第08章重积分习题详解

第八章重积分习题8-11•设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为卩二艸x,y)的电荷，且Kx,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解用一组曲线将D分成n个小闭区域AcTi,其面积也记为icTiU =1,2, H「，n) •任取一点(D迂g ,则心6上分布的电量如止4E f h) Abi•通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为Q 二1 也2円©, r) gl二JJ4 (x, y) dcr,卅「n D其屮A二max {Abi的直径}.2•设li= ff (x s +y0a db 其中Di ={( X, y) —1 <x <1,-2 <y〈2}；又b 二ff (x s + yjdbDi D:其中D2二{ (x,y) o <x<l,0<y <2} •试利用二重积分的几何意义说明b与E之间的关系.解由二重积分的几何意义知，h表示底为D、顶为曲面z二(x曾厂的曲顶柱体Oi的体积；12表示底为D?、顶为曲面z二(x巧r)啲曲顶柱体02的体积.由于位于Di上方的曲面Z = (x: +y:)咲于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将ci分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为02 .由此可知「41：.3.利用二重积分定义证明：(1)JJdb二0〃(其中0■为D的面积)-JJkf (x, y)d b =k JJ f (x, y)d (其屮k 为常数)；D DJJf (X, y) db = JJf (x, y) db + JJf (X, y) db,其中二DAJ D2, Du D2 为两个无公共D Di D：内点的闭区域.证(1)由于被积函数f (x, y)三1,故由二重积分定义得n nJJdb二jm 送f(q, ni)Ac7i HjmS Abi =iim b =bD Hi zt i =t Hn(2)JJkf (X, y)db 二1 也S kfRIMa 二kl 也S f CiljS =k JJf (x, y) dcr.D JL ° i A i D(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D’和D2的公共边界永远是一条分割线。

这样f(x,y)在UUD2±的积分和就等于D】上的积分和加Ch上的积分和，记为送 fCUMbi 二Z f(q, q)g】+Z fCiEJA®・D1JD: Di D:令所有A5的直径的最大值AT 0,上式两端同时取极限，即得JJ f(x, y)db 二JJf (x, y)db + JJf(x, y) dcr.D1JD: DI 24-根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：⑴ 1 I (x + y)2dcr与JJ(x+y)'dcr,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=l所D D围成；J7(x+y)2db与JJ(x +y)‘do',其中积分区域D是由圆周(x~2)4 5 +(y -1): =2所围D D成；(3)JJIn (x + yMb与j! [In (x+y'db，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为D D(1,0), (1, 1), (2, 0)；(4)JJIn(x+y)dD 与JJ[ln(x+y)]2dc7,其中D =｛( x, y) I 3 <x <5, 0 <y <1｝.D D解(1) 在积分区域D±, 0<x+y<l,故有(X+y)Y(x + y)\根据二重积分的性质4,可得ff (x + y)3db<JJ (x +y) 2dcy.D D(2)由于积分区域D位于半平面｛ ( x, y) x + y>l｝内，故在D上有(x+y)2<(x + y)，.从而J J (x+y) 2db < JJ (x+y) W .D D(3)由于积分区域D位于条形区域｛(X ,y )戸x+ y< 2内，故知D上的点满足0<ln x+y ) 1从而有[In (x+y)]2<l n(x + y).因此JJ[I n( x + y)]2db < n(x + y)dcr.D D4 由于积分区域D位于半平面｛( X, y) Ix+y >e｝内，故在D上有In(x+y)21,从而有[In(x+y)] >ln(x+y).因此JJ[In(x +y) ]db>JJ |n(x + y) dcr.D D5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) I =JJxy (x +y) dcr 其中D 二｛(x, y) 0 <x <1, 0 <y <1｝;I= ffsin2 xsin' ydct 其中D 二{( x, y) | 0 <x〈兀，0 <y < 兀};DI = JJ (x+y+l)dcr 其中D 二{( x, y) 0 <x <1, 0 < y <2}:DJJ(X2 +4y2 +9)d b 其中D 二{(x, y) x: +y= <4}・解(1)在积分区域D上，0<x<l , 0<y<l,从而0<xy(x +y) <2,又D的面积等于1,因此0〈JJxy(x + y) d b〈2.D在积分区域D 上，0〈si nx<l , 0<si n y <1,从而O〈si n:xsi n:y<l,又D 的面积等于rr,因此0 < JJsirT xsirTydb〈n.在积分区域D上，0〈x+y+l〈4 , D的面积等于2,因此2 < JJ(x + y+ l)db <8.在积分区域D ±, 0 <x: +y: <4,从而9 <x:+4y: +9<4 (x: + y:) +9 <25,,又D 的面积等于4n,因此36 n<JJ (x2 +4y2 + 9)db<100 n习题8-2i计算下列二重积分：(1 丨1 (x2+y2) db,其中D = {(x, y) | | x |M, | y |M};JJ(3x+2y)dcr,其屮D是由两坐标轴及直线x + y二2所围成的闭区域；Dff (x3 +3x2y+y3)db,其中D ={( x, y) | 0 <x <1, 0 < y 兰1}；D ffxcos(x +y) dey其中D是顶点分别为(0, 0),(兀0)和(兀冗)的三角形闭区域.D⑴ JJ(X s +y2) db = f"dx L(x s +y2) dy = jj x5y l tE x Sx L(2x2八dx 二弓.3「 3 3D LD可用不等式表示为0〈y〈3—X, 0<x<2,于是2 2A 2 ::xJJ (3x+2y)db = [ dx L (3x+2y)dy = [[3xy + y ]0 dx D2 20 =[(4 +2x一2x:) dx=J .3J J (X J +3x:y+y3) db 二[dyj； (x9 +3x s y + y s) dx D1I X 3 311 3.4=£ !- +x y +y X i dy = o(- +y +y )dy =1. LI 。

D 可用不等式表示为0<y<x, 0<x< n,于是nxnxJJxcos(x +y)db = 10 xdx o cos(x + y)dy = o x[sin(x + yj dx D ° ° n 3 _x(sin 2x -sinx)dx = ----------- n2.画出积分区域，并计算下列二重积分：JJX 阿，其中D 是由两条抛物线y=jx , y 二疋所围成的闭区域；JJxy 6dcr,其中D 是由圆周x 2+y : =4及y 轴所围成的右半闭区域;D[@十此,其中 D = {(x, y) | |x| +|y|M}；ff (x 2 +y 2 一 xjdcy,其屮 D 是由直线 y 二2,(1) D 可用不等式表示为X 2 <y<jx, 0<x<l,于是JJxVydb : = oxdx ■血 dy6 2 创上 12 2JJxy db 二「y dy L xdx 二-DD 二D1UD2,其中 Di ={ (x, y) 一x-l<y <x+l, -l<x<0},Di ={(x, y) x 一1 <y<—x+1, 0<x<l},于是jje >：%UeF + jje x +dD,DD D 12[eb j 二 &dy + Fe r dxe y dy L(e 计一 "jdx + o(e 一 e^j)dx =e -el .(4) D 可用不等式表示为乂〈x 〈y, 0<y<2,于是2叔(4—yy =x 及y 二2x 所围成的闭区域.D 可用不等式表示为0〈X < J4 —y%—2<y<2,于是222y 2 2 ff (x +y 一x) db = [dy y (x +y -x) dx D -=b [3 2 y3•化二重积分I = JJ f (x, y) dcr为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；由x轴及半圆周W =r s(Y >0)所围成的闭区域;由直线y二x, x=2及双曲线y二」(x〉0)所围成的闭区域；x环形闭区域{( X, y) 1 Cx：+ r <4}.(1)直线y二x及抛物线r =4x的交点为(0,0)和(4,4) 4 "4x 、 4y1二・0dx[ f (x, y) dy 或I =[dyp f (x, y) dx 将D用不等式表示为0〈y〈JF -X2, -r<x<r,于是可将I化为rI = Ldx o f (x, y) dy ;如将D用不等式表示为J2—r <x<Jr -r, 0<y<r,于是可将I化为r J「*I 二.0 dy Jyr f (x, y)dx.、 1 2 x二个交点为(1,1)、(2,—)和(2, 2),于是I 二1 dx j】f (x,2 1 x12 2 2I = Ji dy £ f (x, y)dx Ldy f f (x, y)dx・2y,其中积分区域D是: y) dy 或将D划分为4块，得j4-y2 2 J4?rdb 1I =J2d y ［牙(x, y)dx 屮J/y L 有、r f (x, ) dQdy B f(X，y)dx +J dy JR y XA H TX*'=Ldx —x, y)dy + Ldysi nx(6) o d\f\n Xf (X ，y )dy .D ={ ( x, y) 2 一x<y <j2x 一X 2, 1 <x <2} , D {(x, y) 12—y <xEl +Jl-y> 0 <y <1},于是or 2 HjTzx 2+ Ldy(X, y) dy + H dy L& f (X, y) dy.4-改换下列二次积分的积分次序:i y⑴ ody o f (x, 2 2y(2) T ；v ^2f (X>v)dXf (x, y) dx ;⑷[dx[s f (x, y) dy ;(1)所给二次积分等于二重积分 JJf (x,y)dcr,其屮二{( x, y) 0 <x <y, 0<y<l} , D 可改写为{( x, y)11原式二dx x f (x, y) dy.(2) 所给二次积分等于二重积分 JJ f (x, y) dCT,D={( x, y) y s <x <2y, 0 <y <2} , D 可改写为{( x, y). 4欢原式二[dx jx f (x, y) dy.2⑶所给二次积分等于二重积分JJ f (x, y) dCT,D氓(x, y) | —J —r <x<Jl —r, 0<y<l} , D 可改写为{( x, y) 0<y <J1一X 2, 一1<X <1},于是1原式二Ldx o f (x, y) dy.(4) 所给二次积分等于二重积分 JJ f (x, y) dCT, D< y <1, 0<x<l},于是其中<A/x, 0<x<4},于是其屮其中*47*e In X[dx 」f(x, y)dy ;可改写为f (x, y) dx.f (x, y) dx.JJf (x, y) dcr,将 D 表示为 D"1 Da,其中DDr = {( x, y) arcsin y <x < 冗一 arcsin y, 0 < y <1},D2 = { ( x, y) -2arcsin y<x< n -l<y <0},于是、1n_arcsi nyn原式二』dy [rcsiny f (X, y) dx + LdyLrcsinyf (X, y) dX ・5•计算由四个平面x=0, y=0, X 二1 , y 二1所围成柱体被平面z 二0及2x + 3y + z=6截得的 立体的体积.解 此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy 面上的闭区域D ={( X, y) |0 <y <1, 0<x<l},顶是 曲面Z =6-2x -3y,因此所求立体的体积为11 7 V = □ (6 -2x -3y) dxdy =J dx o(6 -2x -3y) dy 二-.26.求由曲面z =x : +2歹及z=6-2x 2-y :所围成的立体的体积. 解 所求立体在xOy 面上的投影区域为c 9D = {(x, y) x +y <2}所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：V 二 JJ (6 -2x= -y s ) db — JJ (x= +2y a ) dbDD=JJ(6 -3x= -3y=) db = JJ(6 -3 俨川內£DD二［d 叫(6—3 Pd P =6 n7.画岀积分区域，把积分JJf (x, y) dcr 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域DD是:(1) {(X, y) X 2 +y 2 <a 2} (a >0)； (5) 所给二次积分等于二重积分 fj f (x, y) db,其中DD x, y) 0 <y <ln x, 1 <x <e}, D 可改写为{( x, y)e y <x<e, 0 <y <1},于是所给二次积分等于二重积分 (2) {(x, y) x 2 + y 兰 2x}；{( X, y) a <x +y <b },其中0<a<b ; (4) {(x, y) |0<y<l —x, 0<x<l}.0<0<2n,故(1)在极坐标中,D ={( PO) 0<P<a,JJf (x, y) db = JJf (Pcos H, Psin£)PdfldO=o dO Jo f (Pcos 日,Psin 日)PdP.D D v 0(2)在极坐标中,D= {(P, T) 0< P 兰2cosa —\n,故2 2n 2cosflJJf (X, y) db 二fff (PcosT, PsinT)PdPdO = f4, de f0 f 日,Psin日)PdP・D D —(3)在极坐标中，D= {(P, £) a< P<b, 0<0<2n,故2 n bfff (x,y)db = fff (PcosT, PsinT)PdPdO=f d9[ f (Pcos S,Psin H)PdP. L L・0 L a在极坐标中，直线x+y=l的方程为P二 ---------- 2--------------------------------------------- ,故o - 0〃一—(叫心齐而，弓，于是JJf (x, y) db 二fff (PcosT, Psin£)PdfdO 二D 18化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：• 1 1(1 [dx f f) (x, y) dy ;f (x, y) dy■♦(1)用直线y二x将积分区域D分成D】、4 x3sm 9 +cos6iPcos 日，Psin£)PdP.2护「x Jx f (x>y) dy ；D?两部分：〈上},4(Pcos4Dx={( P,日)0< P<se 出，0<0。