全国新高考Ⅰ卷理科数学试题及答案解析
2024新高考I卷数学详细解析(含选填)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学参考答案与解析1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准注意事项：考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|−5<x3<5}，B={−3,−1,0,2,3}，则A B=A.{−1,0}B.{2,3}C.{−3,−1,0}D.{−1,0,2}【答案】A.【解析】−5<x3<5⇒−513<x<513，而1<513<2，因此A B={−1,0}.故答案为A.2.若zz−1=1+i，则z=A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i【答案】C.【解析】两边同时减1得：1z−1=i,进而z=1+1i=1−i.故答案为C.3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x).若b⊥(b−4a)，则x=A.−2B.−1C.1D.2【答案】D.【解析】即b⋅(b−4a)=0.代入得4+x(x−4)=0,即x=2.故答案为D.4.已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=A.−3mB.−m 3C.m 3D.3m【答案】A.【解析】通分sin αsin β=2cos αcos β.积化和差12(cos (α−β)−cos (α+β))=2⋅12(cos (α−β)+cos (α+β)).即cos (α−β)=−3cos (α+β)=−3m .故选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且他们的高均为√3，则圆锥的体积为A.2√3π B.3√3πC.6√3πD.9√3π【答案】B.【解析】设二者底面半径为r ，由侧面积相等有πr √r 2+3=2πr ⋅√3，解得r =3.故V =13⋅πr 2⋅√3=√33π×9=3√3π.故答案为B.6.已知函数为f(x)=⎧{⎨{⎩−x 2−2ax −a,x <0e x +ln (x +1),x ⩾0在R 上单调递增，则a 的取值范围是A.(−∞,0]B.[−1,0]C.[−1,1]D.[0,+∞)【答案】B.【解析】x ⩾0时，f ′(x)=e x +11+x>0，故f(x)在[0,+∞)上单调递增.而y =−x 2−2zx−a 的对称轴为直线x =−a ，故由f(x)在(−∞,0)上单调递增可知−a ⩾0⇒a ⩽0.在x =0时应有−x 2−2ax −a ⩽e x +ln (x +1)，解得a ⩾−1，故−1⩽a ⩽0.故答案为B.7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin (3x −π6)的交点个数为A.3B.4C.6D.8【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有6个交点.故答案为C.8.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000【答案】B.【解析】f(1)=1,f(2)=2⇒f(3)>3⇒f(4)>5⇒f(5)>8⇒f(6)>13⇒⋯⇒f(11)>143⇒f(12)>232⇒f(13)>300⇒f(14)>500⇒f(15)>800⇒f(16)>1000⇒⋯⇒f(20)>1000故答案为B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值为x =2.1，样本方差s 2=0.01.已知该种植区以往的亩收入x 服从正态分布M(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(x,s 2)，则（若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (Z <μ+σ)≈0.8413）A.P (X >2)>0.2 B.P (X >2)<0.5 C.P (Y >2)>0.5 D.P (Y >2)<0.8【答案】BC.【解析】由所给材料知两正态分布均有σ=0.1及正态分布的对称性得：P (X >2)<P (X >1.9)=1−P (X <1.9)=1−0.8413<0.2,A 错误；P (X >2)<P (X >1.8)=0.5,B 正确；P (Y >2)>P (Y >2.1)=0.5,C 正确；P (Y >2)=P (Y <2.2)=0.8413>0.8,D 错误.故答案为BC.10.设函数f(x)=(x −1)2(x −4)，则A.x =3是f(x)的极小值点B.当0<x <1时，f(x)<f(x 2)C.当1<x <2时，−4<f(2x −1)<0D.当−1<x <0时，f(2−x)>f(x)【答案】ACD.【解析】计算知f ′(x)=3(x −1)(x −3).故x ∈(1,3)时f(x)单调减,其余部分单调增.由此知x =3为f(x)极小值点，A 正确；由上知x ∈(0,1)时f(x)单调增,又此时x >x 2,故f(x)>f(x 2),B 错误；此时2x −1∈(1,3),故f(2x −1)∈(f(3),f(1))=(−4,0),C 正确；由f(2−x)=(x −1)2(−x −2),故f(2−x)−f(x)=2(1−x)3>0,D 正确.故答案为ACD.11.造型∝可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于−2；到点F (2,0)的距离与到定直线x =a(a <0)的距离之积为4，则A.a =−2B.点(2√2,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(x 0,y 0)在C 上时，y 0⩽4x 0+2【答案】ABD.【解析】由原点O 在曲线C 上且|OF |=2知O 到直线x =a 距离为2,由a <0知a =−2,A 正确；由x >−2知C 上点满足(x +2)√(x −2)2+y 2=4,代(2√2,0)知B 正确；解出y 2=16(x +2)2−(x −2)2,将左边设为f(x),则f ′(2)=−0.5<0.又有f(2)=1,故存x0∈(0,1)使f(x0)>1.此时y>1且在第一象限,C错误；又y2=16(x+2)2−(x−2)2<16(x+2)2,故y0<4(x0+2),D正确.故答案为ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线C∶x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2做平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为▴..【答案】3 2 .【解析】根据对称性|F2A|=|AB|2=5，则2a=|F1A|−|F2A|=8，得到a=4.另外根据勾股定理2c=|F1F2|=12，得到c=6，所以离心率e=ca=32.13.若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=▴..【答案】ln2.【解析】设曲线分别为y1,y2，那么y′1=e x+1，得到切线方程y−1=2x，根据y′2=1x+1得到切点横坐标为−12，代入y2得到a=ln2.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为▴..【答案】1 2 .【解析】.由对称性，不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8),为了简便,设甲依次出(a,b,c,d),{a,b,c,d}∈{1,3,5,7}.首先注意到8是最大的,故甲不可能得四分.若甲得三分,则从c到a均要求得分,比较得必有c=7,b=5,a=3,d=1共一种情况；若甲得两分,则讨论在何处得分：若在b,c处,则同样c=7,b=5,进而a=1,d=3,共一种；若在a,c处，则必有c=7,a≠1,b≠5,在b=1时有全部两种,在d=1时仅一种,共三种；若在a,b处,则b∈{5,7},a≠1,c≠7.当a=5时,由上述限制,c=1时有两种,d=1时仅一种；当a=7时,a,c,d全排列六种中仅a=1的两种不行,故有四种,此情形共八种.故共有1+3+8=12种,又总数为4!=24,故所求为1−1224=12.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin C=√2cos B，a2+b2−c2=√2ab.（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+√3，求c.【解析】（1）根据余弦定理a 2+b 2−c 2=2ab cos C =√2ab ，那么cos C =√22，又因为C ∈(0,π)，得到C =π4，此时cos B =12，得到B =π3.（2）根据正弦定理b =c sin B sin C =√62c ，并且sin A =sin (B+C)=sin B cos C +cos B sin C =√6+√24，那么S =12bc sin A =3+√3，解得c =2√2.16.（15分）已知A(0,3)和P (3,32)为椭圆C ∶x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程.【解析】（1）直接代入后解方程，得到a 2=12,b 2=9,c 2=3，所以e 2=14，离心率e =12.（2）设B(x 0,y 0)，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB =(x 0−3,y 0−32),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AP =(3,−32).得到9=S=12∣−32(x 0−3)−3(y 0−32)∣，或者x 0+2y 0=−6，与椭圆方程联立，得到B 1(−3,−15),B 2(0,−3)，对应的直线方程y =12x 或者y =32x −3.17.（15分）如图，四棱锥P −ANCD 中，P A⊥底面ABCD ，P A =AC =2，BC =1，AB =√3.（1）若AD⊥AB ，证明：AD平面P BC ；（2）若AD⊥DC ，且二面角A −CP −D 的正弦值为√427，求AD .【解析】（1）由P A⊥面ABCD 知P A⊥AD ,又AD⊥P B ,故AD⊥面P AB .故AD⊥AB ,又由勾股定理知AB⊥BC ,故AD//BC ,进而AD//面P BC .（2）由P A⊥面ABCD .P A⊥AC ,P C =2√2,设AD =t ,则P D =√4+t 2,CD =√4−t 2,由勾股定理知P D⊥CD .则S △P CD =12√16−t 4,S △ACD =12t √4−t 2,设A到P CD距离为ℎ.由等体积,S△P CD ⋅ℎ=S△ACD⋅P A.代入解出ℎ=2t√4+t2.考虑A向CP作垂线AM,二面角设为θ则ℎ=AM sinθ=2√217.由此解出t=√3.18.（17分）已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3.（1）若b=0，且f′(x)⩾0，求a的最小值；（2）证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；（3）若f(x)>−2当且仅当1<x<2，求b的取值范围.【解析】函数定义域(0,2).(1)当b=0时,f′(x)=1x+12−x+a=2x(2−x)+a⩾0恒成立.令x=1得a⩾−2.当a=−2时,f′(x)=2(x−1)2x(2−x)⩾0,从而a的最小值为−2.(2)f(x)+f(2−x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3+ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3=2a=2f(1),且定义域也关于1对称,因此y=f(x)是关于(1,a)的中心对称图形.(3)先证明a=−2.由题意,a=f(1)⩽−2.假设a<−2,由f(2e|b|+11+e|b|+1)> |b|+1−|b|=1,应用零点存在定理知存在x1∈(1,2e|b|+11+e|b|+1),f(x1)=0,矛盾.故a=−2.此时,f′(x)=(x−1)2x(2−x)[3bx(2−x)+2].当b⩾−23,f′(x)⩾(x−1)2x(2−x)(2−4x+2x2)⩾0,且不恒为0,故f(x)在(0,2)递增.f(x)>−2=f(1)当且仅当1<x<2,此时结论成立.当b<−23,令x0=3b−√9b2−6b3b∈(0,1),f′(x0)=0,且f′(x)<0,当x∈(x0,1),因此f(x)在(x,1)递减,从而f(x0)>f(1)=−2,而x0∉(1,2)此时结论不成立.综上,b的取值范围是[−23,+∞).19.（17分）设m为正整数，数列a1,a2,⋯a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列.（1）写出所有的(i,j),1⩽i⩽j⩽6，使数列a1,a2,⋯a6是(i,j)−可分数列；（2）当m⩾3时，证明：数列a1,a2,⋯a4m+2是(2,13)−可分数列；（3）从1,2,⋯4m+2中一次任取两个数i和j(i<j)，记数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列的概率为Pm ，证明Pm>18.【解析】记{a n }的公差为d .(1)从a 1,a 2,⋯,a 6中去掉两项后剩下4项,恰构成等差数列,公差必为d ,否则原数列至少有7项.因此剩下的数列只可能为a 1,a 2,a 3,a 4,a 2,a 3,a 4,a 5,a 3,a 4,a 5,a 6三种可能,对应的(i,j)分别为(5,6),(1,6),(1,2).(2)考虑分组(a 1,a 4,a 7,a 10),(a 3,a 6,a 9,a 12),(a 5,a 8,a 11,a 14),(a 4k−1,a 4k ,a 4k+1,a 4k+2)(4⩽k ⩽m),(当m =3时只需考虑前三组即可)即知结论成立.(3)一方面,任取两个i,j(i <j)共有C 24m+2种可能.另一方面,再考虑一种较为平凡的情况:i−1,j−i−1均可被4整除,此时,只要依次将剩下的4m 项按原顺序从头到尾排一列,每四个截取一段,得到m 组公差为d 的数列,则满足题意,故此时确实是(i,j)−可分的.接着计算此时的方法数.设i =4k+1(0⩽k ⩽m),对于每个k ,j 有(4m +2)−(4k +1)−14+1=m−k+1(种),因此方法数为m∑k=1(m −k +1)=(m +1)(m +2)2.当m =1,2,已经有(m +1)(m +2)2/C 24m+2>18.下面考虑m ⩾3.我们证明:当i −2,j −i +1被4整除,且j −i +1>4时,数列是(i,j)−可分的.首先我们将a 1,a 2,⋯,a i−2,及a j+2,a j+3,⋯,a 4m+2顺序排成一列,每4个排成一段,得到一些公差为d 的四元数组,因此我们只需考虑a i−1,a i+1,a i+2,⋯,a j−1,a j+1这j −i +1个数即可.为书写方便,我们记j −i =4t −1(t >1),并记b n =a n+i−2,即证b 1,b 3,b 4,⋯,b 4t ,b 4t+2可被划分成若干组.引理:设j−1能被4整除.若b 1,b 2,⋯,b j+1是(2,j)−可分的,则b 1,b 2,⋯,b j+9是(2,j+8)−可分的.引理证明:将b 1,b 2,⋯,b j+1去掉b 2,b j 后的j −14组四元组再并上(b j ,b j+2,b j+4,b j+6),(b j+3,b j+5,b j+7,b j+9)即证.回原题.由(2),b 1,⋯,b 14是(2,13)−可分数列,且(b 1,b 3,b 5,b 7)和(b 4,b 6,b 8,b 10)知b 1,⋯,b 10是(2,9)−可分数列,因而结合引理知b 1,b 3,b 4,⋯,b 4t ,b 4t+2可被划分成若干组,由此结论成立.计算此时的方法数.设i =4k+2(0⩽k ⩽m−1),则此时j 有(4m +2)−(4k +2)4−1=m −k −1种,因此方法数为m−1∑k=0(m −k −1)=m(m −1)2.因此我们有p m ⩾m(m −1)+(m +1)(m +2)2C 2m+1>18.。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答案+全解全析纯word版(2020.6.15)
2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)
1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)与答案(新课标Ⅰ)
当 b = 2 时，f(a) - f(b2) =-1 < 0，此时 f(a) < f(b2)，有 a < b2，所以 C、D 错误 .
故选：B.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x + y - 2 ≤ 0, 13. 若 x，y 满足约束条件 x - y - 1 ≥ 0, 则 z = x + 7y 的最大值为 ______________.
型的是 ( )
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + blnx
【答案】D
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 y = a + blnx.
故选：D.
6. 函数 f(x) = x4 - 2x3 的图像在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 ( )
求解一次不等式 2x + a ≤ 0 可得：B = x|x ≤-a2 .
由于 A ∩ B = x| -2 ≤ x ≤ 1 ，故：-a2 = 1，解得：a =-2.
故选：B.
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为( )
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
【答案】B
【详解】设 f(x) = 2x + log2x，则 f(x) 为增函数，因为 2a + log2a = 4b + 2log4b = 22b + log2b
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考理科数学试卷解析版（全国乙卷）
2023年高考理科数学试卷解析版（全国乙卷）2023年高考理科数学试卷解析版真题(全国乙卷)小编带来了2023年高考理科数学试卷解析版(全国乙卷)，数学与我们的生活有着密切的联系，现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用。
下面是小编为大家整理的2023年高考理科数学试卷解析版(全国乙卷)，希望能帮助到大家!2023年高考理科数学试卷解析版(全国乙卷)高中数学基础知识点一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B 的映射，记作f：A→B。
注意点：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
主要是含绝对值函数四.函数的奇偶性1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
2022年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(后附答案解析)
2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉2．已知12i z =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-3．已知向量,a b满足||1,||2|3==-=a b a b ，则⋅=a b （）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若||||AF BF =，则||AB =（）A ．2B．C ．3D．6．执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．67．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1B EF ∥平面1A ACD ．平面1B EF ∥平面11AC D8．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．39．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12C ．3D ．210．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．2D ．212．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．16．己知1x x =和2x x =分别是函数2()2e xf x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+；（2）若255,cos 31a A ==，求ABC △的周长．18．（2分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i 12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i()(177.3nix x y y r -=≈-∑．20．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．21．（12分）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++.（1）当1a =时，求曲线()y fx =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m ⎛⎫⎪⎝=⎭π++ρθ．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++．2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.31014.()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15.316.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab+-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.18.（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =，因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y =()n = ，又因为()31,0,0,0,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,7n CF n CF n CF⋅==，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,7n CF θ==，所以CF 与平面ABD所成的角的正弦值为7.19.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m （2）()()1010iii i10x x y y x y xyr ---=∑∑0.01340.970.01377=≈则0.97r ≈（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,)3M，(1,3N -，代入AB 方程223y x =-，可得3,3T +，由MT TH =得到5,3H .求得HN 方程：(2)23y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-21.（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x xxa x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a - ,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+ ,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a x ∈-=+-设()()e 2x h x g x ax'==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为1022++=y x m ，整理得l 20++=y m （2）联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m 中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(())36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：因为0a >，0b >，0c >，则32a >，32b >，320c >，所以3332223a b c ++≥，即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===（2）证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥a c +≥，a b +≥，所以32a b c ≤=+32b a c ≤=+，32c a b ≤=+333333222222a b c b b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．。
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全国新高考Ⅰ卷理科数学试题及
答案解析
2022全国新高考Ⅰ卷理科数学试题及答案解析
2022高考解答题评分标准
解答题阅卷的评分原则一般是：第一问，错或未做，而第二问对，则第二问得分全给;前面错引起后面方法用对但结果出错，则后面给一半分。
解题策略：
(1)常见失分因素：
1.对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题;
2.公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等;
3.思维不严谨，不要忽视易错点;
4.解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”;
5.计算能力差失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析中的圆锥曲线问题就要求较强的运算能力;
6.轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。
也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
高考数学答题窍门
1、审题要慢，答题要快
有些考生只知道一味求快，往往题意未清，便匆忙动笔，结果误入歧途，即所谓欲速则不达，看错一个字可能会遗憾终生，所以审题一定要慢，有了这个“慢”，才能形成完整的合理的解题策略，才有答题的“快”。
2、运算要准，胆子要大
高考没有足够的时间让你反复验算，更不容你一再地变换解题方法，往往是拿到一个题目，凭感觉选定一种方法就动手做，这时除了你的每一步运算务求正确外，还要求把你当时的解法坚持到底，也许你选择的不是最好的方法，但如回头重来将会花费更多的时间，当然坚持到底并不意味着钻牛角尖，一旦发现自己走进死胡同，还是要立刻迷途知返。
3、先易后难，敢于放弃
能够增强信心，使思维趋向，对发挥水平极为有利;另一方面如果先做难题，可能会浪费好多时间，即使难关被攻克，却已没有时间去得那些易得的分数，所以关键时刻，敢于放弃，也是一种明智的选择。
有些解答题第一问就很难，这时可以先放弃第一问，而直接使用第一问的结论解决第2问、第3问。
4、先熟后生，合理用时
面对熟悉的题目，自然象吃了定心丸，做起来得心应手，会使你获得好心情，并且可以在最短时间内完成，留下更多的时间来思考那些不熟悉的题目。
有些题目需花很多时间却只得到很少分数，有些题目只要花很少时间却有很高的分值。
所以应先把时间用在那些较易题或分值较高题目上，最大限度地提高时间的利用率。