利用导数讨论含参函数的单调性

利用导数讨论含参函数的单调性

讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。

函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。在此，我们将提出三种方法。

一．分离参数、数形结合

函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。

（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；

（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。 若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。

1.（2012年全国卷文科21题） 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；

解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，

①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，

当()a x ln ,∞-∈时，0)('x f ； 所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）

设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，

1221ln )()('

-+-+==a ax x x f x g ，a x

x g 21

)('

-=

（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；

（2）若0>a ，则由0)('

=x g 得a

x 21

=，

当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('

>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('

所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.

3.（2015年北京卷文科19题）

设函数x k x x f ln 2

)(2

-=.

（1）求)(x f 的单调区间和极值；

解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，x

k

x x k x x f -=-=2'

)(，

①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，

当()

k x ,0∈时，0)('

)

+∞∈

,k x 时，0)('>x f

所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是(

)

+∞,k .

4.（2015年全国二卷文科21题） 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；

解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，x

ax

a x x f -=

-=

11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；

②若0>a ，则由0)('

=x f 得a

x 1

=，

当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('

>x f ，当⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('

所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝

⎛

a 1,0单调递增，在⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,1a

单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题） 设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性； 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，

⎪⎭⎫

⎝

⎛-=-=-=22'

121212)(x a x x ax x ax x f ，

①若0≤a ，则0)('

②若0>a ，则由0)('

=x f 得a

x 21

=，

当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('

⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；

所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增； 若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。

6.（2018年全国一卷理科21题）

已知函数x a x x

x f ln 1

)(+-=.

（1）讨论)(x f 的单调性； 解：)(x f 的定义域为()+∞,0，

222

2'1111)(x

a x x x ax x x a x x f -+-=+--=+--=. ①若2≤a ，则0)('≤x f ，当且仅当2=a ，1=x 时0)('=x f ， 所以)(x f 在()+∞,0单调递减.

②若2>a ，令0)('

=x f 得，242--=a a x 或2

4

2-+=a a x .

当⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈,2424,022a a a a x 时，0)('

⎫

⎝⎛-+--∈24,2422a a a a x 时，0)('>x f . 所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24,02a a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,242a a 单调递减，在⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+--24,2422a a a a 单调递增. 二．因式分解、分类讨论