§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
（ 2） BC FE AD ; （ 3） OA FE 0 .
E
D
F
O
C
A
B
例2: 求向量 A B + D F + C D + B C + FA 之和.
解 :∵ A B + D F + C D + B C + F A
D
C
d c O b
a
A
B
补充练习
例 1： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 （1） A O C O (2) B C F E (3) O A F E
解：（ 1） OC OB ; OA
课本84页 习题（做书上） 作业 课本91页 2、3作业本2.2.1
a+ b = b+ a ( a + b ) + c = a + (b + c )
F2的和,即位移,力的合成可看作向量的加
法.
向量加法的三角形法则
b
已 知 向 量 a , b, 作 向 量a + b 求
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．重点难点1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【向量加法的三角形法则】如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA＋AB＝OB.使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与____同向，且|a＋b|＝_______.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【向量加法的平行四边形法则】向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC ，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .① 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB ＝a ，AD ＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【向量加法的多边形法则】向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：12A A ＋23A A ＋34A A ＋… ＋1n n A A -＝1n A A .或12A A ＋23A A ＋… ＋1n n A A -＋1n A A ＝__ .这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效． 例如，在正六边形ABCDEF 中，AC ＋BD ＋CE ＋DF ＋EA ＋FB ＝________. 例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .小结已知向量a与b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.例2化简：(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.小结解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3) AB＋AD＋CD＝________；(4) AC＋BA＋DA＝________.例3在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．小结速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．训练3某人在静止的水中的游泳速度为2 3 km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝AB＋BC＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝. (2)结合律：(a＋b)＋c＝.【当堂训练】1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是() A.FD＋DA＋DE＝0 B.AD＋BE＋CF＝0C.FD＋DE＋AD＝ABD.AD＋EC＋FD＝BD2．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝______；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4) BA＋DB＋EC＋AE＝________.3．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
J
F
E D B
C
AB BC CD DE
0 JK KA ?
A
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向
与水流间的夹角是60 ，求v1和v2.
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加 法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义; (2)向量减法运算几何意义;
问题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
a
特例：共线向量
a
b
A B C
b
B C A
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
课堂练习
教材P84页练习1. 1、（1）
ab
a
ab
b a b
b
（2）
ab
（3）
a
b
b
（4 ） a b
a
b b
向量加 法
课堂练习
二、向量加法的运算法则:
B
a
ba ab a
b
C
D
D
b
A
( a b) c
(完整)2.2.1向量加法运算及其几何意义
22 52 = 29 5.4
因为 tanCAB 5 ,
2
CAB 68o
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为68°
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：首尾相连首尾连) 2.向量加法的平行四边形法则
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角u形r 法uur则
rr
已知向量 a , b,求作向量a + b
(要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量r 加法r 满足r 交换r 律及结合律
a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
作业 活页 作业
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用
与江水速度间的夹角表示,精确到度).
uuur uuur
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
向量加法运算及其几何意义1
例2 如图，一艘船从长江南岸A点出发，以5 3 km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水速度为向东5km/h. （1）试用向量表示江水速度，船速及船实际航行的速度 （保留两个有效数字） （2）求船实际航行的速度大小与方向（用与江水速度间 的夹角表示）。
D
C
A
B
解：（1）如图所示，AD
AD 行速度。
﹑
AB为邻边作平行四边形ABCD，则 AC 表示船实际航
表示船速，AB 表示水速，以
（2）在 Rt ABC中
AC 2 2 AB BC
5 3
2
52
100 10
因为 tan CAB 3 所以 CAB 60 答：船实际航行速度的大小为10km/h,方向与水的 流速间的夹角为 60 。
§2.2.1向量加法运算 及其几何意义
F 1
· E · E · O · O C
F2
F
实事回放
上海 上海 上 海 台北
香港 香港
台北
b
C
A a
向量的加法——法则
a b AB BC AC
B
向量加法的三角形法则： 首尾相连，首尾连
例1 如图，已知向量 a, b ，求作向量 a b
练习：如图，已知向量 a, b ，求作向量 a b
(1)
(2)
b a
B
C
b
B
C
a
A
A
AC a b
AC a b
思考：
• • 它的大小和
两个向量 a, b 的和仍是一个向量吗？
2.2.1向量加法运算及其几何意义
复习回顾
向量的概念:
向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
平行向量定义：
相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
两个实数可以相加，从而给数赋 予了新的内涵.如果向量仅停留在概念 的层面上，那是没有多大意义的. 问题：两个向量可以运算吗？可 以相加吗？
1、位移
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B水速
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5 D 2 2 AC AB BC
C
22 52 = 29 5.4
船实际航行速度大小约为5.4km/h.
A
B
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
C
AB BC AC ?
A B
向量加法的三角形法则
a
A
b
B
C
2、力的合成
G
F1
E
O
C
F为F1与 F 2的合力 它们之 间有什 么关系
G
E
O F1 A F F2 B
F2
F C
G
E
O
通过这个物理现象，我们给出向量加法的另一个法则：平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则
b a
o
B
A
C
问题：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 的区别与联系？
g (4)c+d+e=______
f a
c b
B
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常 通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长 江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船 实际航行的速度(保留两个有效数字)
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A
BA
uuur uuur uuur AB BC AC
起点相同，两边平行
同一起点，对角为和
uuur uuur
C 过A作 AD BC
连结DC,
D
c
则四边B形ABCCDA是一个 平行C四边形B
A
B
uuur uuur uuur AB AD AC
2020/6/25
注向意量相:uAu平Cur同行是或四向相边量uAu反Bur形的法uA与u向Du则r 量对不于适方用向！
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
重庆市万州高级中学 曾国荣
wzzxzgr@
教学目标：
1. 掌握向量加法的定义
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法 则作两个向量的和向量
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行 向量计算
教学重、难点：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
r a
uuur uuur uuur r r
连结OC，则 OC OA OB a b.
O
a
A
ab
b
B
C
平行四边形法则
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
10
加法三角形法则
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
加法平行四边形法则
尾首顺次相接 首指向尾为和
D
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。
(首尾相接，首尾连）
AB BC CD DE AE
Ed
D
c
C
A
b
aB
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
rrБайду номын сангаас
rr
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平uuu面r 内r 任取uuur一点r O，
b
作 OA a ，OB b ，
Y 以OA、OB为邻边做 OACB ，
1.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两
个向量的和向量.
2.向量的加法和减法的定义的理解
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一.复习引入
1.向量两要素：大小、方向。与起点无关
起点可以取任意位置。
所以数学中的向量也叫 自由向量 自由向量可以根据需要自由平移
2.零向量： 长度为0的向量 记作：0 或 AB 0
方向是任意的!
规定： 0 0 0// 0 0// a
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
3.单位向量：长度为1个单位长度的向量。
方向不一定相同 记作 AB 1
4.相等向量：
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
6
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
水流的速度是 AB ,船的速度是 AC
则两个速度的和 AB AC AD
D
C B
A
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
7
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
12
向量加法的运算律
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
交换律： a b b a
结合律：
r (a
r b)
r c
r a
r (b
r c)
观察
想一想
1.零向量和任一向量 a 的和为多少?
a0 0a a
r rrr r r 2. a b , a b 和 a b 的大小关系如何?
r r rr r r a b ab a b
二.讲解新课 ur uur
rr
例1.已知向量a ，b,求作向量a b
uuur uur uuur r
作法：（1）uu在ur平面r内任取r 一点O (2)作 OA a ,AB b
(3) OB a b
首
a
A
a 尾首 b
尾B
尾 相
接
首
a+b
b
O
首 尾 连
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为 向量加法的三角形法则。
的和
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
11
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
rrr
rrr
已知向量a, b, c, 求作向量a b c
a
c
b
rr a ab
b
r rc bc
abc
rr r r rr 结合律 : (a b) c a (b c)
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
rr ab
rr
a b
方向相同
5.方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量也叫共
线向量
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，
所平行向量也叫共线向量
r rr r r r 若a // b,b // c,则a // c
2020/6/25
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
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§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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两种特例(两向量平行)
r a r b
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
r a
r b
首
尾首
尾
A
B
C
r r uuur a b AC
尾
首
首尾
B r r C uuur A a b AC
方向相同
方向相反
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向量加法的平行四边形法则
A
a a+b
b
bC
a
B
A
a a+b
b
共
bC
起
a
B
点
对于两个不共线的非零向量 a, b ,我们还可以作平行四边形来求两 个向量的和.分别作OA a ，OC b ，以OA,OC为邻边作平行四
边形 OABC，则以 O为起点的对角线 OB 就是向量 a与 b的和,我们
把这种方法叫做r 向量r 加法r的平r行四边形法则 交换律 : a b b a
rr
rr
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在uu平ur 面r内任uuur取一r 点O，
b
作 OA a，AB b，
r
则
uuur r r OB a b
。
a
O
a
Ar b
ab
B
三角形法则
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§2.2.1 向量加法运算及其几何意义