七年级数学下册垂线练习题

七年级数学下册垂线练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，⊥1＝60°，则⊥2的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．50°2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（）A．减小40︒B．减小10︒C．减小20︒D．不变3．下列语句中，正确的有（）⊥一条直线的垂线只有一条；⊥在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；⊥两直线相交，则交点叫垂足；⊥互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个4．过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是（）A．B．C．D．5．下列四种基本尺规作图分别表示：⊥作一个角等于已知角；⊥作一个角的平分线；⊥过直线外一点作已知直线的垂线；⊥作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）．A ．⊥B ．⊥C ．⊥D ．⊥6．已知40AOB ∠=︒，70BOC ∠=︒，30AOC ∠=︒，那么（ ）．A ．射线OB 在AOC ∠内B ．射线OB 在AOC ∠外 C ．射线OB 与射线OA 重合D ．射线OB 与射线OC 重合7．下列说法中，正确的是（ ）A ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B ．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交C ．直线AB 外一点P 与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm ，则点P 到直线AB 的距离是7cmD ．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线8．能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系中把点(1,2)A -向右平移5个单位长度得点B ，若点C 到直线AB 的距离为2，且ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个10．在Rt ABC 中，90C =∠，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，若3CD cm =，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm11．如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，点F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，在Rt ABC ∆中，090,5,12BAC AB AC ∠===，点D 是BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．132B ．13C ．6013D ．3013二、填空题13．点O 在直线AB 上，过点O 作射线OC 、OD ，使得OC ⊥OD ，若⊥AOC ＝20°，则⊥BOD 的度数是______． 14．由O 点引出的7条射线如图，若OA OE ⊥，OC OG ⊥，BOC FOG ∠>∠，则图中以O 为顶角的锐角共有________个．15．如图：已知直线AB 、CD 交于点O ，EO ⊥CD ，⊥DOB ＝35°，则⊥EOA ＝__°．16．如图，已知CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，则ACD ∠的余角是__．17．如图，AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是___；AOC ∠的对顶角是___；若40AOC ∠=︒，则BOD ∠=___，AOD ∠=___，BOC ∠=___．18．如图所示，直线a ，b 被c 所截，⊥1＝30°，⊥2:⊥3＝1:5，则直线a 与b 的位置关系是________．三、解答题19．作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB 、BC ．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A 作BC 的平行线；（2）过点C 作AB 的平行线，与（1）中的平行线交于点D ；（3）过点B 作AB 的垂线．20．如图，已知1BDC ∠=∠，23180∠+∠=︒．(1)请你判断DA 与CE 的位置关系，并说明理由；(2)若DA 平分BDC ∠，CE AE ⊥于点E ，170∠=︒，求FAB ∠的度数．21．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：2BAC B E ∠=∠+∠．(2)若CA BE ⊥，30ECD ACB ∠-∠=︒时，求E ∠的度数．22．【定义】如图1，OM 平分⊥AOB ，则称射线OB ，OA 关于OM 对称．(1)【理解题意】如图1，射线OB ，OA 关于OM 对称且⊥AOB ＝45°，则⊥AOM ＝ 度；(2)【应用实际】如图2，若⊥AOB ＝45°，OP 在⊥AOB 内部，OP ，OP 1关于OB 对称，OP ，OP 2关于OA 对称，求⊥P 1OP 2的度数；(3)如图3，若⊥AOB ＝45°，OP 在⊥AOB 外部，且0°＜⊥AOP ＜45°，OP ，OP 1关于OB 对称，OP ，OP 2关于OA 对称，求⊥P 1OP 2的度数；(4)【拓展提升】如图4，若⊥AOB ＝45°，OP ，OP 1关于⊥AOB 的OB 边对称，⊥AOP 1＝4⊥BOP 1，求⊥AOP （直接写出答案）．23．如图，三角形ABC 中，90C ∠=︒．（1）分别指出点A 到直线BC ，点B 到直线AC 的距离是哪些线段的长；（2）三条边AB ，AC ，BC 中哪条边最长？为什么？24．已知，如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使得点P 到点M 的距离与点P 到OA边的距离之和最小．参考答案：1．A【分析】根据三角形的内角和得190B ∠+∠=︒，求出⊥B 得度数，再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：⊥AC AB ⊥，⊥90BAC ， ⊥11809090B， ⊥ 1 60⊥906030B ∠=︒-︒=︒，⊥a b ∥，⊥230B ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 2．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒． 入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒．故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．3．C【分析】根据垂线的性质和定义进行分析即可．【详解】解：⊥一条直线的垂线只有一条，说法错误；⊥在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，说法正确；⊥两条直线相交，则交点叫垂足，说法错误；⊥互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角，说法正确．正确的共有2个；故选：C ．【点睛】此题主要考查垂线的性质和定义以及真假命题的判断．4．C【分析】根据垂线的定义判断即可．【详解】根据垂线的定义，选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．D【分析】根据尺规作图的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】⊥作一个角等于已知角的方法正确；⊥作一个角的平分线的作法正确；⊥过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确；⊥作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故答案为：D ．【点睛】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握角、角平分线、垂线、垂直平分线的作图方法，从而完成求解．6．B【分析】先根据题意可得AOB AOC BOC ∠+∠=∠，由此可判断出射线OB 在AOC ∠外，由此可得答案．【详解】解：⊥40AOB ∠=︒，70BOC ∠=︒，30AOC ∠=︒，⊥AOB AOC BOC∠+∠=∠，故画出图形如图所示：⊥射线OB在AOC∠外，故选：B．【点睛】本题考查了角的计算，根据已知条件中给出的各个角的度数，正确画出图形是解题的关键．7．C【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A和C；根据相交线的定义分析，可判断选项B，根据垂线的定义分析，可判断选项D，从而完成求解．【详解】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误；直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解．8．C【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．9．A【分析】先求出点B 的坐标及AB 的长度，然后分三种情况：A ∠是直角，B 是直角，C ∠是直角进行讨论即可．【详解】根据题意，得点B 的坐标为(4,2),5AB =，且点C 到直线AB 的距离为2，ABC 是直角三角形若A ∠是直角，则C 的坐标有(1,4)-和(1,0)-两种情况；若B 是直角，则C 的坐标有(4,4)和(4,0)两种情况；若C ∠是直角，则C 的坐标在AB 线段上方和下方各两种情况，共有四种情况．故满足条件的点C 有8个．故选：A ．【点睛】本题主要考查满足条件的点的坐标，能够分情况讨论，不重不漏是解题的关键．10．B【分析】根据角平分线上的点到角两边距离相等可得到DC=DE ，再根据点到线段的距离的定义解答．【详解】解：如图所示，作DE ⊥AB 于点E ，⊥90C =∠，BD 是ABC ∠的角平分线，⊥DE =DC ，⊥3CD cm =，⊥3DE cm =，⊥点D 到AB 的距离是3cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及点到线段的距离的定义，熟记性质概念是解题的关键． 11．A【分析】根据角平分线的性质，可知点D 到OB 和OA 的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．【详解】⊥OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，⊥D 到OB 的距离等于5，⊥5DF ≥故DF 的长度不可能为4，故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 12．C【分析】先证四边形AMDN 是矩形，连接AD ，则MN =AD ，当AD 最短时，MN 取最小值．【详解】解：如图，连接AD ，在Rt ABC ∆中，090,5,12BAC AB AC ∠===，13BC ∴=，DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，90DMN DNA ∴∠=∠=︒，∴ 四边形MDNA 是矩形，MN AD ∴=，当AD BC ⊥时，AD 最短， 1122S ABC AB AB BC AD ∆==， 512601313AB AC AD BC ⨯∴===， ⊥线段MN 的最小值为6013， 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线AD 是解本题的关键． 13．70︒或110︒【分析】根据题意可知，射线OC 、OD 可能在直线AB 的同侧，也可能在直线AB 的异侧，分两种情况进行讨论即可．【详解】如图，当OC ，OD 在直线AB 同侧时，⊥OC ⊥OD ，⊥AOC ＝20°，⊥180180209070BOD AOC COD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；如图，当OC ，OD 在直线AB 异侧时，⊥180180()180(9020)110BOD AOD COD AOC ∠=︒-∠=︒-∠-=︒-︒-︒=︒．综上可知，⊥BOD 的度数是70︒或110︒．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．14．15【分析】分别以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案．【详解】解：以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为始边，分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个，图中共有角21个，OA OE ⊥，所以以OA 为边的非锐角有3个，分别为,,AOG AOF AOE ，,OC OG ,BOC FOG⊥⊥COF +⊥BOC ＞90°，⊥⊥FOB ＞90°．所以以OB 为边的非锐角有2个，分别为,BOG BOF ，以OC 为边的非锐角有1个，为COG ∠．于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个．故答案为15．【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角．15．55°【分析】根据对顶角相等求出⊥BOD ＝⊥AOC ＝35°，根据垂直定义求出⊥EOC ＝90°，代入⊥AOE ＝⊥EOC ﹣⊥AOC 求出即可．【详解】解：⊥⊥DOB ＝35°，⊥⊥BOD ＝⊥AOC ＝35°，⊥EO ⊥CD ，⊥⊥EOC ＝90°，⊥⊥AOE ＝⊥EOC ﹣⊥AOC ＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．【点睛】此题考查角的和差倍分，掌握余角的性质是解题的关键．16．DCF ∠，ECB ∠【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和ACD ∠相加得90°的角即可．【详解】解：CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒，90ACD DCF ∴∠+∠=︒，18090ACD BCE DCE ∠+∠=︒-∠=︒ACD ∴∠的余角是：DCF ∠，ECB ∠．答案：DCF ∠，ECB ∠．【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断． 17． AOD ∠和BOC ∠ BOD ∠ 40° 140° 140°【分析】根据邻补角定义可得AOD ∠和BOC ∠，根据对顶角定义可得BOD ∠，利用对顶角性质可求40BOD AOC ∠=∠=︒，利用邻补角性质可求140AOD ∠=︒，利用对顶角性质可求140BOC AOD ∠=∠=︒即可．【详解】解：AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是AOD ∠和BOC ∠；AOC ∠的对顶角是BOD ∠，40∠=︒AOC ，40BOD AOC ∴∠=∠=︒，180********AOD AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，140BOC AOD ∴∠=∠=︒．故答案为：AOD ∠和BOC ∠；BOD ∠；40︒；140︒；140︒．【点睛】本题考查邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质，掌握邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质是解题关键．18．平行【分析】根据⊥2:⊥3＝1:5，求出2∠的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．【详解】解：⊥⊥2:⊥3＝1:5，23180∠+∠=︒⊥⊥2＝30°，⊥⊥1＝⊥2，⊥a ⊥b ，故答案为：平行．【点睛】本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出⊥2＝30°是解本题的关键． 19．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）点A 所在的横线就是满足条件的直线；（2）在A 所在的横线上，在A 点的右边取AD=BC ，连结CD 即可．（3）在AE 上的点D 右边1个格点处取点F ，过B ，F 的直线即为所求．【详解】（1）点A 所在的横线就是满足条件的直线，即AE 就是所求；（2）在A 所在的横线中A 点的右边取AD=BC ，连结CD ，则直线CD 即为所求；（3）在AE 上的点D 右边1个格点处取点F ，过B ，F 作直线，即为所求．【点睛】本题主要考查了尺规作图，作图的依据是等腰直角三角形的判定，以及平行四边形的判定． 20．(1)AD CE ∥，证明见解析(2)55°【分析】（1）利用平行线的判定和性质得出3180ADC ∠+∠=︒，然后再由同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到35ADC ∠=︒，再证明90FAD AEC ∠=∠=︒，即可得到FAB ∠．（1）解：//AD EC ，理由：⊥1BDC ∠=∠，⊥AB CD ∥．⊥2ADC ∠=∠．⊥23180∠+∠=︒，⊥3180ADC ∠+∠=︒．⊥//AD EC ；（2）⊥1BDC ∠=∠，170∠=︒，⊥70∠=︒BDC ．⊥DA 平分BDC ∠， ⊥1352ADC BDC ∠=∠=︒． ⊥235ADC ∠=∠=︒．⊥CE AE ⊥，⊥90AEC ∠=︒．⊥AD CE ∥，⊥90FAD AEC ∠=∠=︒．⊥2903555FAB FAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．21．(1)见解析(2)20︒【分析】（1）利用外角的性质，BAC E ACE ∠=∠+∠，ECD E B ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠，通过等量代换即可求证；（2）先利用30ECD ACB ∠-∠=︒，180ACD ACB ∠+∠=︒，求出40ACB ∠=︒，进而求出B ，再代入（1）中结论即可求解．（1）证明：⊥BAC ∠是ACE ∆的外角，⊥BAC E ACE ∠=∠+∠，⊥ECD ∠是BCE ∆的外角，⊥ECD E B ∠=∠+∠，⊥CE 是ACD ∠的平分线，⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠，⊥2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠； （2）解：⊥30ECD ACB ∠-∠=︒，⊥30ECD ACB ∠=∠+︒，⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒，⊥180ACD ACB ∠+∠=︒，⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒，解得40ACB ∠=︒．⊥CA BE ⊥，⊥90BAC ∠=︒，⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，由（1）知2BAC B E ∠=∠+∠，⊥90502E ︒=︒+∠，解得20E ∠=︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．22．(1)22.5°；(2)90︒；(3)90︒；(4)⊥AOP =30°或54°；【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；（2）根据OP 和1OP 关于OB 对称，得到12POP BOP ∠=∠，根据OP 和2OP 关于OA 对称，得到22POP AOP ∠=∠，根据角的和差即可得到结论；（3）根据OP 和1OP 关于OB 对称，得到 12POP BOP ∠=∠，根据OP 和2OP 关 OA 对称，求得22POP AOP ∠=∠，根据角的和差即可得到结论；（4）⊥OP 在⊥AOB 内部，如图4，⊥当OP 在⊥AOB 外部，根据轴对称的性质即可得到结论． （1）解：⊥射线OB ，OA 关于OM 对称且⊥AOB =45°，⊥⊥AOМ=12⊥АОВ=12×45°=22.5°， 故答案为：22.5°；（2）解：⊥OP 和1OP 关于OB 对称，⊥12POP BOP ∠∠=，又⊥OP 和2OP 关于OA 对称，⊥22POP AOP ∠=∠，⊥1212POP POP POP ∠=∠+∠，⊥1222290POP BOP AOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；（3）解：OP 和1OP 关于OB 对称，⊥12POP BOP ∠=∠，又OP 和2OP 关于 OA 对称，⊥22POP AOP ∠=∠，⊥1212POP POP POP ∠=∠-∠，⊥1222290POP BOP AOP AOB ∠=∠-∠=∠=︒；（4）解：⊥OP 在⊥AOB 内部，如图4，⊥OP ，1OP 关于OB 对称，⊥1BOP BOP ∠=∠，⊥114AOP BOP ∠=∠，⊥1345AOB BOP ∠=∠=︒，⊥115BOP BOP ∠=∠=︒，⊥30AOP ∠=︒，⊥当OP 在⊥AOB 外部，114AOP BOP ∠=∠，⊥射线 OP 在射线 OB 的上面，如图5，⊥ OP ，1OP 关于⊥AOB 的OB 边对称，⊥1BOP BOP ∠=∠，⊥114AOP BOP ∠=∠，⊥111545AOB BOP AOP BOP ∠=∠+∠=∠=︒，⊥19BOP ∠=︒，⊥19BOP BOP ∠=∠=︒，⊥45954AOP ∠=︒+︒=︒，综上所述，⊥AOP =30或54°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．23．(1)点A 到直线BC 的距离为线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离为线段BC 的长；(2)根据“垂线段最短”，可知线段AB 最长．【分析】(1)根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；(2)根据垂线段最短即可求解．【详解】解：(1)⊥90C ∠=︒，⊥AC BC ⊥，⊥点A 到直线BC 的距离为线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离为线段BC 的长；(2)由点到直线的距离，垂线段的长度最短可知：AB AC >，AB BC >，⊥三条边AB ，AC ，BC 中最长的边为AB ．【点睛】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．24．见解析【分析】先作出M 关系OB 的对称点C ，然后根据垂线段最短作出CH 垂直OA ，则CH 与OB 的交点即为所求．【详解】解：如图所示，以M为圆心，以一定的长为半径画弧与OB交于E，F，再以E，F为圆心，以MF的长为半径画弧，两者交于C，同理以C为圆心，以一定的长为半径画弧与直线AO交于D、G，再分别以D、G为圆心，以CD 的长为半径画弧，两者交于点H，连接CH与OB交于P，即为所求．【点睛】本题主要考查了作点关于直线的对称点，点到直线的距离，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。