高等数学课后答案第八章习题详细解答Word版

习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

这样(,)f x y 在12D D 上的积分和就等于1D 上的积分和加2D 上的积分和，记为1212(,)(,)(,).i i i i i i i i i D D D D f f f ξησξησξησ∆=∆+∆∑∑∑令所有i σ∆的直径的最大值0λ→，上式两端同时取极限，即得1212(,)d (,)d (,)d .D D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；(2) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；(3)ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4) ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y +≥内，故在D 上有23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足0ln()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此0()d 2.Dxy x y σ≤+≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(3) 在积分区域D 上，014x y ≤++≤，D 的面积等于2，因此2(1)d 8.Dx y σ≤++≤⎰⎰(4) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰习 题 8-21. 计算下列二重积分： (1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是22222000220(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰ 14113330001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y x x x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) D σ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y =，2y x =所围成的闭区域；(2) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域； (3) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤；(4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(2) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰ (3) 12D D D =，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是120111110112112111ed e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x yx y x y D D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) D 可用不等式表示为,022yx y y ≤≤≤≤，于是 2222223222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x x x x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 化二重积分(,)d DI f x y σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：(1) 由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域； (2) 由x 轴及半圆周222(0)x y r y +=≥所围成的闭区域； (3) 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域； (4) 环形闭区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤．解 (1) 直线y x =及抛物线24y x =的交点为(0,0)和(4,4)，于是40d (,)d xI x f x y y =⎰或2404d (,)d yy I y f x y x =⎰⎰(2) 将D用不等式表示为0y r x r ≤≤-≤≤，于是可将I 化为d (,)d rr I x f x y y -=⎰；如将D用不等式表示为0x y r ≤≤≤，于是可将I 化为d (,)d .rI y f x y x =⎰(3) 三个交点为(1,1)、1(2,)2和(2,2)，于是211d (,)d x xI x f x y y =⎰⎰或12221112d (,)d d (,)d .yyI y f x y x y f x y x =+⎰⎰⎰⎰(4) 将D 划分为４块，得11211211d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .I y f x y x y f x y xy f x y x y f x y x ----=+++⎰⎰⎰⎰⎰或11211211d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .I x f x y y y f x y yy f x y y y f x y y ----=+++⎰⎰⎰⎰⎰4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 1d (,)d y f x y x ⎰ ；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|04}2xx y y x ≤≤≤≤，于是原式42d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤，D 可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式11d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1eed (,)d .y y f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0πarcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰5. 计算由四个平面0x =，0y =，1x =，1y =所围成柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积．解 此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy 面上的闭区域{(,)|01,01}D x y y x =≤≤≤≤，顶是曲面623z x y =--，因此所求立体的体积为11007(623)d d d (623)d .2DV x y x y x x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰6. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积． 解 所求立体在xOy 面上的投影区域为22{(,)|2}D x y x y =+≤所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：22222222π20(62)d (2)d (633)d (63)d d d 3)d 6π.DDDDV x y x y x y σσσρρθθρρρ=---+=--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 画出积分区域，把积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤； (3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤． 解 (1) 在极坐标中，{(,)|0,02π}D a ρθρθ=≤≤≤≤，故2π0(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .aDDf x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 在极坐标中，ππ{(,)|02cos ,}22D ρθρθθ=≤≤-≤≤，故 π2cos 2π02(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .DDf x y f f θσρθρθρρθθρθρθρρ-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 在极坐标中，{(,)|,02π}D a b ρθρθ=≤≤≤≤，故2π0(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .baDDf x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 在极坐标中，直线1x y +=的方程为1sin cos ρθθ=+，故1π{(,)|0,0}sin cos 2D ρθρθθθ=≤≤≤≤+，于是π12sin cos 0(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .DDf x y f f θθσρθρθρρθθρθρθρρ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1) 110d (,)d x f x y y ⎰⎰ ； (2)20d (,)d x x f x y y ⎰；(3)11d (,)d xx f x y y -⎰ ； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：1π{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，2ππ{(,)|0c ,}.42D cs ρθρθθ=≤≤≤≤， 于是原式sec csc 4204d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππθθπθρθρθρρθρθρθρρ=+⎰⎰⎰⎰(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y =的方程分别是π2sec ,4ρθθ==和3πθ=。