线性代数期末复习指导

定理叙述题重点:

1.逆矩阵的定义

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵

2.矩阵的秩的定义

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩

3.方程无解有惟一解有无限多解的条件(方程有解的判定定理)

n元线性方程组Ax=b

（i）无解的充分必要条件是R（A）

（ii）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A,b）=n;

（ii）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A,b）

4.线性相关线性无关

给定向组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的数k1,k2,…,km使k1a1+k2a2+…+kmam=0,则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关

5.最大无关组定义

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足

（i）向量组A0:a1,a2,…,ar线性无关；

（ii）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩

题目类型：

一、行列式

1. 理解行列式的定义，掌握行列式的性质.

2. 会利用行列式的性质计算行列式.

3. 掌握行列式按行(列)展开定理及其推论并能利用该定理计算行列式.

4. 记住各种三角形行列式的计算结果

二、矩阵

1. 理解矩阵的概念，熟悉各种类型的矩阵及一些特殊的矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对称矩阵、正交矩阵）.

2. 会进行矩阵的加法、减法、数乘运算和乘法运算并掌握这些运算的运算律.

3. 理解矩阵的转置及其性质.

4. 理解矩阵的行列式及其性质

5. 伴随矩阵及其性质

A ），会伴随

6. 理解逆矩阵的定义、掌握其性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件（||0

矩阵求逆矩阵。

7. 了解矩阵的多项式概念。

8. 会用克拉默法则求解线性方程组。

9. 会用分块矩阵进行矩阵的各种运算(线性运算，乘法运算，转置运算、求分块矩阵的逆矩阵)

三、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念，掌握矩阵的初等变换与初等矩阵的关系(初等行变换与左乘初等矩阵；初等列变换与右乘初等矩阵).

2. 理解矩阵的等价概念，了解其三条性质.

3. 会将矩阵化为行阶梯形与行最简形矩阵.

4. 掌握矩阵（行、列）等价的充分必要条件.

5. 掌握矩阵可逆的充分必要条件：可表示为一系列初等矩阵的积.；与单位矩阵等价.

6. 会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵.

7. 理解矩阵的秩的概念，掌握两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相等.

8. 掌握矩阵的秩的8条件性质:

(1) 0()min{,}R A m n ≤≤；

(2) ()();T R A R A = (3) 若A B ，则()()R A R B =; (4) 若,P Q 可逆，则()();R A R PAQ =

(5) max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+；

(6) ()()();R A B R A R B +≤+

(7) ()min{(),()}R AB R A R B ≤;

(8) 若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤.

9. 掌握线性方程组Ax b =无解与有解的充分必要条件(无解、有唯一解和有无穷多解)

10. 掌握齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件.

11. 会线性方程有无解的讨论.

12. 理解并掌握矩阵方程AX B =有解的充分必要条件是()(,)R A R A B =. 会求解矩阵方程.

四、向量组的线性相关性

1. 理解n 维向量，向量组，矩阵的行向量组与列向量组的概念.

2. 理解什么是向量组的线性组合，线性表示的概念.

3. 明确线性方程组的三种表示形式：一般表示式，矩阵表示式和向量表示式.

4. 掌握向量β可由向量组12,,

,m ααα线性表示的充分必要条件： （1）线性方程组1122m m x x x αααβ++

+=有解 （2）()(,)R A R A β=, 其中12(,,

,).m A ααα= 5. 掌握向量组12,,,l βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示的充分必要条件： （1）矩阵方程AX B =有解

（2）()(,)R A R A B =, 其中1212(,,

,),(,,

,)m l A B αααβββ==. 6. 掌握向量组12,,,l βββ与向量组12,,,m ααα等价的充分必要条件：

（1）矩阵方程AX B =与BX A =都有解 （2）()(,)()R A R A B R B ==, 其中1212(,,

,),(,,,)m l A B αααβββ==. 7. 掌握推理过程: 向量组12,,

,l βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示⇒ 矩阵方程AX B =有解 ⇒(,)()R A B R A =, 又()(,)()()R B R A B R B R A ≤⇒≤.其中1212(,,,),(,,

,)m l A B αααβββ==. 9. 理解向量组的线性相关与线性无关概念及充分必要条件. 知道为什么一个向量组中有零向量则一定是线性相关的原因.

10. 掌握线性相关的向量组的性质(添加向量后的发问)，线性无关的向量的性质(减少向量的情况).

11. 理解向量组的最大线性无关组的概论，向量组的秩的概念.

12. 掌握向量组的秩与其行秩和列秩的关系.

13. 将上述第5、6、7条改为向量的秩应如何描述。

14. 会求向量组的最大线性无关组.

15. 掌握线性方程组解的性质, 会求齐次线性方程组的基础解系，会求非齐次线性方程组的通解(通过解的结构定理)

16. 了解向量空间的定义. 理解基的概念，空间维数的概念，自然基的概念，向量坐标的概念，过渡矩阵的概念.

17. 会一向量在一组基下的坐标，会求从一组基到另一组基的过渡矩阵. 已知从一组基到另一组基的过渡矩阵时，会求一个向量在两组不同基下的坐标.