九年级数学下册 切线长定理教案
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29.4 切线长定理
1.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.
一、情境导入
新农村建设中,张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园,请你设计一个建筑方案.、
二、合作探究
探究点一:切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长
如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在AB ︵上.若PA 长为2,则△PEF 的周长是________.
解析:因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,所以PA =PB ,因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点为C ,所以EA =EC ,CF =BF ,所以△PEF 的周长PE +EF +PF =PE +EC +CF +PF =(PE +EC )+(CF +PF )=PA +PB =2+2=4.
【类型二】利用切线长定理求角的大小
如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,点C 在⊙O 上,如果∠ACB =70°,那么∠OPA 的度数是________度.
解析:如图所示,连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB ,∴∠OAP =∠OBP =90°.又∵∠AOB =2∠ACB =140°,∴∠APB =360°-∠PAO -
∠AOB -∠OBP =360°-90°-140°-90°=40°.又易证△POA ≌△POB ,∴∠OPA =12
∠APB =20°.故答案为20.
方法总结:由公共点引出的两条切线,可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根据全等的判定,可得到PO 平分∠APB . 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径.若测得PA =5cm ,则铁环的半径长是多少?说一说你是如何判断的.
解:过O 作OQ ⊥AB 于Q ,设铁环的圆心为O ,连接OP 、OA .∵AP 、AQ 为⊙O 的切线,∴AO 为∠PAQ 的平分线,即∠PAO =∠QAO .又∠BAC =60°,∠PAO +∠QAO +∠BAC =180°,∴∠PAO =∠QAO =60°.在Rt △OPA 中,PA =5,∠POA =30°,∴OP =55(cm),即铁环的半径为55cm.
探究点二:三角形的内切圆
【类型一】求三角形的内切圆的半径
如图,⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的半径为________.
解析:如图,连接OD .由等边三角形的内心即为中线,底边高,角平分线的交点.所以
∠OCD =30°,OD ⊥BC ,所以CD =12
BC ,OC =2OD .又由BC =2,则CD =1.在Rt △OCD 中,根据勾股定理得OD 2+CD 2=OC 2,所以OD 2+12=(2OD )2,所以OD =33.即⊙O 的半径为33
. 方法总结:等边三角形的内心为等边三角形中线,底边高,角平分线的交点,它到三边的距离相等.
【类型二】求三角形的周长
如图,Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ,BC 分别相切于点D 、E ,过劣弧DE ︵(不
包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ,则Rt △MBN 的周长为( )
A .r B.3
2r C .2r D.52
r
解析:连接OD ,OE ,∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆,∴OD ⊥AB ,OE ⊥BC .又∵MD ,MP 都是⊙O 的切线,且D 、P 是切点,∴MD =MP ,同理可得NP =NE ,∴C Rt △MBN =MB +BN +NM =MB +BN
+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r,故选C.
三、板书设计
教学过程中,强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,到三边的距离相等.