第八章答案

一、单项选择题
1---5 BAD AA 6---10 D CCC A 11---14 BACB 二、填空题
1.9
2.1(1)e π--
3.π
4.43π-
5.1
6.4(1)e π-
7.2
3
8.52+e 9. 1ln 22 10. 42
a π 11. 1-e 12. ππ+3
13.32 14.2(1)e -
15.
1
10
d (,)d x
x f x y y ⎰
⎰ 16.210
d (,)d x
x
x f x y y ⎰⎰ 17.4(1)e π- 18.1
(1)e π--
19.4 20. 2π 21.24 22.143π 23.2
4
R π 24.2 25.()10d ,d y e e y f x y x ⎰⎰
26.(1)e π- 27.1 28.π 29.1
3 30.4
π 三、计算题 1.求
(2)d D
x y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域.
解 (画图)，原式=
2
20
(2)x
dx x y dy -+⎰
⎰
2
220
()
x
xy y dx -=+⎰
2
(42)x dx =-⎰2
2
84x =-=
2.求
(34)D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线1x y +=所围成的闭区域.
解 (画图)，原式=
1100
(34)x
dx x y dy -+⎰⎰
1
210
(32)
x
xy y dx -=+⎰
1
2
0(2)x x dx =--⎰23107
2()236
x x =-+=
3.求
2
()d d ,D
y x x y -⎰⎰
其中D 是由抛物线2y x =及直线1y =所围成的闭区域. 解 (画图)，原式21
121d ()d x x y x y -=-⎰⎰12
411122x x dx -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰
35
1
21()
35
x x =+-+8
15
=
4.求
22
()d D
x y σ+⎰⎰
，其中D 表示圆环区域}21),{(22≤+≤y x y x . 解：原式=
r r x d d 2
1
3
20
⎰
⎰
π
=1
2424r π
=23π.
5.求
d D
xy σ⎰⎰，其中D 是直线 2 , 1x y ==及y x =所围成的闭区域.
解：原式=2
1
1
x dx xydy ⎰
⎰122
1
()2x y x dx =⋅⎰
321()22x x dx =-⎰42
2
1
9()
84
8
x x =-=. 6.求
22()d D
x y xy σ++⎰⎰，其中D 是由直线2,,2y y x y x ===所围成的闭区域. 解：原式=
2
220
2
d (+)d y
y y x y xy x +⎰
⎰=2
322011
()322
y
x y x x y dx y ++⎰=23076y dy ⎰=143.
7.
(34)D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域.
解 (画图)，原式=
2
20
(34)x
dx x y dy -+⎰
⎰
2
220
(32)
x
xy y dx -=+⎰
220(82)x x dx =--⎰23
20
128
83
3
x x x =--=
8.求二重积分
3
d d x D
ye
x y -⎰⎰，D 是以(0 , 0) (1 , 1) (1 , 0)、 、 为顶点的三角形区域。

解：3
3
100
d d d d x x x
D
ye x y x ye y --=⎰⎰⎰⎰3
21
00
1
d 2
x
x y x e -=⋅⎰ 3
2
10
1
d 2
x x x e
-=⋅⎰3
13
1
d 6
()x e
x -=--⎰3
10
1
6
x e
-=-11
(1)6
e -=--
9.计算二重积分2
d d y
D
e x y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，
，，，，为顶点的三角形区域. 解：2
2
100d d d d y
y y D
e
x y y e x --=⎰⎰⎰⎰210
d y y
e y -=⎰
2
120
1d()
2y e y -=--⎰
21
10
11
(1)22y e e --=-=--
10.计算二重积分
2d D
xy σ⎰⎰，其中D 是直线1y =，2x =及y x =所围成的闭区域.
解：由已知得}{
12,1D x y x =≤≤≤≤， 则
2d D
xy σ⎰⎰
= 2
1 1d 2d x
x xy y ⎰⎰= 22
1
1
()d y x y xy x ==⎰
= 2
3 1
()d x x x -⎰
=2
421
11()42x x -=9
4
11.计算二重积分
d D
xy σ⎰⎰，其中D 是由2
y x
=和y x =所围成的闭区域.
解：由已知{}
2
(,)01,D x y x x y x =≤≤≤≤
d D
xy σ⎰⎰2
2
1
x
1
2
x
01d d y ()d 2x
x x x y x y x ==⎰
⎰
⎰
135
01()d 2x x x =-⎰1
460
111()246x x =-124=
12.计算二重积分
2d ,D
xy σ⎰⎰其中区域D 是由直线,1y x y ==与2x =所围成的三角形区域.
解 (画图)，原式=2
1
1d 2d x x xy y ⎰
⎰1
221()d x xy x =⎰231()d x x x =-⎰42211
194
24x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
13.求
()2
2d D
x
y y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线,2,2y x y x y ===所围的闭区域.
解 (画图)，原式=
2
220
2
d ()d y
y y x y y x +-⎰
⎰
=2
232
32002
1191d ()d 3242x y
y x x y x yx y y y y ==⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰2
430
19111()9666y y =-= 14.
2
sin d σ⎰⎰D
y ，其中D 是由y 轴和直线,1==y x y 所围成的闭区域. 解 (画图)，原式=
1
y
2
d sin d y y x ⎰
⎰0
1
20
(sin )d y y x x =⎰
120sin d y y x =⋅⎰210
11
cos (1cos1)22
y =-=- 15.cos d D
y σ⎰⎰，其中D 是由直线,,0y x y x π===所围成的闭区域.
解 (画图)，原式= 0
d cos d x
x y y π
π⎰
⎰0
(sin )d x y x π
π
=⎰0
sin d x x π
=-⎰0
cos 2x
π==-.。