信息安全数学基础第二版课后练习题含答案
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系.（）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。
则a≡b(mod m)。
（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。
信息安全数学基础参考试卷(推荐文档)
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
信息安全数学基础第一章-第一章第4-5节
p2 2
L
ps s
,
b
p1 1
p2 2
L
ps s
,
其中 i i 0, (i 1, 2,L , t);
i i 0, (i t 1, 2,L , s).
取
a'
p1 1
p2 2
于是 (120,150, 210, 35) 5.
同样 [120,150, 210, 35] 23 3 52 7 4200.
23
例5 设a, b是两个正整数,则存在整数a ' | a, b' | b,使得
a 'b' [a, b], (a ', b') 1.
证 设a, b有分解式:
a
p1 1
b p1 ' p2 'L pu ', c pu1 ' p2 'L ps ' 于是 n bc p1 ' p2 'L pu ' pu1 ' p2 'L ps '
15
适当改变pi '的次序,即得(1)式.
由归纳法原理, 对于所有n 1的整数,(1)式成立.
再证表达式的唯一性. 假设还有
n q1q2 L qt , q1 q2 L qt
所以[a, b] | m.
此定理表明:任意两个正整数的乘积等于这两个数的 最小公倍数与最大公因数的乘积.这两个数的最小公 倍数不但是最小的正倍数,且是另外的公倍数的因数.
10
推论 设m, a, b是正整数,则[ma, mb] m[a, b].
证
[ma, mb]
m 2 ab (ma, mb)
m2ab m ab m(a,b) (a,b)
信息安全数学基础作业参考答案
1、证明：任意奇整数可表示为2k0+1，k0 Z
（2k0+1）2＝4k02+4k0+1=4k0(k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k
所以（2k0+1）2=8k+1 得证。
7、证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k Z 3|a 则3|a3-a
因为e|a/d，故e|a，所以e|(a, c)。
相反地，如果f=(a, c)，由题设(a, b, c)=1，于是有(f, b)=1，所以(d, f)=1，因而f|a/d；而显然有f|bc/d，因此f|e，综上，e=f。
因此(a, b)(a,c)=de=d(a/d,bc/d)=(a,bc)
14、证明：
当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
13、证明：
设d=(a,b)，则(a/d, b/d)=1。因此如果g|a/d，则(g, b/d)=1；
设e=(a/d,bc/d)，有e|a/d，所以(e, b/d)=1，因此必有e|c。
a+a=(a+a)(a+a)=aa+aa+aa+aa=a+a+a+a
9、证明：
10、证明：
等式右边包含k个2。
11、证明：
14、证明：
第三章
4、证明：
因为
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
第四章
8、证第五章
第2章 信息安全数学基础(数论)
问题：是否所有的正整数都有原根？例如：m＝12Φ(m)＝6＝2×3，与m互素的正整数包括5，7，11。
52（mod 12）＝1因此，5对12的次数是272（mod 12）＝1因此7对模数m的次数为2112（mod 12）＝1因此11对模数m的次数为2因此m＝12没有原根。
2015-4-42015-4-4定理（整数存在原根的必要条件）：设m>1，若m 有原根，则m 必为下列诸数之一：2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）。
定理（整数存在原根的充分条件）：设m ＝2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）时，则m 有原根。
定理（整数原根个数）：设m 有一个原根g ，则m 恰有ϕ(ϕ(m))个对模数m 不同余的原根，这些原根由以下集合给出：{}|1(),(,())1tS g t m t m ϕϕ=≤≤=2015-4-417g m m m m m 1(),(,())13mod733mod75m t m t m ϕϕϕϕϕϕ×≤≤===例如，已知＝3是＝7的一个原根，求的所有元根。
解：（）＝6＝23（（））＝（6）＝2因此有两个元根。
满足条件的t=1,5即有两个元根，分别为3和5原根的判断：一般来说，判断g是否时一个素数m的原根时，不需要逐一计算g1，g2，…，gϕ(m)，而仅需要计算g t(modm），其中t|t|ϕϕ(m)。
2015-4-42015-4-4 23g m m 4mod74mod7)24mod7)14mod71m ϕϕ×==16例如，判断＝4是否是＝7的一个原根解：（）＝6＝23满足条件t|(m)的t=1,2,3,6（）＝4（（（）＝因此4不是的本元根。
2015-4-4本原根有关定理（续）定理（原根的计算）：12()2...11(mod )(1,2,...,)i s m q m m q q q g m g m gm i s ϕϕ>≠=设，（）的所有不同的素因子是，，，，（，）＝，则是的一个原根的充要条件是： 3121220812412525))20,812mod4140112mod411811241g m m q q m m q q m ϕϕϕ×====≠≠例如，证明＝是＝的原根。
网络信息安全课后习题答案
网络信息安全课后习题答案网络信息安全课后习题答案一、密码学基础1.什么是密码学？密码学是研究信息的保密（加密）和完整性（签名、数字证书等）的技术和方法的学科。
2.请解释对称密钥加密和公钥加密的原理及其区别。
对称密钥加密是指加密和解密使用同一个密钥的加密方法，速度快、效率高，但密钥传输和管理比较麻烦。
公钥加密是指加密和解密使用不同的密钥的加密方法，安全性较高，但速度较慢。
3.什么是哈希函数？它的特点和应用有哪些？哈希函数是将任意长度的输入数据映射为固定长度输出的函数。
其特点是：●输入数据的任意微小改动都会导致输出结果的显著改变。
●输出结果的长度固定，通常较短。
●不可逆性，不可从输出结果反推输入数据。
哈希函数常用于数据完整性验证、数字签名等场景。
二、网络安全技术1.什么是防火墙？防火墙有哪些常见的工作模式？防火墙是一种用于保护网络安全的安全设备，通过控制网络流量的进出，实施访问控制、攻击防范等功能。
常见的工作模式包括包过滤、状态检测、代理服务和网络地质转换等。
2.描述一下常见的网络攻击类型，包括但不限于网络钓鱼、拒绝服务攻击、中间人攻击等。
●网络钓鱼：通过伪造合法的网站、电子邮件等手段，诱骗用户输入敏感信息。
●拒绝服务攻击：通过发送大量的请求，占用目标系统的资源，使其无法提供正常的服务。
●中间人攻击：攻击者劫持网络通信流量，窃取或篡改通信内容。
3.请解释什么是入侵检测系统（IDS）和入侵防御系统（IPS），它们有何区别和作用？入侵检测系统（IDS）是用于监测网络中的异常行为和攻击行为的设备或软件，能够及时发现潜在的威胁并发出警报。
入侵防御系统（IPS）则是在入侵检测的基础上，具备主动防御功能，能够自动对异常和攻击进行相应的防御和响应措施。
三、网络安全管理1.请并解释一下网络安全管理中常见的几个环节，包括但不限于安全策略制定、安全培训、漏洞修复等。
●安全策略制定：制定明确的网络安全策略和政策，明确安全目标和实施措施。
信息安全课后习题(答案版)
1-1 计算机网络是地理上分散的多台（c）遵循约定的通信协议，通过软硬件互联的系统。
A. 计算机B. 主从计算机C. 自主计算机D. 数字设备1-2 网络安全是在分布网络环境中对（d）提供安全保护。
A. 信息载体B. 信息的处理、传输C. 信息的存储、访问D. 上面3项都是1-3 网络安全的基本属性是（d）。
A. 机密性B. 可用性C. 完整性D. 上面3项都是1-4 密码学的目的是（c）。
A. 研究数据加密B. 研究数据解密C. 研究数据保密D. 研究信息安全1-5 假设使用一种加密算法，它的加密方法很简单：将每一个字母加5，即a加密成f, b加密成g。
这种算法的密钥就是5，那么它属于（a）。
A. 对称密码技术B. 分组密码技术C. 公钥密码技术D. 单向函数密码技术1-6 访问控制是指确定（a）以及实施访问权限的过程。
A. 用户权限B. 可给予那些主体访问权利C. 可被用户访问的资源D. 系统是否遭受入侵1-7 一般而言，Internet防火墙建立在一个网络的（c）。
A. 内部子网之间传送信息的中枢B. 每个子网的内部C. 内部网络与外部网络的交叉点D. 部分内部网络与外部网络的接合处1-8 可信计算机系统评估准则（Trusted Computer System Evaluation Criteria, TCSEC）共分为（a）大类（）级。
A. 4 7B. 3 7C. 4 5D. 4 61-9 桔皮书定义了4个安全层次，从D层（最低保护层）到A层（验证性保护层），其中D 级的安全保护是最低的，属于D级的系统是不安全的，以下操作系统中属于D级安全的是（a）。
A. 运行非UNIX的Macintosh机B. 运行Linux的PC机C. UNIX系统D. XENIX1-10 计算机病毒是计算机系统中一类隐藏在（c）上蓄意破坏的捣乱程序。
A. 内存B. 软盘C. 存储介质D. 网络二：2-1 对攻击可能性的分析在很大程度上带有（b）。
信息安全数学基础习题集一
信息平安数学根底----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，那么模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，那么模m的所有平方剩余= .5、设m=22，那么模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，那么φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，那么一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，那么存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 那么a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 那么使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题〔在题目后面的括号中，对的画“√〞，错的画“×〞〕1、假设k是任意正整数, 那么(ak,bk)=(a,b). 〔〕2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，那么a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同〔〕3、设m是正整数, 假设m│ab, 那么m│a或m│b. 〔〕4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 那么ad≡b d (mod md). 〔〕5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. 〔〕6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. 〔〕7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.〔〕8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.〔〕9、设p是素数, g是模p的原根, 假设g x≡1(mod p), 那么x是p−1的整数倍.〔〕10、设m>1,(a,m)=1, 那么1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系. 〔〕11. b≠0, 那么(0,b)＝|b|. 〔〕12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 那么ab│m. 〔〕13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，假设ad≡bd(modm)。
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础习题集一信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，则模m的所有平方剩余= .5、设m=22，则模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”）1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （）2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（）3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （）4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad≡b d (mod md). （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （ ）7、设p =17为奇素数, 模p 的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.（ ） 8、一次同余方程9x ≡1(mod 24)有解. （ ）9、设p 是素数, g 是模p 的原根, 若g x ≡1(mod p), 则x 是p −1的整数倍.（）10、设m >1,(a,m)=1, 则1=a 0,a,a 2, …, a ord m (a )−1构成模m 的简化剩余系. （ ）11. b ≠0, 则(0,b)＝|b|. （ ）12. 设a,b 是两个互素正整数, 那么a│m,b│m , 则 ab│m . （ ）13. 设m 是一个正整数, a,b,d 都不为0，若ad ≡bd(modm)。
信息安全数学基础第二章-信安第二章第3节
635 513 1 (mod 737)
13
定理5 设(m1 , m2 ) 1, m1 0, m2 0, 若x1 , x2 分别遍历m1 , m2的简化剩余系,则m2 x1 m1 x2遍历 模m1m2的简化剩余系.
1 1 1 (mod 7), 2 4 1 (mod 7), 3 5 1 (mod 7), 4 2 1 (mod 7), 5 3 1 (mod 7), 6 6 1 (mod 7)
例8 设m 737, a 635,由广义欧几里得除法, 可得整数s 224, t 193,使
((mm22
x1 x1
m1 m1
x2 x2
, m1 , m2
) )
1 1
((mm12
x1 x2
, ,
m1 m2
) )
1 1
因(m1 , m2 ) 1
( (
x1 x2
, ,
m1 m2
) )
1 1
16
四、欧拉函数的性质及计算方法 定理6 (欧拉函数的性质) 若(m, n) 1, 则
(mn) (m) (n).
的简化剩余系.所以( p) p 1.
4
几类特殊的简化剩余系 :
例5 设m是一个正整数,则
(1) m个整数0,1, 2,L , m 1中与m互素的整数全 体组成模m的一个简化剩余系,叫做模m的最小非负 简化剩余系.
(2) m个整数1, 2,L , m 1, m中与m互素的整数全 体组成模m的一个简化剩余系,叫做模m的最小正简 化剩余系.
证 由定理5知,当x, y分别遍历模m, n的简化剩 余系时,nx my遍历模mn的简化剩余系,即nx my 遍历(mn)个整数.
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信息安全数学基础第二版课后练习题含答案介绍
信息安全数学基础是一门重要的课程，它是信息安全领域的基础。
在这门课程中，我们将了解许多与信息安全相关的数学知识，例如模运算、质数、离散对数等。
这篇文章将涵盖信息安全数学基础第二版中的一些课后练习题，同时也包含答案。
练习题
1. 模运算
1.1 在模 10 算法下，求以下计算结果：
1.(8 + 4) mod 10 =
2.(4 - 8) mod 10 =
3.(6 * 3) mod 10 =
4.(7 * 8) mod 10 =
5.(4 * 6 * 2) mod 10 =
答案：
1.2
2.6
3.8
4.6
5.2
2.1 以下哪些数为质数？
1.15
2.43
3.68
4.91
5.113
答案：2、5
3. 离散对数
3.1 在模 13 算法下，计算以下离散对数：
1.3 ^ x ≡ 5 (mod 13)
2.5 ^ x ≡ 4 (mod 13)
3.2 ^ x ≡ 12 (mod 13)
答案：
1.x = 9
2.x = 9
3.x = 4
4. RSA算法
4.1 对于RSA算法，如果p = 71，q = 59，e = 7，n = pq，求以下结果：
1.φ(n) =
2.d =
3.明文为123，加密后的密文为？
1.φ(n) = (p-1)(q-1) = 4000
2.d = 2287
3.加密后的密文为：5066
5. 椭圆曲线密码
5.1 在GF(7)上，使用下列椭圆曲线：
E: y^2 = x^3 + 2x + 2 \\pmod{7}
计算点加：
1.(1,2) + (5,4) =
2.(3,6) + (3,6) =
答案：
1.(1,5)
2.(0,3)
结论
本文介绍了信息安全数学基础第二版中的课后练习题，并包含了所有答案。
希望这篇文章对您有所帮助。