部分习题解黎永锦《泛函分析讲义》的Word文档

部分习题解答

意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,

好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考

并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中

L. Bers （贝尔斯）

（1914-1993,美国数学家）

习题一

1.2 设∑=∞≤∈=n i i

i i x R x x l 1

1}||,

|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞

=-=1

||),(i i

i

y x y x d ,

||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ?,1l x o ∈,

使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.

1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1

l 上的两个度量.

（2）取111(,,,,0,)n x n n n

=L L 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()

0n i

x =,则1n x l ∈且()

1(,0)sup |0|0n n i

n

x x

ρ=-=→,但()11

1

(,0)|0|1n

n n i

n i i d x x

∞

===-==∑∑.因此

(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.

135 / 25

1.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得

=),(z x d ),(2

1

),(y x d z y d =

. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,

.

x y x y ?=?

≠?当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,

但不存在2

z R ?,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.

1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ?.故(,)x U y r x G +?+,因而G x r y x U +?+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x F

F G x G ∈+=

+U 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集.

1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()

0n i x =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且

lim n n x x →= ,这里11

2(1,,,,)n x =L L ,但x M ?,因此M 不是闭集,所以

M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ?,试证明C C F F )(0=.

1.10证明：对于任意0

x F ∈,有0

(,)U x r F ?,故φ=C F r x U I ),(,因而C C F x )(∈,从而

C C F F )(0?.对于任意C C F x )(∈,有()C x F ?,因而存在φ=C F r x U I ),(,故(,)U x r F ?,从而0

x F ∈,故0)(F F C C ?.所以,0()C C F F ?.

1.12 设),(d X 为度量空间,X F ?,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到

),0[+∞的连续算子.

1.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}

(,)inf{(,)|}(,)(,)

d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+

故

(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤

类似地,有

(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤

因此

|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤

所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F I =.

1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对

任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1

{|(,)}n n G x d x F =<,有

1

{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====

n n F G ∞

==I .

1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.

1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有

()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有

()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.

因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()

lim n i i n x x →∞

=,令()i x x =,则由可知

(1)||N i i x x ε+-≤

137 / 25

故

(1)||||N i i x x ε+≤+

由于(1)

1()N N i

x x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞. 又由()

()||n p n i

i x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.

故

()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<

所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.

1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.

1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.

取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.

1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意

R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.

1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意

R ∈ε,})(|

{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.

如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意

R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<

对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βαY =,因而)(1

G f -是

开集,所以f 是连续的.

1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有

||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.

1.24证明：(1) 设R 为实数全体,12

:,tan T R R Tx x x π-→=

+- 则对任意

,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知

2

2

|()()|||||1f x f y x y x y ξξ

-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1

tan

2

x π

-=

,因而矛盾.

(2) 设),,1[+∞=X 1

1:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由

'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知

2

1

|()()|[1]||||(1)

f x f y x y x y ξ-=-

-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则1

10x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.

1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足

+∞<≤≤

试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ?=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为

),(1

???x f M

T -

= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.

1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.

1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,Ax x Ax x ==,则

121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<

139 / 25

但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.

1.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.

证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.

1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.

1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-

),(3

2

|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.

习题二

2.2 设X 为赋范线性空间,||||?为X 上的范数,定义

???≠+-==.

y x 1||||；

y x ,0),(时当时当，y x y x d

试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||?,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.

假设存在X 上的范数1||||?,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有

11||||||||||x x λλ=?.

如果取001

,,||||12

x X x λ=

∈=,则 001000013||||||||1||||||1122

x x x λλλ=+=?+=

+= , 但是1)11(2

1

)1||(||||||||||00100=+=

+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=?不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||?,使得1(,)||||d x y x y =-.

2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.

2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在

(0,){|||||}U x x M εε=

U x

∈,从而

M x

∈2ε

,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明

x x n n λλ→.

2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故

||||||||||||||||||||||||||||||||0

n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-?+?-≤-+?-→

所以,n n x x λλ→.

2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.

2.10证明：明显地M 是线性子空间,取11

2(1,,,,0,0)n n x =L L ,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =?L L ,所以M 不是闭的子空间.

2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证

141 / 25

明f 是线性的.

2.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且

)()(

)(m x mf m x m x m x f x f =+???++=,故)(1

)(x f m

m x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和

)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞

→∞

→,所以f 是线性的.

2.14设X 是有限维Banach 空间,n

i i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*

∈X f i ,使得

1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.

2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ?,由

Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0

g x =对任意i x M ∈成立,令(,)

i

i i g i d x M f =

,则*

i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j

≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*

∈X f ,使得

)

,(1

||||,1)(00M x d f x f =

=,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.

2.16证明： 由M 是闭线性子空间,

M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在

*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令

0(,)g d x M f =,则00||||1

0(,)(,)

()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||

||||||||||y x y x +=+

时,有0>λ 使得x y λ=.

2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成立,则00

0||||||||

x

y x y ≠,故有00000

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y y

x y x x y y ++?+?<

因而

00

00||||||||

||||1x y

x y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20

证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222

x y ==L L ,则

||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y ==L L ,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,

所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.

2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义

1

||||||()||||i i i x x x ∞

===∑,则(,||||)X ?是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x =L L ,则

121

1

||||n

n

i i x

∞

∞

===∑∑

,因此

1

n

i x

∞

=∑绝对收敛,但级数

1

n

i x

∞

=∑不收敛.

2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*

∈X

f ,有

)||

||()||||(

x x

f x x f n n →.

143 / 25

2.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||

||||||x x

x x n n →

,所以, ≤-|)||||()||||(

|x x f x x f n n 0||||

||||||||||||→-x x

x x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间. 2.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.

2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空

间,对2

0)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.

2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于

M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.

习题三

3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i i

i

∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .

3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||3

1

||3

1

||)3(||||||1

x x

x Tx i i

i =

≤

=∑∞

=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子. 取0(1,0,,0)x =L ,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1

||||3

T =. 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1

||||Tx T x <=.

3.4证明：由于||||||||sup ||||sup

sup 1

11

T x Tx

x Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.

对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup

||||1||||0

||||0||||Tx x x

T x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使

得1||||||||n n Tx T ≥-,故111

||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而

111

||||1

sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立 从而||||1

||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1

||||Tx T x <=

3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*

f X ∈,有+∞<|)(|sup αα

x f ,试证明

+∞<||||sup αα

x .

3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*

X 到K 的线性有界算子,且对于

任意*

f X ∈,有

sup |()|sup |()|T f f x ααα

=<+∞

因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有

sup ||||T α<+∞.

由αT 的定义可知

||)(||sup |)(||sup ||||1

||||1

||||αααx f f T T f f ====

故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.

3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是

Banach 空间.

证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于

}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得

1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在

145 / 25

),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞

→,试证明*∈X f .

3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞

=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach

空间可知

sup{||||}n f M <<∞

因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤?<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得

||||||||x M Tx ≥

对任意X x ∈成立,试证明1

-T

是线性连续算子,且M

T

1

||||1

≤

-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1

T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故

1111||||||||||||||||||||M

M

T y T Tx x Tx y --==≤

=

,

所以,1

T -连续,且1

1||||M

T

-≤

.

3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意

()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε?,因

此对00,||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而

0()f x x G λ+∈,但

00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+? ,即α为G 的内点,所

以()f G 为开集,即f 一定开映射.

3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*

=X S D )(若对任意*

∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可

知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*

=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连

续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.

3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2

,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.

证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列

X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必

有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T =2

,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是

闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞

→,从而0)(=-x y T .

因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知

),(X X L T ∈

3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T .

147 / 25

3.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意

*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤?-→,所以n T 弱收敛于

T .

习题四

4.2 试证明∞=l l *

1.

4.2证明：对于任意1x l ∈,有1

1

lim n

i i

i i n i i x x e

x e ∞

→∞

===

=∑∑,故对于任意*1f l ∈,有1

1

()lim ()lim ()n

n

i i i i n n i i f x f x e x f e →∞

→∞

====∑∑

由于

1

1

1

1

|()||||()|||||||||||||||||n n n n

i

i

i

i

i

i

i

i i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤??=?∑∑∑∑

因此由1()i x x l =∈可知

1

||n i

i x =∑收敛,从而1()n

i

i

i x f e =∑绝对收敛,且

1

1

|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞

∞

===≤=?∑∑

令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有

1

()i i i f x x α∞

==∑ 且||||||||f y =.

反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为1

1

(),()i i

i

i f x x x x l α∞

==

?=∈∑

则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *

1 4.4 试证明1*

l l ≠∞.

4.4证明： 用反证法,假设 *

1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分

矛盾,所以1*

l l ≠∞4.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.

4.6证明：若()(0)

202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则

()(0)21/21

(||)0n i i i x x ∞

=-→∑

因此,对于任意i 有

()(0)()(0)21/21

||(||)n n i

i

i i i x

x

x x ∞

=-≤-∑

从而()

(0)n i

i x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.

4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.

证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的

X e e e n ∈???,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈???,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21???是线性无关的,

则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x w

n ?→?

,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n ?→?. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意

*f X ∈,有

()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于

y 可知

|()()|||||||||0k k n n f x f y f x y -≤?-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而

149 / 25

x y =.故k n x x →,所以x x n ?→?

.4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n ?→?

,试证明Tx Tx w

n ?→? 4.10证明：对于任意*

g Y

∈,定义X 上的泛函()()f x g Tx =,则由

|()||()|||||||||||||f x g Tx g T x =≤??,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因

此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明

)()(x f x f n n →.

4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此

|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|

n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-?+-≤-+-

所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →. 4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1

-T

存在且有界,试证明*

T 的逆存在且

*11*)()(--=T T .

4.14证明：由 *

*1

1*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -

存

在,并且*11

*)()

(--=T T .

4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =?→?

,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ?,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由

Hahn Banach -定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意

,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因

而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.

习题五

5.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且

||||||||y f =.

5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤?,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||

y y x =,则 ||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =. 5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1Λ,若

=),(j i e e ???=≠.

1j

,0j i ，i

试证明n e e ,,1Λ线性无关.

5.4证明：若12,,,n e e e X ∈L ,且=),(j i e e ??

?=≠.

1j

,0j i ，i

则对于i K α∈,当

1

0n

i i

i e

α==∑时,有1

(,)0n

i i i i i e e αα===∑.因此120n ααα====L ,

所以12,,,n e e e L 线性无关.

5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥

M 含有非零元素.

5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥

∈,使得 00x x y =+,

由x M ?及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥

∈,即M ⊥

含有非零元.

151 / 25

5.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M . 5.8证明：由于M M ⊥⊥?,因此只须证M M ⊥⊥?.对于任意x M

⊥⊥

∈有y M ⊥

∈使得

0x x y =+,由M M ⊥⊥?可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所

以y y ⊥,因而0y =,从而M M ⊥⊥?.5.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得

),()(y x x f =.

5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()M

M ⊥⊥⊥

⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥?.

反过来,对任意x M ⊥⊥⊥

∈,及y M M

⊥⊥

∈?,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意

y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥?,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.

5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.

5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若

,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭

子空间,因此,,z x y x M y M ⊥

=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而

2222

2

||||||||||||||()||||||0

n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,

所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有

||||||||y x y x αα-=+.

5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有

2222

||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2

2

2

2

||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.

反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由

(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++

和

(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+

可知2(,)2(,)0x y y x αα+=

令(,)x y α= ,则2

2

|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.

5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意

K

∈α,有

||||||||x y x ≥+α.

5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222

||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.

反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2

(,)||||

x y y α=-

,由22||||||||0x y x α+-≥

及

153 / 25

|||||),(|)

,(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),()

,(),(2

2

4222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x ααααααααα

因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.

5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明

|||||||||),)(,(|1

y x e y e x i i

i

?≤∑∞

=

对任意X y x ∈,成立.

5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有

2

2

221

1

|(,)|

||||,|(,)|||||i

i i i x e x y e y ∞

∞

==≤≤∑∑

故

21/2

21/2

1

1

1

|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]

||||||||i

i

i

i

i i i x e y e x e x e x y ∞∞∞

===≤=?∑∑∑

5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有

i i i e e x x ∑∞

==1

),(.

5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此

2

21

|(,)|

||||i

i x e x ∞

=≤∑.

因为X 是完备的,所以由2

2||

(,)|||(,)|0n p n p i

i

i

i n

i n

x e e x e ++===→∑∑ 可知1

(,)i

i

i x e e ∞

=∑是收

敛级数,