离散数学第四章二元关系和函数知识点归纳
* * 集合论部分 第四章、二元关系和函数 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作 实例：点的直角坐标(3,4) 有序对性质 有序性 （当x y时） 与 相等的充分必要条件是= x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3 定义 一个有序 n (n3) 元组 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 = < , xn> 当 n=1时, 形式上可以看成有序 1 元组. 实例 n 维向量是有序 n元组.
笛卡儿积及其性质 定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ | xA yB } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, * * <3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={,,,,,,2>,
, ,} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
性质： 不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B=
若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn 证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取 ∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) ∈A×B∨∈A×C * * ∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C). 例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？ 解 (1) 任取 AC xA yC xB yD BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
二元关系的定义
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 * * |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有 个. 所以 A上有 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系. 设 A 为任意集合， 是 A 上的关系，称为空关系 EA, IA 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：
EA={|x∈A∧y∈A}=A×A IA={|x∈A}
例如, A={1,2}, 则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
IA={<1,1>,<2,2>}
小于等于关系 LA, 整除关系DA, 包含关系R定义： LA={| x,y∈A∧x≤y}, AR，R为实数集合
DB={| x,y∈B∧x整除y},
BZ*, Z*为非0整数集
R={| x,y∈A∧xy}, A是集合族.
类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等. 例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, * * <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 二元关系的表示 表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={a1, a2, …, am}，B={b1, b2, …, bn}，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < ai, bj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=, 其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj
的有向边. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系 A={1,2,3,4},
R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
4.2 关系的运算 基本运算定义：定义域、值域 和 域 domR = { x | y (R) } ranR = { y | x (R) } fldR = domR ranR 例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4} * * ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4} 逆与合成 R1 = { | R}
R∘S = | | y (RS) }
例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}
R1
={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
定义 F 在A上的限制 F↾A = { | xFy xA}
A 在F下的像
F[A] = ran(F↾A)
实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4} * * R↾=
R[{1,2}]={2,3,4}
注意：F↾AF, F[A] ranF 基本运算的性质 定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 证 (1) 任取, 由逆的定义有 ∈(F 1)1 ∈F1 ∈F
所以有 (F1)1=F (2) 任取x, x∈domF1 y(∈F1
)
y(∈F) x∈ranF 所以有domF1= ranF. 同理可证 ranF1 = domF. 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1 证 (1) 任取, (F∘G)∘H t(∈F∘G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H) t s (∈F∧∈G∧∈H) s (∈F∧t (∈G∧∈H)) * * s (∈F∧∈G∘H) ∈F∘(G∘H) 所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H) (2) 任取, ∈(F∘G)1 ∈F∘G t (∈F∧(t,x)∈G) t (∈G1∧(t,y)∈F1) ∈G1∘F1 所以 (F∘G)1 = G1∘F1
幂运算 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={ | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn
∘R
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA
对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
第4章二元关系和函数
例:实数集R上的关系 S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1},
domS=ranS=fldS=[－1,1］.
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系,分别 求出它们的定义域和值域,
(1)R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y}； (2)R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1}； (3)R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}； (4)R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝ y=3}。 解 (1) domR1＝ranR1＝Z.
怎样证明?
定义4.10 设R为A上的关系0◦R=R ◦ R0
在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法:
1.集合运算:依据定义 2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算M·M,在 两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素rij满足下式 (i,j=1,2,3,4)
xA∩B∧yC∩D xA∧xB ∧yC∧yD <x,y>A×C∧<x,y> B×D <x,y>(A×C)∩(B×D)
(2)不成立。 举一反例如下：若A＝D＝,B＝C＝{1} 则有：
(A∪B)×(C∪D)＝B×C＝{<1,1>}, (A×C)∪(B×D)＝∪＝。
(3)和(4)都不成立
例4.3 设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题 的真假.
对于二元关系R,
如果<x,y>∈R,则记作xRy；
如果<x,y>R,则记作
定义4.6 设A,B为集合,A×B的任何子集所定 义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别当 A＝B时,则叫做A上的二元关系。 关系RAB, R is a relation from A to B.
离散数学及应用第3版课件第四章二元关系上
30
关系矩阵
“选课”的例子
R = { (张, 离散数学), (张, 数据结构),
(白, 数据结构), (方, 计算机网络) }
离散 数据结构 网络
张√
√
白
√
宋
1 10 0 10 MR= 0 0 0
方
√
0 01
31
关系图
设 A={a1, a2, …, am}，R 是 A 上的关系 例：
A = {1, 2, 3, 4} R = { (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (3, 4) }
15
恒等关系
假设 A 是任一个集合，则可定义 A 上 的恒等关系（equality relation） 为 ： IA = { (a, a) | aA } 。
即 (a, b)IA 当且仅当 a = b 。
16
二元关系
思考
如果 |A|=n , 那么可以在 A 上定义多少个 不同的关系?
R AA |P (AA)| = 2|AA| |AA| = |A| |A|= n2
第四章 二元关系
§4.1 关系及其表示
§4.1.1 有序对与笛卡儿积 §4.1.2 二元关系的定义 §4.1.3 二元关系的表示
§4.2 关系的运算
§4.2.1 关系的基本运算 §4.2.2 关系的幂和道路
§4.3 关系的性质
§4.3.1 关系性质的定义和判断 §4.3.2 关系运算对性质的保持
例：
平面直角坐标系上，每一个点的坐 标都是一个有序对。
4
笛卡尔积
设 A、B 为两个集合，定义它们的笛 卡尔积（Cartesian product）A×B 为 A×B = { (a, b) | aA 且 bB } ，
离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7
R=x,yx,yI∧x≡y mod 3
则R的所有等价类分别为：
[1]R= 1，4，7 [2]R= 2，5，8 [3]R= 3，6 于是，A关于R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为：
第4章 二元关系
模k同余关系
设x和y是两个整数，k是一个正整数，若x，y用k除的 余数相等，就称x和y模k同余，也称x和y模k等价。 记为 x ≡ y mod k
设x(y)用k除的商为t1 ( t2 )，余数为a1 ( a2 )，数学上将 x(y)表示成为：
x= k×t1＋a1， t1I，a1I且0≤a1＜k。 y= k×t2＋a2， t2I，a2I且0≤a2＜k。 若x，y用k除的余数相等，x-y= k×(t1-t2)，t1-t2I。 即x-y可以被k整除。 所以，x和y模k同余还可以描述为：x-y可以被k整除。 可以证明： x和y模k同余关系是等价关系。
第4章 二元关系
(3) 假设[a]R∩[b]R≠, 则存在z∈[a]R∩[b]R, 从而有 z∈[a]R∧z∈[b]R, 即<a,z>∈R∧<b,z>∈R 成立. 根据R 的对称性和传递性必有<a,b>∈R, 与a b矛盾.
(4) 先证
[x] A. 任取y∈
xA R
[x]
xA R
,则
y∈
[x]
xA R
第4章 二元关系
等价类
定义4.5.2 设R是非空集合A上的等价关系，aA，集合 x xA∧aRx 即x xA∧< a,x > R
离散数学第四章
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
18
第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
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一
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工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学第四章课件
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
11
A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
22
关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
离散数学 二元关系
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
2019/3/20 15
作业 P105 ⑵
2019/3/20 12
4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
2019/3/20
AB (CACB)。
9
5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
2019/3/20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
离散数学第4章关系
关系的复合运算
总结词
复合运算是一种二元运算，它返回两个 关系中满足一定条件的元素组成的新关 系。
VS
详细描述
关系的复合运算是指将两个关系中的元素 按照一定的顺序组合在一起，形成一个新 的关系。这个新的关系只包含满足一定条 件的元素，这些元素按照它们在各自关系 中的顺序排列。
关系的表示
总结词
关系的表示方法有多种，包括表格、图形和符号等。
详细描述
关系的表示方法可以根据具体情况选择。表格表示法是一种常用的方法，通过二维表格的形式列出所 有可能的元素对及其关系状态。图形表示法则更加直观，通过节点和边的形式展示关系。符号表示法 则使用特定的符号或字母来表示关系，如集合论中的笛卡尔积等。
04
关系闭包
闭包的定义
闭包
对于给定的关系R，其闭包记作R+， 是指在R的基础上通过添加某些有序对 后得到的新的关系。
定义方式
如果存在一个集合A，对于A中的任意 元素x和y，如果(x,y)在R+中，那么(x,y) 在R中也一定存在。
闭包的性质
02
01
03
自反性
如果一个关系是自反的，那么其闭包也是自反的。
详细描述
如果集合中的任何一个元素x，都不满足关系 R，使得x与自己有R关系，则称关系R具有反 自反性。例如，在一个班级中，“是自己的 老师”这个关系不具有自反性，因为没有人
是自己的老师。
对称性
总结词
对称性是指如果元素x和元素y之间有关系R，并且元素y 和元素x之间也有关系R，则称关系R是对称的。
详细描述
02
关系的运算
关系的并运算
总结词
并运算是一种二元运算，它将两个关系合并成一个新的关系 。
离散数学第四章 关系
2010-11-3
定理4.3.1 若R⊆A×B，S⊆B×C，T⊆C×D， 则 (R*S)*T=R*(S*T) 这说明复合运算是可结合的。我们常删去括号 将它们写成R*S*T。 由归纳法易证, 任意n个关系的合成也是可结合 的。在R1*R2*…*Rn中, 只要不改变它们的次序, 不论在它们之间怎样加括号, 其结果是一样的.
4
2010-11-3
定义4.1.2 给定集合A和B，若有序对的第一分 量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些 有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为 A×B， A×B={‹x,y›|x∈A∧y∈B}
5
2010-11-3
例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则 A × B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B × A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A × A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B × B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 可以看出：A × B ≠ B × A (除非A = ∅或 B = ∅或 A = B,见后面定理) 即笛卡尔积不满足交换律。
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2010-11-3
例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假 设R由所有有序对‹a,b›组成，其中a是选修课程b的学生。 S由所有有序对‹a,b›构成，其中课程b是a的必修课。什么 是关系R∪S，R∩S，R⊕S，R-S和S-R？ 解：关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成，其中a是一个学 生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R∩S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a是一个学生，他选 修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R⊕S由所有有序 对‹a,b›组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是 a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有选修它。 R-S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a已经选修了课程b但 课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对‹a,b›的集合，其 中课程b是a的必修课，但a没有选它。