带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题一、“矩形”有界磁场中的临界问题【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。
(2)若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲)，轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L由牛顿第二定律得1211R v m B qv =； 得m qBLv =1②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙)，对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。
由几何知识得：R 2＝L由牛顿第二定律得2222R v m B qv =；得m qBLv =2粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足mqBLv m qBL ≤≤3(2)如图 (丙)所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。
粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35=。
而απ2T t m = 由Rv mqvB 2=，得qB mv R =，qBmT π2= qBmt m 35π=【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是( )A ．小于mqBdB ．小于()mqBd22+C ．小于mqBd2 D ．小于()mqBd22—解析:BD二、“角形磁场区”情景下的临界问题【例2】如图所示，在坐标系xOy 平面内，在x ＝0和x ＝L 范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AB 与y 轴成45°，其磁感应强度为B ，电场的上边界为x 轴，其电场强度为E .现有一束包含着各种速率的同种粒子由A 点垂直y 轴射入磁场，带电粒子的比荷为q /m .一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB 射出进入电场区域．不计粒子重力，求： (1)能够由AB 边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y 轴射出电场，射出点与原点的最大距离． 解: (1)由于AB 与初速度成45°，所以粒子由AB 线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B 点射出． 由牛顿第二定律Rv mB qv 2=由几何关系可知 r ＝L ，得 mqBLv =(2)粒子从B 点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动，在水平方向做匀加速运动． 在电场中，由牛顿第二定律Eq ＝ma 此粒子在电场中运动时221at L =d ＝vt ，得mEqLBL d 2=【例3】如图所示，M 、N 为两块带异种电荷正对的金属板，其中M 板的表面为圆弧面，P 为M 板中点；N 板的表面为平面，Q 为N 板中点的一个小孔．PQ 的连线通过圆弧的圆心且与N 板垂直．PQ 间距为d ，两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化，图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q ，质量为m 的粒子，从点P 由静止经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，CD 为磁场边界线，它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L .当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上． 不计粒子重力，求：(1)两板间电压的最大值Um ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域长度x ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm .解: (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示． C H ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L又1211R v m B qv = 2121mv qU m =得mL qB U m 222=(2)设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2在△AKC 中：2245sin R L R -=︒，得()L R 122-=因KC 长等于()L R 122-=，所以，CD 板上可能被粒子打中的区域长度x 为HK ：()L R R x 2221-=-=(3)打在QE 段之间的粒子在磁场中运动时间最长，均为半周期：qBm T t m π==21三、“圆形磁场区”情景下的临界问题 【例4】（2012，揭阳调考）如图，相距为R 的两块平行金属板M 、N 正对放置，s 1、s 2分别为M 、N 板上的小孔，s 1、s 2、O 三点共线且水平，且s 2O ＝R 。
带电粒子在磁场中的临界问题
识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界
即可．
第三页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
【解析】 粒子从 A点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆
周运动，要使粒子必能从 EF射出，则相应的临界轨
迹必为过点 A并与 EF相切的轨迹如图乙所示，作出 A、 P点速度的垂线相交于 O即为该临界轨迹的圆心．
y轴正方向的夹角
为 a ，由几何关系可得
a
Rsina=R-
④
2
Rsina=a-Rcosa ⑤
又 sin2a+cos 2a= 1 ⑥
由④⑤⑥式得
R=(2-
6
2
)a
⑦
由②⑦式得 v= (2- 6 ) aqB ⑧
磁场，磁场方向垂直于纸面向里，
磁感应强度的大小 B＝0.60 T ，磁
场内有一块平面感光板 ab，板面
与磁场方向平行，在距 ab 的距离 l＝16 cm 处，
有一个点状的 α 放射源 S，它向各个方向发射 α
粒子， α 粒子的速率都是 v＝3.0×106 m/s. 已知 α
粒子的电荷量与质量之比
q＝
作轨迹，从而探索出临界条件，使
问题迎刃而解，这种方法称为“放
缩法”．
第六页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
变式题 1
如右图所示，宽度为 d 的匀强
有界磁场，磁感应强度为 B，
MM′和 NN ′是磁场左右的两 条边界线．现有一质量为 m， 电荷量为 q 的带正电粒子沿图 示方向垂直射入磁场中， θ＝45°.要使粒子不能 从右边界 NN ′射出，求粒子入射速率的最大值 为多少？
第七页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
北京专用高考物理总复习第十一章第2讲洛伦兹力带电粒子在匀强磁场中的运动课件
a带负电,粒子b、c带正电 c在磁场中运动的时间最长 c在磁场中的加速度最大 c在磁场中的动量最大
答案 B 由左手定则可知,带电粒子进入磁场中,向左偏的a带正电荷,
向右偏的b、c带负电荷,故A错误;三个粒子在磁场中做圆周运动的周期
T= 2 m 都相同,而c的轨迹圆弧所对的圆心角θ最大,由t= θ T得c在磁场
v
R
Bq
通过调节“励磁电流调节旋钮” 改励磁电流改变从而改变了磁感应强度大小,则电子沿①、②轨迹
运动一周所用时间之比 T1 = B2 = I2 = 2
T2 B1 I1 1
(或由周期T= 2 R ,通过调节“励磁电流调节旋钮”改变径迹的情况中,
v
“加速电压调节旋钮”位置保持不变,说明电压U不变,即电子速率v不
考点二 带电粒子做圆周运动的分析思路
2-1 在垂直纸面的匀强磁场中,有不计重力的甲、乙两个带电粒子,在 纸面内做匀速圆周运动,运动方向和轨迹如图所示。则下列说法中正确 的是 ( )
A.甲、乙两粒子所带电荷种类不同 B.若甲、乙两粒子所带电荷量及运动的速率均相等,则甲粒子的质量 较大 C.若甲、乙两粒子的动量大小相等,则甲粒子所带电荷量较大
变,因此可得 T1 = R1 = 2 )
T2 R2 1
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(1)已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于 入射方向和出射方向的垂线,两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如 图甲所示,P为入射点,M为出射点)。 (2)已知入射点和出射点的位置及入射方向时,可以通过入射点作入射 方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是 圆弧轨迹的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒⼦在匀强磁场中的运动1．若v∥B，带电粒⼦不受洛伦兹⼒，在匀强磁场中做匀速直线运动．2．若v⊥B，带电粒⼦仅受洛伦兹⼒作⽤，在垂直于磁感线的平⾯内以⼊射速度v做匀速圆周运动．3．半径和周期公式：（v⊥B）【解题⽅法点拨】带电粒⼦在匀强磁场中的匀速圆周运动⼀、轨道圆的“三个确定”（1）如何确定“圆⼼”①由两点和两线确定圆⼼，画出带电粒⼦在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒⼦运动轨迹上的两个特殊点（⼀般是射⼊和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒⼦运动⽅向的垂线（这两垂线即为粒⼦在这两点所受洛伦兹⼒的⽅向），则两垂线的交点就是圆⼼，如图（a）所⽰．②若只已知过其中⼀个点的粒⼦运动⽅向，则除过已知运动⽅向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆⼼，如图（b）所⽰．③若只已知⼀个点及运动⽅向，也知另外某时刻的速度⽅向，但不确定该速度⽅向所在的点，如图（c）所⽰，此时要将其中⼀速度的延长线与另⼀速度的反向延长线相交成⼀⾓（∠PAM），画出该⾓的⾓平分线，它与已知点的速度的垂线交于⼀点O，该点就是圆⼼．⼆、解题思路分析1．带电粒⼦在磁场中做匀速圆周运动的分析⽅法．2．带电粒⼦在有界匀强磁场中运动时的常见情形．3．带电粒⼦在有界磁场中的常⽤⼏何关系（1）四个点：分别是⼊射点、出射点、轨迹圆⼼和⼊射速度直线与出射速度直线的交点．（2）三个⾓：速度偏转⾓、圆⼼⾓、弦切⾓，其中偏转⾓等于圆⼼⾓，也等于弦切⾓的2倍．三、求解带电粒⼦在匀强磁场中运动的临界和极值问题的⽅法由于带电粒⼦往往是在有界磁场中运动，粒⼦在磁场中只运动⼀段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒⼦运动的轨迹作相关图去寻找⼏何关系，分析临界条件，然后应⽤数学知识和相应物理规律分析求解．（1）两种思路①以定理、定律为依据，⾸先求出所研究问题的⼀般规律和⼀般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从⽽通过临界条件求出临界值．（2）两种⽅法物理⽅法：①利⽤临界条件求极值；②利⽤问题的边界条件求极值；③利⽤⽮量图求极值．数学⽅法：①利⽤三⾓函数求极值；②利⽤⼆次⽅程的判别式求极值；③利⽤不等式的性质求极值；④利⽤图象法等．（3）从关键词中找突破⼝：许多临界问题，题⼲中常⽤“恰好”、“最⼤”、“⾄少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗⽰．审题时，⼀定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．。
人教版高中物理选择性必修第二册精品课件 第1章 安培力与洛伦兹力 3.带电粒子在匀强磁场中的运动
下,粒子做圆周运动的半径取决于粒子的质量和速度的乘积。
知识点二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
【问题引领】
带电粒子垂直进入有界匀强磁场运动时,磁场边界对带电粒子的运动有
什么影响?
提示:由于磁场边界的影响,运动轨迹可能不再是一个整圆,而是一段圆弧。
【归纳提升】
1.有界磁场内部分圆周轨迹的分析方法
(1)圆心的确定方法:两线定一点。
C
正确。
2
本 课 结 束
②根据勾股定理求解,如图丙所示,若已知出射点相对于入射点上下侧移
了x,则满足r2=d2+(r-x)2。
③根据三角函数求解,如图丙所示,若已知出射速度方向与水平方向的夹
角为θ,磁场的宽度为d,则有关系式 r=sin
丙
。
(3)四种角度关系。
①如图丁所示,速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。
丁
②圆心角α等于弦AB与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ=α=2θ=ωt)。
运动的半径公式和周期公式,掌握科学思维的方法。
自主预习·新知导
学
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.洛伦兹力的作用效果
(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的大小。
(2)洛伦兹力不对带电粒子做功,不改变粒子的能量。
2.带电粒子在匀强磁场中的运动形式
洛伦兹力对带电粒子起到了提供向心力的作用,所以,沿着与磁场垂直的
2π
2π
(2)运动周期:T= = 。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周
期跟轨道半径和运动速度无关。
【思考讨论】
1.判断下列说法的正误。
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径跟粒子的速率成正
洛伦兹力边界以及动态圆
带电粒子在匀强磁场中的运动1．两种方法定圆心方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。
2．几何知识求半径利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt 。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB 的中点C ，连接OC ，则△AOC 、△BOC 都是直角三角形。
3．两个观点算时间观点一：由运动弧长计算，t ＝lv (l 为弧长)； 观点二：由旋转角度计算，t ＝α360°T ⎝⎛⎭⎫或t ＝α2πT 。
4．三类边界磁场中的轨迹特点 (1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。
类型(一)直线边界问题[例1](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则()A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2[解析]粒子进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中做圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝m vqB可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，A项正确，B项错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝2πmqB，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，即C项正确，D项错误。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
带电粒子在磁场中的运动题型归类
作出图示的二临界轨迹
，故电子击中档板的范围在P1P2间；对SP1弧由图知
OP1 (2L) 2 L2 3L
对SP2弧由图知
OP2 (4L) 2 L2 15 L
【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临 半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系 确定范围。
（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生 的偏转角
A点与O点相距
若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角 B点与O点相距
（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能 带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不 同，导致形成双解。
图9-15
图9-16
【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆 心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正 电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转， 并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷， 其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。 【解析】粒子运动半径： 。如图9-16，有 带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为
有:
；
R0
d 1 Cos
故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0 mv0 d 即: R
qB 1 Cos
有:
。
v0
qBd m(1 Cos)
由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点 上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受 洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG， 且由图知: dSin
洛伦兹力
答案 AD
[思考]
若没有轨道存在， 两小球运动的轨 迹如何? 答案 A球将沿直 线做匀加速运 动． B球的轨迹是摆线, 如下图所示．
三、带电体在洛伦兹力作用下的运动问题
洛伦兹力特点: 可能是恒力 也可能是变力
（匀速） （变速）
直线
曲线 变速运动中f洛大小、方向均有可能改变，与 速度有关。(状态)
洛伦兹力及其应用
磁场对运动电荷的作用 ---洛伦兹力
1．洛伦兹力的大小 F安是F洛宏观体现
F=Bqvsinθ， θ为v与B的夹角
v∥B时．洛伦兹力F＝0 v⊥B时，洛伦兹力F＝Bqv 2．洛伦兹力的方向 左手定则： 注意：1）F ⊥ B和v所决定的平面（因为它由B、V 决定）,但B与V不一定垂直（因为它们由自身决 定） 2）四指的指向是正电荷的运动方向或负电荷 运动的反方向 3．洛伦兹力对运动电荷不做功，只改变运动电荷 速度的方向 ．
aO' b 60
即
1 m t T 6 3qB
特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心， 则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。
（3）圆形磁场区域 特点2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心） 初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的 圆心都在弧弦的垂直平分线上。 （弦切角为 ），则出射速度方向与入射速度方向的 偏转角为 2 ，轨迹圆弧对应的圆心角也为 2
即V>Bed/m。
O
B
拓展：如已知带电粒子的质量m和电量e，若要带电粒 子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什 么条件？
（3）圆形磁场区域 例1。 如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m 的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射 出磁场区域方向与入射方向的夹角为 60 求：此离子在磁场区域内飞行的时间。 由几何关系得出
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带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题
一、多解问题
(一)带电粒子电性不确定形成多解
1.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。
现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′
射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
2．如图1所示，第一象限围有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为
B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O
射入磁场中，初
速度v0与x轴夹角θ＝60°，试分析计算：
图1
(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多
大？
(2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？
(二)磁场方向不确定形成多解
2.(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正
电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电
荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.4qBm B.3qBm
C.2qBm D.qBm
(三)带电粒子速度不确定形成多解
.
. .
3.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三
角形ABC理想分开，三角形磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的
角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷qm＝k，
则质子的速度可能为
A．2BkL B.BkL2
C.3BkL2 D.BkL8
1．(多选)如图6所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂
直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感
应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质
量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的
b
点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
图6
A．3qBL6m B．3qBL3m
C．3qBL2m D．3qBLm
(四)带电粒子运动的往复性形成多解
4.某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图8212所示。装置的长为L，上下
两个相同的矩形区域存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁
场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分
别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装
置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改
.
. .
变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。
图8212
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。
二、临界值问题
(一)半无界磁场
[典例1] (多选) (2015·高考)如图8213所示，S处有一电子源，可向纸面任意方向
发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，
MN与SO直线的夹盘角为 θ
，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T，电子质量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10
－
19 C，不计电子重力，电子源发射速度v＝1.6×106
m/s的一个电子，该电子打在板上可能
位置的区域的长度为l，则( )
图8213
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm
B．θ＝60°时，l＝9.1 cm
C．θ＝45°时，l＝4.55 cm
D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
(二)四分之一平面磁场
[典例2] 如图8214所示，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a,0)
点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限的匀强磁场中，并恰好垂直于
y
轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
.
. .
图8214
(三)矩形磁场
[典例3]
如图8215所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方
向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知
沿图中与MN成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长
时间为( )
图8215
A.πa3v B.23πa3v
C.4πa3v D.2πav
(四)正方形磁场
[典例4] (多选)如图8216所示，在正方形abcd充满方向垂直纸面向里、磁感应强度
为B的匀强磁场。a处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入
磁场，经时间t1从d点射出磁场，乙粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场，
经时间t2垂直cd射出磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则下列说法中正确的是
( )
图8216
A．v1∶v2＝1∶2 B．v1∶v2＝3∶4
.
. .
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
(五)三角形磁场
[典例5] 如图8217所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷
为em的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为( )
图8217
A．B＞2mv0ae B．B＜2mv0ae
C．B＞3mv0ae D．B＜3mv0ae
(六)圆形磁场
[典例6] 如图8218所示，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)。在柱形
区域加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的
a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O
到直线
的距离为35R。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿
直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电
场强度的大小。
图8218
3．如图2所示，一带电质点质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度
v
从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的
b
点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感
应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求这圆形磁场区
域的最小半径。(重力忽略不计)
.
. .
图2
(七)半圆形磁场
[典例7] 如图8219所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是
ad、bc的中点，以ad
为直径的半圆有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强
度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以
速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则( )
图8219
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边