二维热传导方程的解法

二维热传导方程的解法
热传导是指物体内部的热量由高温处向低温处自然传递的现象。

而热传导方程就是描述热传导现象的数学方程。

在物理学中，二
维热传导方程是一个很重要的方程，它可以用来描述各种具有二
维几何形状的物体内部的热传导性质。

本文将介绍二维热传导方
程的解法。

一、二维热传导方程的建立
二维热传导方程的建立需要满足两个条件：
1. 假设物体是均匀的，即密度、比热和热导率在整个物体内是
不变的；
2. 假设物体的热量是由热传导引起的。

根据热传导定律，可以得到二维热传导方程：
$${\partial u\over\partial t} =\ alpha({\partial^2u\over\partial x^2}
+ {\partial^2u\over\partial y^2}) $$
其中，$\alpha$为热扩散系数，$u$为物体内的温度场，$x,y$分别为物体内的两个空间坐标，$t$为时间。

二、格点法
格点法是一种数学工具，它可以通过将物体划分成许多个小区域来离散化二维热传导方程，从而得到数值解。

通过将物体划分成的小区域称为格点，每个格点的温度可以根据它周围格点的温度值进行计算。

使用格点法求解二维热传导方程的基本步骤如下：
1. 将物体划分成 $N\times N$ 个格点，每个格点的大小为
$\Delta x\times\Delta y$；
2. 将时间划分成若干个离散时间步长 $\Delta t$，并设定初值条件 $u(x,y,0)=f(x,y)$；
3. 根据离散化的二维热传导方程对每个格点的温度进行更新，即
$${u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n\over\Delta t} ={\alpha\over\Delta
x^2}(u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n) +{\alpha\over\Delta
y^2}(u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$
4. 循环迭代，重复步骤 3 直到达到约定的终止条件。

三、有限元法
有限元法是一种数值计算方法，它可以用于解决各种偏微分方程的数值解。

针对二维热传导方程，有限元法也是一种有效的解法。

与格点法不同的是，有限元法将物体划分成若干个小三角形或四边形的元素，而不是平行四边形。

使用有限元法求解二维热传导方程的基本步骤如下：
1. 将物体划分成 $N$ 个小三角形或四边形的有限元网格；
2. 将时间划分成若干个离散时间步长 $\Delta t$，并设定初值条件 $u(x,y,0)=f(x,y)$；
3. 根据元素的形状和尺寸，通过有限元法对每个元素的局部温度场进行逼近，即
$$ u(x,y)\approx\sum_i u_i\phi_i(x,y) $$
其中，$u_i$为节点 $i$ 上的温度值，$\phi_i$为形状函数；
4. 根据离散化的二维热传导方程对每个节点的温度进行更新，即
$$ {u_i^{n+1}-u_i^n\over\Delta t} =\sum_j K_{ij}^{n}\ u_j^n $$其中，
$$ K_{ij}^{n} ={\alpha\over A}\int_A
(\nabla\phi_i\cdot\nabla\phi_j)dA $$
是系统刚度矩阵，$A$是元素的面积。

5. 循环迭代，重复步骤 3 和 4 直到达到约定的终止条件。

四、总结
格点法和有限元法是两种经典的二维热传导方程的解法。

虽然它们在实际应用中有一些差异，但它们都可以得到足够精确的数值解，并且具有很强的普适性。

在实际工程计算中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。