高等数学教案-向量代数与空间解析几何

高等数学教学教案

第8章 向量代数与空间解析几何

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件

教学难点 两个向量垂直、平行的条件

参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置

大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.

3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.

教 学 基 本 内 容

一．空间直角坐标系

1.直角坐标系，点叫做坐标原点.

2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．

二．空间两点间的距离

设，为空间两点，则与之间的距离为

.

三．向量的概念

1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．

O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M

2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.

3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.

4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．

5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.

6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．

7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．

8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.

四．向量的线性运算

1. 向量的加法

定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作

平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和

方法称为平行四边形法则．

若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．

对于任意向量，，，满足以下运算法则：

(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．

2.向量的减法

定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.

若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.

3.数乘向量

定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是

，方向：

当时，与同向；当时，与反向；当时，．

对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：

(1) ． (2) ． (3) ．

向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合

．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.

a AB

10b a =a a -a a b A AB AD a b AB AD

ABCD A C AC

a b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e |

|a a

e a =

a b λλa =

b

例7 已知向量，，求.

例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.

授课序号02

教 学 基 本 指 标

教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角

教学难点 利用平面、直线的相互关系（平

行、垂直、相交等）解决问题

参考教材 同济七版《高等数学》下册

作业布置

大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.

2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

3.会求点到直线以及点到平面的距离.

教 学 基 本 内 容

一．空间平面方程

1.平面方程的各种形式

（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．

（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为

．

（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.

（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为

}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2?ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1

11

21

21

2131

31

31

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠

例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．

例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.

授课序号03

教 学 基 本 指 标

教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程

教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影

及其方程

参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置

大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面

及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.

3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.

教 学 基 本 内 容

一．空间曲面

定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．

几个常见的曲面方程.

1.球面

（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．

（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.

2310,

32120,

x y z x y z -+-=??

+--=?113

:

141x y z l -+==

-220:20

x y l x z ++=??+=?30

0x y z x y z ++=??--=?

10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2

2

2

2

000()()()x x y y z z R -+-+-=02

2

2

=++++++D Cz By Ax z y x

组称作空间曲线的一般方程.

2.空间曲线的参数方程

对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到

曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.

3.空间曲线在坐标面上的投影

（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母

线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成

（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲

线在或面上的投影曲线方程：或

（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..

投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.

三．二次曲面

1.椭圆锥面

由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.

2.椭球面

(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =??=?

C C x y z ,,

t ??

???===),(),(),

(t z z t y y t x x t C C (,,)0,

(,,)0.F x y z G x y z =??=?

z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,

0.

H x y z =??

=?(,,)0,

(,,)0

F x y z

G x y z =??

=?x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,

R y z x =??=?(,)0,

0.T x z y =??=?222

22x y z a b

+=

由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此

方程称为椭球面的标准方程．

3.单叶双曲面

由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．

4.双叶双曲面

由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．

注 方程和也都是单叶双曲面;

方程和也都是双叶双曲面．

5.椭圆抛物面

由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．

6.双曲抛物面

由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马

鞍，因此也称马鞍面．

四．例题讲解

例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？

例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.

122

2222=++c

z b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 122

2222=-+c

z b y a x 0, 0, 0a b c >>>122

2222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 122

2222=++-c

z b y a x 1222222-=+-c z b y a x 122

2222-=++-c

z b y a x 22

22b

y a x z +=0, 0, 0a b c >>>22

22b

y a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+

8.24 图8.25

坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的122

22=-b

y c z L