2013山东济南中考数学-答案及解析

2013年济南市数学学考试题

一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. (2013山东济南，1，3分)－6的相反数是( )

A. 1

B. 16

C. －6

D. 6

【答案】 D

【考点解剖】本题考查如何求实数的相反数，解题的关键是正确掌握相反数的概念．

【解题思路】(1)只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；(2)互为相反数的两个数，绝对值相等.(3)互为相反数的两个数在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等.

【解答过程】解：∵6和－6在原点的两侧，且到原点的距离都是6，故选D.

【方法规律】互为相反数的两个数的和为0．

【关键词】相反数.

【易错点睛】考查相反数的选择题往往会在四个选项中设置一些倒数和负倒数的选项，因此注意审题是正确解答的关键.

2. (2013山东济南，2，3分)下图是由3个相同的小正方

A B C D

体组成的几何体，它的主视图是( )

【答案】A

【考点解剖】本题考查识别简单几何体三视图的识别，

了解主视图的概念是解题关键.

【解题思路】从正面看过去就是左边一个立方块，右边

两个立方块.

【解答过程】解：因为从正面看过去就是左边一个立方块，右边两个立方块，因此选A.

【方法规律】三视图实际就是平行光线垂直照射该物体

投到平面上的影子，“主视图、俯视图、左视图”符合“长对正、高平齐、宽相等”的规律. 【关键词】三视图

【易错点睛】看清题目中问的是主视图、左视图还是俯

视图.

3. (2013山东济南，3，3分)十八大以来，我国经济继续保持稳定增长，2013年第一季度国内生产总值约为118900亿元，将数字118900用科学记数法表示为( )

正

A. 0.1189×106

B. 1.189×105

C. 11.89×104

D. 1.189×104

【答案】B

【考点解剖】本题考查用科学记数法表示一个数字，掌握将一个数表示成科学记数法的规律是关键.

【解题思路】用科学记数法表示一个数时一般要分为两个步骤：第一步确定乘号前面的数，第二步确定10的指数.

【解答过程】解：∵118900的整数位数为6，∴118900=1.189×105，因此选B.

【方法规律】科学记数法就是把一个数表示为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数. 绝对值大于1的数表示成科学记数法时，n等于要表示的数的整数位数减1；绝对值小于1的数表示成科学记数法时，n为负整数其绝对值等于表示的数的第一个非零数字前面所有0的个数.

【关键词】科学记数法.

【易错点睛】容易搞错n的符号和数值解题时的常犯错误.

4. (2013山东济南，4，3分)如图，直线a、b被直线c 所截，a∥b，∠1=130°，则∠2的度数是( )

A. 130°

B. 60°

C. 50°

【答案】C

【考点解剖】本题考查平行线的性质和邻补角的性质.如解答图所示，知道∠3是求解∠2度数的桥梁，这是解题关键.

【解题思路】先利用邻补角的性质求出∠1的邻补角∠3的度数为50°，再根据两直线平行同位角相等求得∠2的度数.

【解答过程】解：如图，∵∠1+∠3=180°，∴∠3=50°，∵a ∥b ，∴∠2=∠3=50°.故选C.

【方法规律】1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2.如果题目出现的和平行线有关的角中，角的位置关系不属于同位角、内错角、同旁内角的范围，则一般要利用邻补角、对顶角的关系将其进行转化.

【归纳拓展】选择题中的和平行线有关的试题多数都是和角联系在一起，因此其解题时多数都要用到平行线的

1 2 a b c 3

2 a b

【关键词】平行线的性质，邻补角

【易错点睛】要分清题目中三线八角的关系.

5. (2013山东济南，5，3分)下列各式计算正确的是( )

A.224

= B. 2

()

a a

a a a

÷= D. a4·a2=a8

a a a

+= C. 222

【答案】A

【考点解剖】本题考查幂的运算法则和合并同类项法则，正确选用相应的运算法则是解题关键.

【解题思路】利用幂的运算法则和合并同类项法则逐次判断每个选项的正确与否，B、C、D选项的正确结果分别应为：2a，3，a6.

【解答过程】解：

故选A.

【方法规律】1. 对于幂的有关运算，关键掌握其运算法则：

2.合并同类项法则：只把同类项的系数相加，字母和字

母的指数不变.

【归纳拓展】在选择题中对于幂的运算考查主要有两种形式：（1）计算……的结果是；（2）下列运算正确的是……，其中第（2）类形式一般会与合并同类项、完全平方公式及平方差公式结合考查，解此类题的方法就是利用各自运算法则仔细计算即可.

【关键词】幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、

同底数幂的乘法.

【易错点睛】此类题目中，易错点为：①符号问题，会忽视式子中的符号而导致错误；②对有关运算公式不熟悉而导致错误.

6. (2013山东济南，6，3分)不等式组3152x x ->??

≤6

的解集在数

轴上表示正确的是( )

【答案】C

【考点解剖】本题考查解一元一次不等式组和利用数轴表示一元一次不等式组的解集，先正确求得不等式组的解集是解题关键.

【解题思路】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分就是不等式组的解集.

【解答过程】解：不等式①的解集为x＞2，不等式②的解集为x≤3，∴不等式组的解集为2＜x≤3，因此2用空心点，3用实心点.故选C.

【方法规律】两大取大；两小取小；大于小数、小于大数取中间；小于小数、大于大数无解.

【关键词】一元一次不等式组、数轴

【易错点睛】用数轴表示不等式组的解集，要注意实心点与空心点的区别.

7. (2013山东济南，7，3分)为了解七年级学生参与家务劳动的时间，李老师随机调查了七年级8名学生一周内参与家务劳动的时间(单位：小时)分别是：1，2，3，3，3，4，5，6.则这组数据的众数是( )

A. 2.5

B. 3

3.375 D. 5 【答案】B

【考点解剖】本题考查众数的概念，正确理解众数的概念是解题关键.

【解题思路】众数就是一组数据中个数最多的数，而这组数据之中个数最多的数据是3.

【解答过程】解：因为数据“3”的个数为3个，为最多，因此众数是3.故选B.

【方法规律】一组数据中个数最多的数是这组数据的众数，注意众数不一定只有一个. 【关键词】众数

【易错点睛】一组数据的众数、平均数、中位数是选择题中经常要考到的内容，答题之前一定要准题目要求的是什么.

8. (2013山东济南，8，3分)计算2633

x x x +++，其结果是( ) A. 2 B. 3 C. x +2 D. 2x +6 【答案】A

【考点解剖】本题考查同分母分式的加法以及分式的化简，正确掌握运算法则是解题的关键.

【解题思路】同分母分式相加，分母不变，分子相加.

【解答过程】解：2633

x x x +++=263x x ++=2(3)

3x x ++=2，故选A.

【方法规律】分式的加减运算，要先看分母是否相同，分母相同时，直接把分子相加，分母不同时，需要找到各分母的最简公分母进行通分把异分母分式化为同分母分式.

【思维模式】（1）在计算的时候，整式可以看作分母为1的分式；（2）分子、分母是多项式的时候，先将多项式因式分解，便于约分和通分．（3）计算后的结果应是最简分式．

【易错点睛】分式的运算结果要注意化为最简分式，经常有同学忘记将分式的运算结果进行约分. 【关键词】同分母分式加法、分解因式、约分.

9. (2013山东济南，9，3分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (－2,0)，C (－3,1).将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，得到△AB ′C ′，则点B ′的坐标为( )

A. (2,1)

B. (2,3)

C. (4,1)

D. (0,2)

【答案】

【考点解剖】本题考查平面直角坐标系、图形的旋转、三角形全等，借助网格确定旋转的角度是解题关键. 【解题思路】先确定AB和AC旋转后的对应线段AB′和AC′，再连接B′C′即可得到旋转后的图形.

【解答过程】解：如图所示，点B′的坐标是(2,1).故选A.

【方法规律】在网格中旋转的题目，解题时往往要借助全等三角形.

【思维模式】网格的题目中用到的长和宽相等的矩形的对角线往往是平行或者垂直的关系.

【关键词】平面直角坐标系、图形的旋转、全等三角形

10. (2013山东济南，10，3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，垂足为D，则BD的长为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

【答案】C

【考点解剖】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角、勾股定理，点D 实际是BC 中点，这是关键. 【解题思路】根据垂径定理，BD 是BC 的一半，因此只要求出BC 即可.

【解答过程】解：因为AB 是直径，因此∠C 是直角，∴BC

，

∵OD ⊥BC ，根据垂径定理，BD 等于BC 的一半，所以BD =4.故选C.

【方法规律】在圆的问题中，碰到直径往往要作直径做对的圆周角，碰到弦，经常要作垂直于弦的直径. 【思维模式】在直角三角形中，知道两条边的长求第三边，经常要用到勾股定理. 【关键词】垂径定理、勾股定理

11. (2013山东济南，11，3分)已知2

280

x x --=，则2

3618

x --的

值为( )

A. 54

B. 6

C. －10

B C

O D

D. －18 【答案】B

【考点解剖】本题考查代数式求值、解一元二次方程，合理的将2

280

x x --=进行变形是解题关键.

【解题思路】将已知条件2

280

x --=的常数项移项到等式的右侧得到2

x -=，然后代入待求值的代数式即可.

【解答过程】解：由

2280

x x --=可得

228

x x -=，所以

23618

x x --=2

3(22)18

x --=3×8－18=6.故选B.

【方法规律】此类问题如果解出已知方程的根然后代入求值的话，计算量往往比较大，因此恒等变形是解决此类问题的常用方法.

【思维模式】这一类和方程有关的代数式求值问题，往往不需要解已知给出的方程，而是采取将该方程的常数项移到等号另一侧，采取代入求值的方式进行计算. 【关键词】代数式的值、一元二次方程的解.

12. (2013山东济南，12，3分)如图，小亮将升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( ) A. 12m B. 13m C. 16m D. 17m

【答案】D

【考点解剖】本题考查勾股定理、矩形的性质、解一元一次方程，如解答图，知道AB =AE 是解题关键. 【解题思路】欲求旗杆AE 的长度，需利用绳子AB 的长度，而作BC ⊥AE 后，可将旗杆的高度转化为AC +CE 的和，CE 与BD 的长度相等，AC 的长度可在Rt △ABC 之中求得.

【解答过程】解：如图所示，作BC ⊥AE 于点C ，则BC =DE =8，设AE =x ，则AB =x ，AC =x －2，在Rt △ABC 中，2

BC AB +=,即2

(2)

8x x -+=，解得x =17.

【方法规律】求线段长的题目，除了可以利用三角形全等等知识直接求出的外，还经常需要将所求线段转化为几条线段的和或者几条线段的差..

【思维模式】牵扯到和直角三角形有关的问题往往需要

B C D E

利用勾股定理转化成解方程的问题来解决. 【关键词】勾股定理、矩形、方程与函数思想.

13. (2013山东济南，13，3分)如图，□OABC 的顶点B ，C 在第一象限，点A 的坐标为(3,0)，点D 为边AB 的中点，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过C ，D 两点，若∠COA =α，则k 的值等于( )

A. 8sin 2α

B. 8cos 2α

C. 4tan α

D. 2tan α

【答案】C

【考点解剖】本题考查反比例函数、三角函数、平行四边形的性质、三角形中位线、全等三角形等知识，解题关键是能用点C 坐标来表示点D 的坐标.

【解题思路】因为点C 、D 都在反比例函数的图象上，因此这两个点的坐标的乘积相等.可设点C 的坐标为(a ，atanα)，然后利用点C 的坐标表示先表示出点B 的坐标，然后再表示点D 的坐标即可求出k 的值.

【解答过程】解：设点C (a ，a tan α)，则点B (a +3，a tan α)

，

因此点D (3+2a ，(3)tan 2a α+)，所以2

tan (3)tan 2

a αα=+，解得a =3或a =6(舍去)，所以k =2·2tan α=4tan α.故选C.

【方法规律】先设出一个点的坐标，然后设法用点的坐标去表示题目中另外的点的坐标是解决此类问题的常用方法.

【方法指导】(1)在和直角三角形有关的一些问题中，利用三角函数来表示线段的长，比用相似比表示来的更加直观；(2)一个点的纵坐标与横坐标的比值往往会和正切联系在一起.

【关键词】反比例函数、三角函数、平行四边形的性质、三角形中位线.

14. (2013山东济南，14，3分)已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB =4，BC =6，则tan α的值等于( )

A. 23

B. 34

C. 43

D. 3

【答案】C

【考点解剖】本题考查相似三角形的性质、三角函数、

B C D

α l

l l l

平行线的距离，找出相似三角形是解题的关键. 【解题思路】过点A 、C 分别作AM ⊥l 4于点M ，CN ⊥l 4于点N ，构造相似三角形△ABM 和△BCN .在两个三角

形中，利用比例关系BM CN

AB BC =

可求得答案. 【解答过程】解：如图，做AM ⊥l 4于点M ，做CN ⊥l 4于点N ，

则AM =h ，CN =2h ，∠ABM +∠BAM =90°， ∴BM =AM ·tanα=htanα，

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∴∠ABM +∠α=90°，∴∠BAM =∠α， ∴△ABM ∽△BCN ， BM CN

AB BC

, ∴h tan α=4

6·2h ，

∴tan α=43

.故选C. 【方法规律】设法构造相似的直角三角形是解决此类问题的常用方法，如图所示是一个解题中经常见到的图形，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，MN 为经过顶点C 的一条直线，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，则此时有结论△ACM ∽△CBN 成立.

B C D

α l

l l l A

M N

【方法指导】相邻的两条平行直线间的距离均为h ，是一个重要的潜在条件

【关键词】相似三角形的性质、锐角三角函数、平行线的距离、矩形

15. (2013山东济南，15，3分)如图，二次函数2

y ax

bx c

=++的

图象经过点(1，－2)，与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，且－1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是( ) A. a ＜0 B. a －b +c ＜0 C. 12b a -> D. 2

48ac b a -<-

【答案】D

【考点解剖】本题考查二次函数的相关知识，先正确判断a 、b 、c 的符号是关键.

【解题思路】根据抛物线开口方向可判断a 的符号；自变量x=－1时对应的函数值是a －b +c ；

根据对称轴的位

C M N

置可判断－2b a

的值的范围；2

48ac b

-<-可转化为判断

44ac b a

-＜

2，而这根据抛物线的最值即可得出结论. 【解答过程】解：根据图象可知：

(1)a ＞0；(2)当x =－1对应的函数值a －b +c ＞0；(3)对称轴在0和1之间，因此0＜2b a -＜1；(4)函数的最大值小于2，因此2

44ac b a

-＜2，即2

48ac b

-<-.

故选D.

【方法规律】这种和抛物线有关的选择题，要熟悉一些特殊的函数值的意义，比如自变量取0，±1，±2等值时对应的函数值是多少.

【思维模式】对于这一类和二次函数图象有关的问题往

往需要首先判断a 、b 、c 、2b a -、2

44ac b

a -的符号.

【关键词】二次函数

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18

分．把答案填在题中的横线上．）

16. (2013山东济南，16，3分)计算：3(2x +1)－6x =___________. 【答案】3.

【考点解剖】本题考查去括号法则、合并同类项法则，掌握正确的运算顺序和运算法则是关键.

【解题思路】根据单项式乘以多项式的法则，先去掉

3(2x+1)的括号.

【解答过程】解：3(2x+1)－6x=6x+3－6x=3.故答案为3 【方法规律】这一类的简单的整式化简的题目，一般是先去括号再合并同类项.

【关键词】单项式、多项式、去括号、合并同类项

17. (2013山东济南，17，3分)分解因式：a2－4=_____________.

【答案】(a+2)(a－2)

【考点解剖】本题考查平方差公式，选对公式是关键. 【解题思路】此题是利用平方差公式分解因式.

【解答过程】解：a2－4=a2－22=(a+2)(a－2).故答案为(a+2)(a－2)

【方法规律】1.能用提公因式法分解因式的多项式，各项必须存在公因式，这个公因式可以是单项式，也可以是多项式；2.能用平方差公式分解因式的多项式应满足条件是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能用完全平方公式分解因式的多项式应符合a2±2ab+b2=(a±b)2，左边是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍．

【思维模式】因式分解时，先考虑能否用提公因式法，再考虑公式法.

【关键词】因式分解、平方差公式.