于关于x 的方程（2-a ）x 2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：

①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；

②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．

【详解】

解：∵关于x 的方程(2?a)x 2+5x?3=0有实数根，

∴①当2?a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；

②当2?a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，

如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，

∴△=25+12(2?a)≥0，

解之得a≤4912

， ∴整数a 的最大值是4.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.

12．以3和4为根的一元二次方程是（ ）

A ．27120x x -+=

B ．27120x x ++=

C ．27120x x +-=

D ．27120x x --=

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．

【详解】

A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确；

B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确；

C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；

D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1?x 2=c a ．

13．设α，β是方程2x 9x 10++=的两根，则()()

22α2009α1β2009β1++++的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2000

D ．4000000 【答案】D

【解析】

【分析】

由已知方程的系数可得两根的关系（根据韦达定理或者叫根与系数的关系），再将所求代数式变形可求得代数式结果.

【详解】

解：

∵α，β是方程2x 9x 10++=的两个实数根 ∴2211,910,9101

αβααββ==++=++=g ∴()()()()2222α2009α1β2009β1α9α12000β9β120002000200040000004000000αβαβαβ++++=++++++===g 故选D.

【点睛】

（1）将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

（2）二次函数为2ax x 0(0)b c a ++=不等于的两个不同实数根：α，β满足

=,b c a a

αβαβ+-=

g . 14．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2235x x -+的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x 的值，明明负责找值为4时x 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）

（1）聪聪认为找不到实数x ，使2235x x -+的值为0；

（2）明明认为只有当1x =时，2235x x -+的值为4；

（3）伶伶发现2235x x -+有最小值；（4）俐俐发现2235x x -+有最大值

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（1）（4）

D ．（1）（2）（4） 【答案】B

【解析】

【分析】

解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x 2﹣3x +5配方为2（x ﹣34）2+

318

，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 【详解】 解：（1）2x 2﹣3x +5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x ，使2x 2﹣3x +5的值为0正确，符合题意，

（2）2x 2﹣3x +5＝4，解得x 1＝1，x 2＝

12

，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有当x ＝1时，2x 2﹣3x +5的值为4错误，不符合题意， （3）∵2x 2﹣3x +5＝2（x ﹣34

）2+318，

又∵（x﹣3

4

）2≥0，

∴2（x﹣3

4

）2+

31

8

≥

31

8

，

∴2x2﹣3x+5有最小值，故伶伶发现2x2﹣3x+5有最小值正确，符合题意，

（4）由（3）可知2x2﹣3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2﹣3x+5有最大值错误，不符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．

15．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）

A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％

【答案】D

【解析】

【分析】

设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．

【详解】

解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，

解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）

即x=10%

故选D．

16．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0

【答案】A

【解析】

分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；

B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；

C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；

D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．

综上即可得出结论．

详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，

∴x1≠x2，结论A正确；

B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1+x2=a，

∵a的值不确定，

∴B结论不一定正确；

C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1?x2=﹣2，结论C错误；

D、∵x1?x2=﹣2，

∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．

故选A．

点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

17．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )

A．2米B．32

3

米C．2米或

32

3

米D．3米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据矩形面积的相关知识进行作答.

【详解】

设宽度为x，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x220x

?=+?-+?，解出x=2，所以，选A.

【点睛】

本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关

18．深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为（）

A．8（1﹣x）＝5.12 B．8（1+x）2＝5.12

C．8（1﹣x）2＝5.12 D．5.12（1+x）2＝8

【答案】C

【解析】

【分析】

一般用降低后的量=降低前的量×（1-降低率），降低前的价格设为1，则第一次降价后的价格是（1-x ），第二次降价后的价格是（1-x ）2，可得出方程．

【详解】

设平均每次降价的百分比为x ，

则根据题意可得出方程为：8（1﹣x ）2＝5.12；

故选C ．

【点睛】

本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）．

19．方程x 2﹣9x +14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）

A ．11

B ．16

C ．11或16

D ．不能确定 【答案】B

【解析】

【分析】

先利用因式分解法解方程求出x 的值，再分情况讨论求解可得．

【详解】

∵x 2﹣9x +14＝0，

∴（x ﹣2）（x ﹣7）＝0，

则x ﹣2＝0或x ﹣7＝0，

解得x ＝2或x ＝7，

当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，

故选：B ．

【点睛】

此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20．方程250x x -=的解是（ ）

A ．5x =-

B ．5x =

C ．10x =,25x =-

D ．10x =,25x =

【答案】D

【解析】

【分析】

提取公因式x 进行计算.

【详解】

提取公因式x 得：x·

(x ?5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.