不定积分的概念与性质.ppt

高等数学
例 求积分 tan 2 xdx
03-01-28
高等数学
课堂练习 求下列函数的积分
（1） (sin x 1 tan 2 x x2 )dx
x
（2）
(x 3)2 x
dx
03-01-29
高等数学
例
求积分
sin 2
x dx 2
03-01-30
高等数学
例
求积分
1 2x x2
x(1 x2 )
高等数学
03-01-01
第三章 不定积分
(indefinite integral)
高等数学
03-01-02
第一节 不定积分 的概念与性质
(the concept and properties of indefinite integral)
高等数学
一、不定积分概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质
常数。
高等数学
例 求 x4dx
03-01-11
高等数学
03-01-12
例 求 f (x) 1 的不定积分。
x
高等数学
例 求 sec2 xdx
03-01-13
高等数学
03-01-14
原函数的存在性 如果 f(x) 在某一区间上连续，则
在这区间上 f(x) 的原函数一定存在。
由于初等函数在其定义区间内 连续，所以初等函数在其定义区间 内一定有原函数。
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性质1 或
性质2 或
[ f (x)dx] f (x) d ( f (x)dx) f (x)dx f (x)dx f (x) C df (x) f (x) C
03-01-22
高等数学
性质3
03-01-23
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
高等数学
03-01-08
若函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (a,b) 内满足 f (x)=g(x)，则在区间 (a,b) 内成立
f(x)=g(x)+C （C 为一常数）
高等数学
03-01-09
定理
若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数， 则 f(x) 的所有原函数都可以表示为 F(x)+C（C 为任意常数）的形式。
1 x
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03-01-06
原函数(primitive function) 设函数 f(x) 在某区间内有定义，
若存在函数 F(x)，使得在该区间内 的任何一点都有
F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 成立，则称 F(x) 为 f(x) 的一个原函 数。
高等数学
03-01-07
原函数不唯一。若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 F(x)+C（C 为任 意常数）也是 f(x) 的原函数，称为 函数族。
高等数学
03-01-18
例 以初速 v0 将质点铅直上抛，不 计阻力，求它的运动规律。
高等数学
03-01-19
例 已知示踪药物浓度 y 和时间 t 的 函数变化关系为
y(t) 3t
求示踪药物浓度 y 和时间 t 的函数关 系。
高等数学
03-01-20
1. kdx kx C (k为任意常数)
x
dx
22
03-01-36
高等数学
03-01-37
小结：原函数
不定积分
不定积分几何意义
高等数学
03-01-34
（3）对于分项积分来说，只要最后 写出一个常数就可以了。
高等数学
03-01-35
直接积分法 直接由不定积分的定义、性质
和基本积分公式求积分的方法，称 为不定积分的直接积分法。
高等数学
课堂练习 求下列函数的积分
（1）
ax bx hx dx
（2）
sin 2
1 x cos2
dx cos2
x
tan x C
9. csc2
xdx
dx sin 2
x
cot x C
10.
dx 1 x2
arcsin x C1 arccos x C2
dx
11. 1 x2
arctan x C1 arc cot x C2
12. sec x tan xdx sec x C
13. csc x cot xdx csc x C
高等数学
03-01-10
不定积分(indefinite integral) 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x)
的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F(x) C
其中 f(x) 称为被积函数，f(x)dx 称为
被积表达式，x 称为积分变量， 称
为积分号，C 是任意常数，称为积分
高等数学
03-01-15
例 设一条曲线通过点 A(1,0) 且其 上任一点 (x,y) 处的切线斜率为 2x， 求此曲线方程。
高等数学
y
O
03-01-16
y x2 C
积分曲线族
x
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03-01-17
不定积分的几何意义
不定积分 f (x)dx F(x) C 在几何
上表示一族平行曲线，这些平行曲 线由积分曲线 y=F(x) 沿 y 轴平行移 动距离 C 而得到，称为积分曲线族。
性质4 k f (x)dx k f (x)dx
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例
求积分
(x
1 )dx x
03-01-24
高等数学
03-01-25
例 求积分 (4 3sin x 5x x)dx
高等数学
例
求积分
(x 1)(x 2)
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x3
dx
03-01-26
高等数学
例 求积分 2x exdx
03-01-27
dx
03-01-31
高等数学
例
求积分
x4
1 x2 dx
03-01-32
高等数学
03-01-33
注 （1）不定积分与原函数的区别
不定积分表示的是一个集合，
它是一族原函数而不是一个原函数， 故任意常数 C 不可漏掉；
（2）当对原函数加上某种限制条件， 就可以确定这个常数而得到满足限 制条件的一个原函数；
2. x dx
3.
1 x
dx
1 x 1 C
1
ln x C
( 1)
4. e xdx 5. a xdx
ex C
1 a x C (a 0, a 1) ln a
6. sin xdx cos x C
7. cos xdx sin x C
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03-01-21
8. sec2
xdx
03-01-03
高等数学
03-01-04
导数——已知函数，求函数的变 化率。
不定积分——已知一个函数的变 化率，求该函数。
高等数学
03-01-05
例 将适当的函数填入括号内，使 等式成立：
d( 2x ) 2dx d( x2 ) 2xdx
d( sin x ) cos xdx d ( ln(1 x) ) 1 dx