离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

一、填空
2．A ，B,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 （B ⊕C ）—A
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 . 6．设A=｛1，2,3,4｝,A 上关系图如下，则 R^2= {（1,1），(1，3),（2,2）,(2,4）} 。

//备注:
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0000100001010010
R
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=0000000010100101
2
R
7．设A=｛a,b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {（a ，b)，(a ，c ）, (a ，d), （b,d ）， (c,d ）} U ｛(a ，a),（b,b)(c,c ）(d ，d ）} .
//备注:偏序满足自反性,反对称性，传递性
8．图的补图为 。

//补图：给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图。

自补图：一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A=｛a ，b ，c ，d ｝ ，A 上二元运算如下：
* a b c d a b c d
a b c d b c d a c d a b d a b c
那么代数系统〈A,＊〉的幺元是 a ，有逆元的元素为 a ，b,c,d ，它们的逆元分别为 a ，b ，c,d 。

//备注：二元运算为x*y=max{x,y ｝,x ，y ∈A 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大
下界的偏序)
二、选择题
1、下列是真命题的有（ C 、D ）
A ． }}{{}{a a ⊆；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ．
}},{{ΦΦ∈Φ; D ．}}{{}{Φ∈Φ.
2、下列集合中相等的有( B 、C ）
A C
A ．{4,3}Φ⋃;
B ．{Φ，3，4}；
C ．｛4，Φ，3，3｝；
D ． {3，4｝。

3、设A={1，2，3},则A 上的二元关系有( C ）个。

A ． 23 ; B ． 32 ； C ．
332⨯; D ． 2
23⨯。

//备注：A 的二元关系个数为：
2
n 2
个。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是( A ) A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R,S 是反自反的， 则S R 是反自反的； X C ．若R,S 是对称的， 则S R 是对称的； X D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的. X //备注：设R=｛<3，3>，〈6，2〉},S={<2,3〉}, 则R S
=｛
〈6，3>｝ , S R ={〈2，3〉}
5、设A={1,2，3，4｝，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下
|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=，则P （A ）/ R=( D ）
A ．A ；
B ．P(A) ;
C ．｛｛｛1｝｝,｛｛1,2｝｝，{｛1，2，3}}，{｛1，2，3，4｝｝}；
D ．｛｛Φ}，{2},{2,3｝,{｛2，3，4}}，｛A ｝｝
6、设A={Φ，｛1｝，{1，3｝，｛1，2，3｝｝则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C )
//例题:画出下列各关系的哈斯图
1）P=｛1，2，3,4｝，<P,≤>的哈斯图。

2)A={2，3,6，12，24,36｝,〈A,整除>的哈斯图。

3）A=｛1,2,3，5，6,10，15，30}，<A ，整除>的哈斯图
7、下列函数是双射的为( A ) //双射既是单射又是满射
A ．f : I →E ， f （x) = 2x ；
B ．f ： N →N ⨯N, f (n) = <n ， n+1> ；
C ．f : R →I , f (x) = ［x ］ ；//x 的象
D ．f ：I →N ， f （x) = | x | 。

(注：I —整数集，
E —偶数集， N —自然数集,R-实数集） 8、图 中 从v1到v3长度为3 的通路有( D ）条。

//备注:分别是v1-〉v1-〉v1—>v3，v1-〉v4->v1—〉v3，v1—>v3—〉v1—>v3
A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3。

9、下图中既不是Eular (欧拉)图,也不是Hamilton （哈密顿）图的图是（ B ）
10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ A )个4度结点。

A ．1；
B ．2;
C ．3；
D ．4 .
//备注：树的顶点数=边数+1 7+3×3+4n=2（7+3+n —1） 解得n=1 三、证明题
1、R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当< a ， b>和<a , c 〉在R 中有〈b ， c 〉在R 中。

证:
“⇒"
X c b a ∈∀,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知R a ,c <,>a ,b <∈>,由R 传递性得 R >c ,b <∈ “⇐” 若
R >b ,a <∈,R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,，因R >a ,a <∈若
R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴ 所以R 是对称的
若
R >b ,a <∈,R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴ 即R 是传递的
2、f 和g 都是群〈G1 ,★〉到〈 G2， *〉的同态映射。

证明〈C ， ★>是〈G1, ★〉的一个子群.其中C=)}()(|{1x g x f G x x =∈且
证：
C b a ∈∀,，有 )()(),()(b g b f a g a f ==，又
)()(,
)()(111
1b g b g b f
b f ----==)()()()(1111----===∴b g b g b f b f
a f (∴★a g
b g a g b f a f b ()(*)()(*)()111===---★)1-b
a ∴★C
b ∈-1 ∴〈 C ， ★〉 是 < G1 ， ★〉的子群.
3、G=〈V ， E 〉 (|V ｜ = v ，｜E|=e ) 是每一个面至少由k （k ≥3）条边围成的连通平面图，则 2)
2(--≤
k v k e ， 由此
证明彼得森图(Peterson ）图是非平面图。

（11分） 证：
①设G 有r 个面，则
rk
F d e r
i i ≥=∑=1
)(2，即
k e
r 2≤。

而
2=+-r e v 故
k e
e v r e v 22+
-≤+-=即得
2)
2(--≤
k v k e .(8分）
②彼得森图为
10,15,5===v e k ，这样2)
2(--≤
k v k e 不成立,
所以彼得森图非平面图为：
四、逻辑推演
1、用CP 规则证明下题
)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀
①)(x xP ∀
P （附加前提)
②
)(c P
US①
③))()((x Q x P x →∀ P ④)()(c Q c P →
US③
⑤
)(c Q T②④I ⑥
)(x xQ ∀ UG⑤ ⑦
)()(x xQ x xP ∀→∀ CP
五、计算题
1、设集合A=｛a,b,c,d}上的关系R=｛〈a , b > ,< b , a 〉 ,< b, c > , 〈 c ， d 〉}用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R ）。

解:
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛=0000100001010010
R M ， ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ， ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==00000000010
1101023R R R M M M
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛==000000001010
0101
3
4R R R M M M , ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+++=00001000111
11111432)(R R R R R t M M M M M
t (R)=｛〈a ， a 〉 , <a , b> , < a ， c> , 〈a ， d 〉 ， 〈b , a 〉 ， 〈 b ，b > , < b ， c 。

〉 ， 〈 b , d 〉 ， 〈 c ， d > ｝。