高二期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年河南省新乡市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或42．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣64．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．406．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．48．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝202510．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得，12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或4解：直线l1：﹣tx+2y+8＝0和l2：7x﹣（t+1）y+3＝8平行，则（﹣t）•（﹣t﹣1）＝2×4，解得t＝3或﹣4，当t＝7时，两直线不重合，当t＝﹣4时，两直线重合，故a＝3．故选：A．2．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）解：根据题意，为平面α的一个法向量，则也是平面β的一个法向量，分析选项：对于A，设＝（2，0，∥不成立，7，1）不是平面β的一个法向量；对于B，设＝（4，6，∥不成立，0，1）不是平面β的一个法向量；对于C，设＝（7，8，∥不成立，8，3）不是平面β的一个法向量；对于D，设＝（2，﹣4），有，则∥成立，﹣5．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：等比数列{a n}的前n项和为S n，则＝，＝6×3n+λ，故，即．故选：D．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝3BC＝6CA＝3，则A（1，2，0），C1（6，0，3），7，0），B1（3，1，3），所以，则，故AC1与CB1所成角的余弦值为．故选：C．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．40解：根据题意，第n排的座位数为a n，由于第一排有5个座位，从第二排开始，则数列{a n}是以5为首项，公差为8的等差数列n＝5+（n﹣1）×6＝3n+2，该阶梯大教室共有258个座位，则有，变形可得：（3n+43）（n﹣12）＝0，又由n是正整数，则n＝12，则该阶梯大教室最后一排的座位数为a12＝5×12+2＝38．故选：C．6．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．解：＝+＝﹣++，则x＝﹣，y＝．故选：B．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．4解：点M（1，1，5），﹣1，P（﹣1，6，则＝（﹣2，0，，故＝，，故点P到直线MN的距离为：＝2．故选：B．8．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由，设|F2A|＝8t，|F2B|＝3t，（t＞6），则|AB|＝5t，由对称性知2B|＝|F6B|＝3t，因为F1在以AB为直径的圆上，则|F7A|＝4t，cos∠F1AB＝，由椭圆的定义知|F1A|+|F7A|＝6t＝2a，所以a＝5t，在△F1AF2中，8c2＝16t2+2t2﹣2×8t×2t×cos∠F1AB＝20t3﹣t2＝t2，所以c＝t，所以e＝．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝2025解：设{a n}的公差为d，a7＝9，S8＝3a4，则解得故a2023＝a8+2022d＝2025，S4＝4a3+6d＝18．故选：ACD．10．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则解：对于A，，A正确．易知点P到圆O上点的距离的最大值为8+2＝5，B正确；点P到圆O上点的距离的最小值为6﹣2＝1，C错误．对于D，动直线l过点P（6，点Q（0，所以直线l的方程为x+3y﹣5＝0，点O到直线l的距离，所以，D错误．故选：AB．11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得， 解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，0＜λ＜3，设＝t，1）；＝++＝++t，6，0）+（0，4，t，0）＝（t﹣1，t，＝+＝（1，6，0，﹣1）＝（4，1，所以•＝t﹣1+t﹣1＝4t﹣2＜0；三棱锥D﹣P A 5C1的体积为＝•BD＝××＝，是定值；当且仅当P为AC的中点时，平面P A1C1⊥平面BDD2B1，此时λ＝，选项C正确；因为＝++＝（﹣t，0）+（4，0，0，7）＝（﹣t+1，﹣1），＝++＝（﹣t，0）+（0，7，1，0）＝（﹣t，﹣4），所以•＝4t（t﹣1）+1＝2t2﹣2t+4，||＝|＝；令＝＝，化简得3t5﹣3t+1＝4，Δ＝9﹣12＜0，即不存在λ∈R，使cos＜，，选项D错误．故选：BC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）解：设直线AB的方程为x＝my+1（m≠0），A（x7，y1），B（x2，y7），联立方程组，得y2﹣4my﹣5＝0，则y1+y2＝4m，y1y3＝﹣4，∴|AB|＝＝4（m2+5），同理可得，∴，故A正确；∵P，Q分别为AB，∴P（6m2+1，8m），，∴，当且仅当m＝±1时等号成立；∵F为PB的中点，∴y3＝﹣2m，又∵y1+y2＝4m，∴y1＝7m．∵，∴，可得；当直线PQ的斜率存在时，，∴直线PQ的方程为，整理得，可得直线PQ过定点（3；当直线PQ的斜率不存在时，m＝±2，过点（3，∴直线PQ过定点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为2．解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的一条渐近线方程为，即y＝x，所以＝，解得m＝9，所以C的焦距为2＝2．故答案为：2．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．解：根据题意，有a2＝，又a2＝11，所以11＝，解得a5＝，又a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝＝a2，…，所以{a n}是以3为周期的周期数列，所以a985＝a328×3+3＝a1＝．故答案为：．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为1．解：由题可知，该圆的圆心为（a，因为直线x+3y﹣1＝3过圆心，所以a﹣1＝0，所以圆的方程为（x﹣8）2+y2＝7，因为圆心与的距离为，所以点与该圆上任意一点的距离的最小值为3﹣2＝4．故答案为：1．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为或．解：结合题意：a n＝a1+（a2﹣a3）+（a3﹣a2）+⋯+（a n﹣a n﹣3）＝，则a n＞0，所以（m﹣a n）（m+a n+3）＞7，解得m＞a n或m＜﹣a n+3，当n为偶数时，，递增n的最小值为，则，，递增n+3的最小值为，则，当n为奇数时，，递减n的最大值为a8＝1，，，递减n+6的最大值为，，综上所述：要使得存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+5）＞0成立，只需或，所以m的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，{a n}的通项公式a n＝1+5（n﹣1）＝3n﹣2．（2）由（1）得S n＝＝，所以＝＝，所以T n＝＝，由，得≤，解得m≤15，故正整数m的最大值为15．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．解：（1）证明：因为P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，因为AB＝2，，，所以AB5+BC2＝AC2，则AB⊥BC，又因为P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．（2）以B为坐标原点，，的方向分别为x，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0），7，0），，4，4），1，8），所以，，，设平面ABD的法向量为，则，解得y＝0，令z＝﹣1，得，所以，设直线CP与平面ABD所成的角为θ，则，即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．解：（1）AB的中点（，），k AB＝＝，所以AB的中垂线方程为：7x+y+11＝6，由，得，即圆心（﹣2，半径r＝，所以圆C的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2＝25．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），因为直线l与圆C相切，所以＝3，所以直线L的方程为：12x+5y﹣56＝2．综上，直线l的方程为：x＝3或12x+5y﹣56＝2．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．（1）证明：因为△P AC为等边三角形，所以，又PB＝CB，PC为公共边，作PO⊥AB，垂足为O，由三角形全等易知CO⊥AB，PO＝CO，设OB＝x，则OA＝4﹣x2＝P A2﹣OA2，且PO2＝PB2﹣OB6，所以，解得x＝2，故，故CO＝4，在△POC中，因为PO8+CO2＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面P AB，因为CO⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OC，OP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（5，7，设点Q（x0，5，z0），则，因为，所以，解得，所以Q（1，2，则，设平面QAB的一个法向量为，则，解得y＝3，则x＝3，故，又因为平面P AB的一个法向量为，所以，由图可知，二面角P﹣AB﹣Q为锐二面角，故二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．（1）证明：因为a n+1＝4a n+6n﹣1，所以a n+1+n+3＝4a n+4n＝5（a n+n），即＝5，又a1+1＝7，所以数列{a n+n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n+n＝5×4n﹣1＝2n，即a n＝4n﹣n，故数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣n．（2）解：设b n＝8n﹣1，则b m＝2m﹣7，由数列{a n}与{b n}的公共项为b m，得2m﹣1＝4n﹣n，所以m＝，所以n﹣1＝7k（k∈N），即n＝2k+1（k∈N），所以m＝34k+1﹣k（k∈N），所以c n＝54n﹣3﹣（n﹣5）（n∈N*），所以S n＝＝．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．解：（1）易知椭圆C1的焦距，双曲线C2的焦距，因为椭圆与双曲线，所以，整理得，此时，，则椭圆C1的离心率，双曲线C2的离心率，（2）证明：由（1）知，因为A（﹣a，0），此时直线AP的方程为，联立，消去y并整理得，由韦达定理得，解得，则，因为，，，所以，，故k BP•k OP＝k OQ+k OP．。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l 经过A （﹣1，0），B(0，√3)两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝﹣3a n ，S 3＝7，则a 1＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P （m ，n ）在抛物线C 上．若|PF |＝3，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知椭圆x 2m−3+y 27−m =1的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A ．3＜m ＜7B ．3＜m ＜5C ．5＜m ＜7D ．m ＞35．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OC 上，且OM =12MC ，N 为AB 的中点，则MN →=（ ）A ．−12a →−12b →+13c →B ．−12a →−12b →−13c →C ．12a →+12b →+13c →D ．12a →+12b →−13c →6．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．97．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{a n }，其将满月等分成240份，a i （1≤i ≤15且i ∈N *）表示第i 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a 1＝5；第15天为满月，即a 15＝240．已知{a n }的第1项到第5项是公比为q 的等比数列，第5项到第15项是公差为d 的等差数列，且q ，d 均为正整数，则a 5＝（ ） A ．40B ．80C ．96D ．1128．已知点P 在由直线y ＝x +3，y ＝5和x ＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q 在x 轴上运动．设点T （4，1），则|QP |+|QT |的最小值为（ ） A ．√30B ．4√2C ．√34D ．2√109．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1D 1的中点，F 为棱AA 1上一动点．给出下列四个结论：①存在点F ，使得EF ∥平面ABC 1； ②直线EF 与BC 1所成角的最大值为π2；③点A 1到平面ABC 1的距离为√2； ④点A 1到直线AC 1的距离为2√63． 其中所有正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为P ，延长FP 交双曲线C 的左支于点Q ．若QP →=2PF →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√415B ．√133 C ．53D ．√132二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．1802．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．103．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+146．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．7207．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣110．若(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（ ） A ．a 0＝1 B ．a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝16 C ．a 0+a 2+a 4＝41D ．a 1+a 3＝4011．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A ．A 与D 相互独立 B ．A 与B 相互独立 C ．B 与D 相互独立 D ．A 与C 相互独立12．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点M 是直线x ＝4上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则（ ）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为.（结果用数字作答）14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=2√3，平面α经过点A，且直线AA1与平面α所成的角为30°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则点A1到平面α的距离为，直线AA1与BH所成角的范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点E是B'C的中点．（1）证明：D′E∥平面A′BD；（2）求直线D′E与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）求△AOB的面积．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．180解：C 53+C 54=C 52+C 51=5×42×1+5=15． 故选：A ．2．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．10 解：空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），a →∥b →，则−21=−42=k −1，解得k ＝2．故选：A ．3．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直解：因为k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，所以k 1k 2＝﹣1，所以两条直线垂直． 故选：B ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →解：AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则AP →=23AC 1→=23(AB →+BC →+CC 1→)=23(AB →+AD →+AA 1→)=23a →+23b →+23c →．故选：A ．5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+14 解：由题意可得，半圆所在圆的方程为x 2+y 2＝1，半椭圆所在椭圆方程为y 22+x 2=1，把x =√22分别代入圆与椭圆方程，可得A （√22，−√22），B （√22，1）， ∴|AB |=√22+1，又F 到AB 所在直线的距离为√22， ∴△ABF 的面积为12×√2+22×√22=√2+14．故选：D ．6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．720解：先把6人分为3组，一组3人，一组2人，一组1人，有C 63C 32C 11=60种分法，再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教，所以不同的分法种数为60×A 33=360． 故选：B ．7．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）解：根据题意，圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m ，圆心为（﹣2，2），半径R =√m ， 圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1，圆心为（1，﹣2），半径r ＝1，圆心距d =√9+16=5，若两圆相交，则有|√m −1|＜5＜√m +1，解可得16＜m ＜36，即m 的取值范围为（16，36）． 故选：D ．8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10解：CD →=CA →+AB →+BD →，两边平方得（CD →）2＝（CA →+AB →+BD →）2， 所以|CD →|2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →•AB →+2CA →•BD →+2AB →•BD →，由题可知|AB →|=√3，|CA →|＝1，|BD →|＝2，＜CA →，AB →＞=π2，＜CA →，BD →＞=2π3，＜AB →，BD →＞=π2，所以|CD →|2＝12+（√3）2+22+2•1•√3cos π2+2•1•2•cos 2π3+2•√3•2•cos π2=6，所以|CD →|=√6． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣1 解：因为直线l ：y ＝x ，对于A ：设与l 平行的直线方程为y ＝x +b ，代入A （0，﹣1），得b ＝﹣1， 所以，过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1，故A 正确；对于B ：点A （0，﹣1）关于y ＝x 对称的点的坐标为（﹣1，0），故B 错误； 对于C ：点A 到直线x ﹣y ＝0的距离为√2=√22，故C 正确； 对于D ：设与l 垂直的直线方程为y ＝﹣x +m ，代入A（0，﹣1），得m＝﹣1，所以，过点A与l垂直的直线的方程为y＝﹣x﹣1，故D正确．故选：ACD．10．若(2x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（）A．a0＝1B．a0+a1+a2+a3+a4＝16C．a0+a2+a4＝41D．a1+a3＝40解：对于A，令x＝0得，a0＝（﹣1）4＝1，故A正确；对于B，令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，故B错误；对于C，D，令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣2﹣1）4＝81，又因为a0+a1+a2+a3+a4＝1，所以两式相加得，2（a0+a2+a4）＝82，两式相减得，2（a1+a3）＝﹣80，所以a0+a2+a4＝41，a1+a3＝﹣40，故C正确，故D错误．故选：AC．11．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）=24×23+24×23=23，P（B）=24=12，P（C）=24×13+24×23=12，P（D）=24×13+24×13=13，P（AD）＝0，P（AB）=24×23=13，P（BD）=24×13=16，P（AC）=24×23=13，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件，故A错误；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件，故B正确；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件，故C正确；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件，故D正确．故选：BCD．12．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x＝4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则（）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2解：根据题意可得a＝2，b=√3，c＝1，对A选项，∵△AF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，∴A选项正确；对B选项，设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则x124+y123=1，∴3x12+4y12=12，同理可得3x22+4y22=12，对x24+y23=1两边关于x求导可得：x2+2y⋅y′3=0，∴y′=−3x4y，∴切线AM方程为y−y1=−3x14y1(x−x1)，∴3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，故切线AM方程为3x1x+4y1y＝12，同理可得切线BM的方程为3x2x+4y2y＝12，又切线AM与切线BM都过M（4，t），∴{12x1+4y1t=12 12x2+4y2t=12，∴AB直线方程为12x+4ty＝12，∴AB直线过定点F2（1，0），∴A，F2，B三点共线，∴B选项正确；对C选项，由B选项分析可知AB直线过F2（1，0），∴AB为焦点弦，根据椭圆的几何性质可得焦点弦AB为通径时最短，∴|AB|≥2b2a=3＞2，∴C选项错误；对D选项，如图，由B选项分析可知AB直线斜率为−3 t ，又MF2直线的斜率为t−04−1=t3，∴k AB⋅k MF2=−1，∴AB⊥MF2，在直线AB上取AF′＝AF1，BF1＝BF″，则|AF1′|+|AF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，同理可得|BF1″|+|BF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，∴|F1′F2|＝|F1″F2|，又AB⊥MF2，∴∠F1′MF2＝∠F1″MF2，设∠F1MA＝θ，∠F1MF2＝φ，∠F2MB＝γ，∵MA，MB为椭圆C的两条切线，∴根据椭圆的光学性质可得：∠F1′MA＝∠F1MA＝θ，∠F1″MB＝∠F1MB＝φ+γ，又∠F1′MF2＝∠F1″MF2，∴2θ+φ＝γ+φ+γ，∴θ＝γ，∴∠AMF1＝∠BMF2，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为160.（结果用数字作答）解：二项式(x+2x)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（2x）r＝2r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，得r＝3，故常数项是23•C63=160．故答案为：160．14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为25．解：甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件是甲、乙两个机构都没有研究成功，∴甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：P＝1﹣（1−15）（1−14）=25．故答案为：2 5．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为8．解：抛物线y2＝8x，p＝2，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2．设P 到准线的距离为PD ，（即PD 垂直于准线，D 为垂足），则|P A |+|PF |＝|P A |+|PD |≥|AD |＝8，（当且仅当P 、A 、D 共线时取等号）． 故答案为：8．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =2√3，平面α经过点A ，且直线AA 1与平面α所成的角为30°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则点A 1到平面α的距离为 2 ，直线AA 1与BH 所成角的范围为 [30°，60°] ． 解：如图，连接AH ，因为A 1H ⊥α，AH ⊂α，所以A 1H ⊥AH ，所以H 在以AA 1为直径的球面上，又直线AA 1与平面α所成角为30°，而∠A 1AH 即为直线AA 1与平面α所成的角，因此∠A 1AH =30°，因此H 在以AA 1为轴，顶角为60°的圆锥面上，过H 作HO ⊥AA 1于点O ，则HA 1=2，HA =2√3，HO =√3，A 1O =1，AO =3，其中HA 1的长即为A 1到平面α的距离，所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O 为圆心，半径为√3，以AB 为y 轴，AA 1为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，2√3，0)，设H(√3cosθ，√3sinθ，3)，BH →=(√3cosθ，√3sinθ−2√3，3)，取AA 1→的一个方向向量为n →=(0，0，1)， cos〈BH →，n →〉=|BH →⋅n →||BH →||n →|=3√3cos 2θ+3(sinθ−2)2+9=324−12sinθ∈[12，√32]， 又0≤＜BH →，n →＞π，所以〈BA →，n →〉∈[π6，π3]，所以直线BH 与AA 1所成角的范围是[π6，π3]，即[30°，60°]，故答案为：2；[30°，60°]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，点E 是B 'C 的中点．（1）证明：D ′E ∥平面A ′BD ；（2）求直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值．（1）证明：在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，B ′D ′∥BD ，A ′D ∥B ′C ，B ′D ′∩B ′C ＝B ′，BD ∩A ′D ＝D ， 所以平面A ′BD ∥平面B ′D ′E ，又D ′E ⊂平面BD ′E ， 所以D ′E ∥平面A ′BD ；（2）解：以D 为原点，DA →，DC →，DD′→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），C ′(0，1，1)，D ′(0，0，1)，E(12，1，12)，所以D ′E →=(12，1，−12)，又平面ABCD 的法向量n →=(0，0，1)，设直线D ′E 与平面ABCD 所成角为θ，sinθ=|cos〈n →，D′E →〉|=|D′E →⋅n →||D′E →|⋅|n →|=12√32=√66，所以直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 18．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求C 的方程； （2）求△AOB 的面积．解：（1）由已知及抛物线的定义可得p ＝|MF |cos （180°﹣135°）=2√2cos45°＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由（1）知F （1，0），设直线AB ：x +y ﹣1＝0，将其代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝﹣4，y 1y 2＝﹣4，△AOB 面积为：12|OF ||y 1﹣y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√32=2√2．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．解：（1）根据题意，记事件A 为“车床加工的零件为次品”，事件B i 为“该零件由第i 台车床加工的零件”，i ＝1，2，则P （A |B 1）＝6%，P （A |B 2）＝5%，已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，则P （B 1）＝40%，P （B 2）＝60%，故P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）+P （B 2）P （A |B 2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054； （2）根据题意，由贝叶斯公式P （B 1|A ）=P(AB 1)P(A)=P(B 1)P(A|B 1)P(A)=0.4×0.060.054=0.0240.054=49． 20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 解：（1）因为点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，所以{1a 2=12a 2−3b 2=1，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线C 的方程为x 2−y 23=1， 又c =√a 2+b 2=2， 所以C 离心率e =ca=2，渐近线方程为y =±√3x ； （2）证明：易知k 1，k 2一定存在且k 2≠±1， 因为F （2，0），x 0＞0， 所以k PF =k 1=y 0x 0−2，k PA 1=k 2=y0x 0+1， 此时2k 21−k 22=2y 0x 0+11−y 02(x 0+1)2=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02，因为点P 在双曲线C 上，所以x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3， 则2k 21−k 22=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02=2y 0(x 0+1)−2(x 0−2)(x 0+1)=−y 0x 0−2=−k 1．故k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，CD ＝BC ＝2√2， 所以BD ＝4，∠CBD ＝45°，在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝4√2，由余弦定理可得AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =4， 所以AD 2+BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ， 取AD 的中点O ，连接PO ， 因为△P AD 是等边三角形， 所以PO ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂面P AD ， 所以PO ⊥面ABCD ， 因为BD ⊂面ABCD ， 所以PO ⊥BD ，又因为PO ∩AD ＝O ，PO ，AD ⊂面P AD ， 所以BD ⊥面P AD ．（2）取AB 的中点N ，连接ON ，ON ∥BD ， 所以AD ⊥ON ，以O 为原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则A （0，﹣2，0），D （0，2，0），B （4，2，0），C （2，4，0），P （0，0，2√3），AP →=（0，2，2√3），DM →=DP →+PM →=DP →+λPC →=（0，﹣2，2√3）+λ（2，4，﹣2√3）＝（2λ，4λ﹣2，2√3（1﹣λ）），0≤λ≤1， 又DB →=（4，0，0），设平面MBD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{DM →⋅n →=2λx +(4λ−2)y +2√3(1−λ)z =0DB →⋅n →=4x =0，当λ=12时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意，当λ≠12时，令z ＝2λ﹣1，得平面MBD 的法向量为n →=（0，√3（λ﹣1），2λ﹣1），又平面ABCD 的一个法向量为m →=（0，0，1），由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√1313， 所以|cos ＜m →，n →＞|=√[√3(λ−1)]+(2λ−1)=√1313，解得λ=13或λ=35． 22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．解：（1）因为x 2+y 2+2√3x −21=0， 所以(x +√3)2+y 2=24， 所以T(−√3，0)，半径r =2√6，因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ， 所以|RH |＝|RG |，所以|RT|+|RH|=|RT|+|RG|=|TG|=2√6＞|TH|=2√3，所以动点R 的轨迹是以T(−√3，0)，H(√3，0)为焦点，长轴长为2√6的椭圆， 所以a =√6，c =√3，b =√3， 故曲线E 的方程为x 26+y 23=1；（2）λ+μ＝4．证明：当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x =√3，与y 轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣3）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 26+y 23=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2−4√3k 2x +6k 2−6=0，Δ＞0恒成立， 所以{x 1+x 2=4√3k1+2k2x 1x 2=6k 2−61+2k 2， 又因为直线AB 与y 轴的交点为C ，所以C(0，−√5k)， 所以CA →=(x 1，y 1+√3k)，AH →=(√3−x 1−y 1)， CB →=(x 1，y 2+√3k)，BH →=(√3−x 2，−y 2)，又因为CA →=λAH →，所以x 1=λ(√3−x 1)，同理x 2=μ(√3−x 2)， 所以λ=13−x 1μ=23−x 2， 所以λ+μ=x 1√3−x 1x 2√3−x 2=√3(x 1+x 2)−2x 1x 23−√3(x 1+x 2)+x 1x 2=√3×4√3k21+2k 2−2×6k2−61+2k23−√3×4√3k 21+2k 2+6k 2−61+2k2， 整理后得λ+μ=12k 2−12k 2+123+6k 2−12k 2+6k 2−6=−123=−4， 所以λ+μ 为定值﹣4，原题得证．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），显然PQ 的斜率存在，x1≠2，x 2≠2，设PQ 的方程是y ＝hx +m ，由{y =kx +mx 2+2y 2=6，消去y 得：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0， 由韦达定理得{x 1+x 2=−2km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1，由已知k MP •k MQ ＝1，可得y 1−1x 1−2−y 2−1x 2−2=1，即y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4， 又y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，代入上式整理得m 2+（8k +2）m +12k 2﹣3＝0， 则m ＝﹣6k ﹣3或m ＝1﹣2k ，当m ＝﹣6k ﹣3时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣6）﹣3， 所以直线PQ 经过定点（6，﹣3），当m ＝1﹣2k 时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣2）+1， 所以直线PQ 经过定点（2，1）与M 重合，舍去， 故直线PQ 经过定点K （6，﹣3），又因为MD ⊥PQ ，所以D 在以线段MK 为直径的圆上， 所以F 为线段ME 的中点，即F （4，﹣1），所以|DF|=12|MK|=12×√(6−2)2+(−3−1)2=2√2为定值．。
北京市石景山区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高二期末试卷数学（答案在最后）第一部分一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为() A.B. C.33D.33-【答案】A 【解析】【详解】因为直线的倾斜角为60︒，所以直线的斜率tan 60k == A.2.直线21y x =+关于x 轴对称的直线方程为（）A.112y x =- B.112y x =+C.21y x =-+ D.21y x =--【答案】D 【解析】【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x 轴交于点可得.【详解】直线21y x =+的斜率为2，与x 轴交于点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，则与21y x =+关于x 轴对称的直线斜率为2-，并过点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，所以，所求方程为1022y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即21y x =--.故选：D3.已知α，β是两个不同的平面，直线m 满足m α⊂，则“αβ∥”是“m β∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断．【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设n αβ= ，当m n ∥，且m β⊄，m α⊂，此时m β∥，但是α与β相交，故必要性不成立．故选：A ．4.已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（）A.12B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.【详解】由题意可得2ce a===，解得b =故选：B.5.用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A.25B.20C.16D.15【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，结合排列数公式，即可求解.【详解】从0,1,2,3,4中任选两个数字，组成两位数的个数有25A 20=个，其中数字0排首位的有4个，所以满足条件的两位数有20416-=个.故选：C6.在空间直角坐标系O xyz -中，点()()1,2,1,1,2,1A B --，则（）A.直线AB 坐标平面xOyB.直线AB ⊥坐标平面xOyC.直线AB 坐标平面xOzD.直线AB ⊥坐标平面xOz【答案】C【解析】【分析】首先求向量AB 的坐标，再判断向量AB与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项.【详解】由题意可知，()2,0,2AB =--，平面xOy 的法向量为()0,0,1m =，因为AB m λ≠ ，且0AB m ⋅≠ 所以AB 与m既不平行也不垂直，所以直线AB 与坐标平面xOy 既不平行也不垂直，故AB 错误；坐标平面xOz 的法向量为()0,1,0n =，0AB n ⋅= ，所以AB n ⊥，且AB ⊄平面xOz ，故C 正确，D 错误.故选：C7.已知直线1:370l x y +-=，直线2:20l kx y --=.若12l l ⊥，则实数k =（）A.3- B.13-C.13D.3【答案】D 【解析】【分析】代入两直线垂直的公式12120A A B B +=，即可求解.【详解】因为12l l ⊥，所以()1310k ⨯+⨯-=，得3k =.故选：D8.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（）A.6B.26C.33D.23【答案】A 【解析】【分析】11A C 的中点为O ，有1//PO A B ，余弦定理求cos DPO ∠即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.【详解】解法一：连接11A C ，取11A C 的中点O ，连接,PO DO ，如图所示，,O P 分别是111,AC BC 的中点，1//PO A B ，则DPO ∠是异面直线PD 与1A B 所成角或其补角.正方体棱长为2，面对角线长为22Rt DCP △中，2DC =，2PC =，则226DP DC PC =+=，同理6DO =，在DPO 中，6DO DP ==1122OP A B ==由余弦定理可知2223cos 26262DP OP DO DPO DP OP ∠+-==⋅⨯⨯.所以异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是36.解法二：以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()12,2,0,0,0,0,2,0,2,1,2,1B D A P ，有()()10,2,2,1,2,1A B DP =-= ，1113cos ,6226DP A B DP A B DP A B ⋅===⋅，所以异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是36.故选：A.9.P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最小值（）A.B.3C.3-D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到直线2y kx =-与圆221x y +=相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，点P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，可得直线2y kx =-与圆221x y +=相切或相离，则满足圆心到直线的距离1d =≥，解得23k ≤，即k ≤≤所以k的最小值为.故选：D.10.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．A.AB BC EF =+B.2BCAB EF =+C.2EFAB BC =+ D.2AB BC EF=-【答案】A 【解析】【分析】设点E 在底面ABCD 上的射影为G ，作GM BC ⊥，GN AB ⊥，垂足分别为M ，N ，设四个侧面与底面的夹角为θ，即可得到EMG ENG θ=∠=∠，根据三角形全等得到方程，整理即可.【详解】如图所示，设点E 在底面ABCD 上的射影为G ，作GM BC ⊥，GN AB ⊥，垂足分别为M ，N ．则EMG ∠为侧面EBC 与底面ABCD 的夹角，ENG ∠为侧面EBAF 与底面ABCD 的夹角，设四个侧面与底面的夹角为θ，则在Rt EMG 和Rt ENG △中，EMG ENG θ=∠=∠，又GE 为公共边，所以GN GM =，即22AB EF BC-=，整理得AB BC EF =+．故选：A第二部分二､填空题共5小题．11.在()42x -的展开式中，3x 的系数为_________．【答案】8-【解析】【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可.【详解】设()42x -展开式中通项为：()414C 2,kk kk T x -+=⋅⋅-令3k =，则()3343344C 28T x x -=⋅⋅-=-.故答案为：8-12.直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y --=之间的距离为__________.【答案】55【解析】【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.【详解】直线12l l //，则1l 与2l 之间的距离()()221125521d --==+-.故答案为：5513.已知圆22240x y x ay ++--=的半径为3，则a 的值为__________.【答案】4±【解析】【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解.【详解】圆的一般方程写成标准方程为()2221524a a x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，由圆的半径为3可知，2594a +=，得4a =±.故答案为：4±14.方程10=表示的曲线是__________，其标准方程是__________.【答案】①.椭圆②.2212516x y +=【解析】【分析】根据椭圆的定义即可得解.10+=，表示点(),P x y 到()()3,0,3,0A B -两点的距离之和等于10，而106>，所以方程10=表示的曲线是椭圆，且长轴长210a =，焦距26c =，所以5,3a c ==，所以半短轴长4b ==，所以其标准方程为2212516x y +=.故答案为：椭圆；2212516x y +=.15.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4,AB AA E ==为棱1CC 上的一个动点，给出下列四个结论：①11A B BE ⊥；②三棱锥11E B BD -的体积为定值；③存在点E ，使得AC 平面1BD E ；④存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③【解析】【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1111(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)A B C A B C D ，设[](0,2,),0,4E a a ∈，则11(0,2,0),(2,0,)A B BE a ==-，因为110A B BE ⋅=，所以11A B BE ⊥ ，即11A B BE ⊥，所以①正确；由1111E B BD D B BE V V --=，因为1B BE 的面积为定值，点1D 到平面1B BE 的距离也是定值，所以11E B BD V -为定值，所以②正确；又由1(2,0,),(2,2,4)BE a BD =-=--设平面1BD E 的法向量为(,,)n x y z = ，则1202240n BE x az n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x a =，可得4,2y a z =--=，所以(,4,2)n a a =-，因为(2,2,0)=- AC ，由2820AC n a a ⋅=-+-=，解得2a =，所以③正确；又因为1(2,2,4)DB = ，1(2,2,4)D B =- ，则1180DB D B ⋅=-≠，所以不存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ，所以④错误.故选：①②③.三､解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.菱形ABCD 的顶点,A C 的坐标分别为()()4,7,6,5,A C BC --边所在直线过点()4,1P -.（1）求,BC AD 边所在直线的方程；（2）求对角线BD 所在直线的方程.【答案】16.BC 所在直线方程为270x y +-=，AD 所在直线方程为210x y ++=17.5610x y -+=【解析】【分析】（1）求出2AD BC CP k k k ===-，由点斜式求出直线方程；（2）求出AC 的中点坐标，再根据垂直关系得到56BD k =，利用点斜式写出直线方程，得到答案.【小问1详解】由菱形的性质可知BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以BC 边所在直线的方程为()526y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为()724y x -=-+，即210x y ++=.【小问2详解】线段AC 的中点为()7561,1,465AC E k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD AC k k =-=，所以对角线BD 所在直线的方程为()5116y x -=-，即5610x y -+=.17.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，过1AD E 的平面与棱1BB 相交于点F .（1）求证：F 是1BB 的中点；（2）求点D 到平面1AD E 的距离.【答案】（1）证明过程见解析（2）43【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到1//EF BC ，结合E 是棱11B C 的中点，得到结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1AD E 的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.【小问1详解】连接1BC ，因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF ，又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，故1//EF BC ，又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.【小问2详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,2,0,2220,,1,2,2220m AD x y z x z m AE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，令1x =，得11,2z y ==-，故11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点D 到平面1AD E 的距离为()12,0,01,,12242331114DA m d m ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==⨯=++ .18.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为=1x -.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线:1l y x =-与抛物线C 交于不同的两点,A B ，求以线段AB 为直径的圆的方程.【答案】（1）24y x=（2）22(3)(2)16x y -+-=【解析】【分析】（1）根据准线方程，确定p ，即可求抛物线方程；（2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求中点坐标以及弦长，即可求解圆的方程.【小问1详解】由题意知12p -=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】联立24,1y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，其中320∆=>，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,D x y .则12124,4y y y y +==-，所以120002,132y y y x y +===+=.8AB =，所以以线段AB 为直径的圆的圆心为()3,2，半径为4，所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，,E F 分别为,AB PD 的中点.（1）求证：EF 平面PBC ；（2）若4AD PD ==，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角E FC D --的大小.条件①：PB PC =；条件②：DE PC ⊥.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）取PC 中点M ，证得//,BE MF BE MF =，得到四边形BEMF 为平行四边形，证得//EF BM ，结合线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面PBC .（2）选择条件①：根据题意，证得DE DC ⊥，以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面FCD 和平面EFC 的法向量()11,0,0n = 和()2n = ，结合向量的夹角公式，即可求解；选择条件②：以D 为原点，连接BD ，求得3DE =，分别求得平面FCD 和平面EFC 的法向量()11,0,0n = 和()2n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 中点M ，连接,FM BM ，在PCD 中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以//MF DC 且12MF DC =，在菱形ABCD 中，因为//AB DC 且 12BE DC =，所以//,BE MF BE MF =,所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM ，又因为EF ⊄平面PBC ，且BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .【小问2详解】解：选择条件①：因为PD ⊥平面ABCD ，,,DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB 为正三角形，又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，,,DE DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，因为//AB DC 且DE AB ⊥.又因为ADB为正三角形且AD =3DE =，则()()()0,0,2,3,0,0,0,F E C ，则()()3,0,2,3,EF EC =-=- ，由DE ⊥平面FCD ，可得平面FCD 的法向量为()11,0,0n =，设平面EFC 的法向量为()2,,n x y z =，则2232030n EF x z n EC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，可得3y z ==，所以()2n = ，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅=== ，所以二面角E FC D --的大小为60.选择条件②：因为PD ⊥平面ABCD ，且,DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,DE PC PD PC P ⊥⋂=，且,PD PC ⊂平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，因为DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，,,DE DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，连接BD ，因为//AB DC 且DE AB ⊥，又因为又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB为正三角形且AD =3DE =，则()()()0,0,2,3,0,0,0,F E C ，则()()3,0,2,3,EF EC =-=- ，由DE ⊥平面FCD ，可得平面FCD 的法向量为()11,0,0n =，设平面EFC 的法向量为()2,,n x y z =，则2232030n EF x z n EC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，可得3y z ==，所以()2n = ，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅=== ，所以二面角E FC D --的大小为60.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)0A，且离心率3e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上一点，过点F 作PF 的垂线l 交椭圆C 于,M N 两点，连接OP 与MN 交于点H （O 为坐标原点）.求MH HN 的值.【答案】（1）22162x y +=（2）1【解析】【分析】（1）首先将条件转化为关于,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先讨论0m =时的特殊情况，再讨论当0m ≠时，再求直线l 的方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，再让直线OP 与直线l 联立方程，求点H 的坐标，即可判断点H 与点,M N 的关系，即可求解.【小问1详解】由题意可得2223a c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22162x y +=.【小问2详解】设()()3,,2,0P m F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（i ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN =；（ii ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然Δ0>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++. 直线OP 的方程为3m y x =，联立方程()123y x m m y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2023-2024学年福建省漳州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．122．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝253．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．304．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=05．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T88．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（a ﹣2）x +y +a ＝0，l 2：ax +（a ﹣2）y ﹣1＝0，则（ ）A ．l 1过定点（﹣1，﹣2）B ．当a ＝2时，l 1⊥l 2C ．当a ＝0时，l 1∥l 2D ．当a ＝2时，l 2的斜率不存在10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A ，B 展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为812．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 ．14．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝ ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +a x)n 的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．18．（12分）已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2+1，a 5+1成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．22．（12分）已知O为坐标原点，A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积为定值−14，设动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2.若k1，k，k2恰好构成等比数列，求S1+S2S的取值范围．2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．12解：{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，∴q2=a4a2=42=2，则a6=a4q2=4×2＝8．故选：B．2．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝25解：根据题意设所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0），代入点（﹣2，2），得r2＝25，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25．故选：B．3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．30解：这2个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有C41A22=8种插法，若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有A42=12种插法，所以共有8+12＝20种插法．故选：B．4．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=0解：设直线x−√3y+3=0的倾斜角为α，α∈[0，π），因为该直线的斜率为√3=√33，所以tanα=√33，α=π6，所以2α=π3，tan2α=√3，所以直线l的斜率为√3，方程为y−√3=√3（x﹣2），即为√3x﹣y−√3=0．故选：D．5．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x解：由题意可知∠F1PF2＝120°，所以tan∠F1PO＝tan60°=√3=cb ，又因为c2＝a2+b2，所以3b2＝a2+b2，可得a2＝2b2，所以ba=√22，所以渐近线方程为y=±√22x．故选：A．6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：|AB|=√(3+1)2+(1−3)2=2√5，作ABC的外接圆，r=√5，当ABC为等腰直角三角形时候，CD为AB边上的高等于r=√5，而原点O到AB距离为√12+22=√5=r，而根据外接圆定义，点C必落在圆O上，根据图示，可以判断符合条件的C分别为E，F，O三点，即C点有三个．如图：故选：C．7．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T8解：不妨设正项等比数列{a n}的公比为q，q＞0，所以a n=a1⋅q n−1n∈N*对于A，若T6＝T8，则a7a8＝1，由等比数列性质可得a1a14＝a2a13＝⋯＝a7a8＝1，所以可得T14＝a1a2⋯•a7a8•⋯×a13a14＝1，即A错误；对于B，若T6＝T8，可得a7a8=a1⋅q6⋅a1⋅q7=a12⋅q13=1，又a1＞1，所以0＜q＜1；所以a8＜a7，又a7a8＝1，可得a7＞1，a8＜1，因此可得a1＞1，a2＞1，…，a7＞1，a8＜1，即T n≤T7，所以B正确；对于C，D，若T6＜T7，可得a7=a1⋅q6＞1，又a1＞1，因此q的大小无法判断，所以C，D错误．故选：B．8．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8解：由x24+y23=1，得a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，解得a＝2，b=√3，c＝1，因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，即△AF1F2为等边三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，由椭圆的定义可知，|DF2|+|DF1|＝2a＝2×2＝4，|EF2|+|EF1|＝2a＝2×2＝4，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|＝4a＝4×2＝8．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，l2：ax+（a﹣2）y﹣1＝0，则（）A．l1过定点（﹣1，﹣2）B．当a＝2时，l1⊥l2C．当a＝0时，l1∥l2D．当a＝2时，l2的斜率不存在解：直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，即a（x+1）﹣2x+y＝0，令{x+1=0−2x+y=0，解得{x=−1y=−2，故l1过定点（﹣1，﹣2），故A正确；当a＝2时，直线l1：y＝﹣2，直线l2：x=12，故BD正确；当a＝0时，直线l1：y＝2x，直线l2：y=−12，二者不平行，故C错误．故选：ABD．10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法解：对于选项A ，若A 展馆需要3种花卉，则有C 43=4种安排方法，即选项A 正确；对于选项B ，共有C 41+C 42+C 43=4+6+4=14种安排方法，即选项B 正确；对于选项C ，若“绿水晶”去A 展馆，则有C 30+C 31+C 32=1+3+3＝7种安排方法，即选项C 错误；对于选项D ，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有A 22×22=8种安排方法．即选项D 错误．故选：AB ．11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为8解：已知抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝﹣2，焦点F （2，0），若|PF |＝4，则x P ＝2，此时y P ＝±4，直线l 的斜率为k ＝±2，所以点为Q （﹣2，±4），则O 为线段PQ 中点，选项A 正确；若|OP |=√x 2+y 2=√x 2+8x =4√3，则x 2+8x ﹣48＝0，解得x ＝4或x ＝﹣12（不合题意，舍去），所以点P 的横坐标为4，|PF |＝4+2＝6，选项B 正确； 不妨设P （a 28，a ），a ＞0，则Q （﹣2，−16a ）， 所以FP →=（a 28−2，a ），FQ →=（﹣4，−16a ）， 此时FP →•FQ →=−a 22+8﹣16=−a 22−8＜0， 所以FP 与FQ 不垂直，选项C 错误；因为△PFQ 的面积为S =12OF •|y P ﹣y Q |=12×2×|a +16a |≥2√a ⋅16a=8， 当且仅当a =16a，即a ＝4时等号成立，所以△PFQ 面积的最小值为8，选项D 正确． 故选：ABD ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64解：对A 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，∴a 2+a 1＝3，∴a 2＝3﹣a 1＜2，∴a 1＞1，∴A 选项错误； 对B 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，∴a n +1﹣（n +1）＝﹣（a n ﹣n ），又a 1﹣1＞0，∴数列{a n ﹣n }是以a 1﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列，∴B 选项正确；对C 选项，由B 选项分析可知a n ﹣n =(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴a n ＝n +(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴S n ={n(n+1)2，n 为偶数n(n+1)2+(a 1−1)，n 为奇数， ∴S 10=10×112=55，∴C 选项正确； 对D 选项，由C 选项分析可知S 64=64×652=2080≠2024，∴D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 x +√3y ﹣4＝0 ．解：因为（1，√3）是圆x 2+y 2＝4上的点，所以它的切线方程为：x +√3y ＝4即：x +√3y ﹣4＝0故答案为：x +√3y ﹣4＝014．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ﹣1 ．解：(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝（2﹣3）7＝﹣1．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝n(n+1)2． 解：因为a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，所以当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1＝n +（n ﹣1）+⋯+3+2+1=n(n+1)2，当n ＝1时，a 1=1×22=1，满足a 1＝1，所以a n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 [√2+1，+∞） ．解：由对称性可知当P 为双曲线右顶点，PQ 与圆F 相切时，∠FPQ 取得最大值，所以∠FPQ ≥45°， 如图所示：在Rt △FPQ 中，sin ∠FPQ =|FQ||FP|=c c+a ≥√22，所以2c ≥√2c +√2a ，（2−√2）c ≥√2a ，所以e =c a ≥√22−√2=√2+1，即双曲线C 的离心率e 的取值范围为[√2+1，+∞）．故答案为：[√2+1，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +ax )n 的展开式中，所有二项式系数的和为32．（1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．解：（1）∵所有二项式系数的和为32，∴2n ＝32，∴n ＝5；（2）二项式(2x+ax)5展开式的通项公式为T r+1=C5r(2x)5−r(a x)r=C5r25−r a r x5−2r，∴．展开式中1x5的系数为C5520a5，∴a5＝﹣1，解得a＝﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2+1，a5+1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）∵a1，a2+1，a5+1 成等比数列，且公差d＝2，∴(a2+1)2=a1⋅(a5+1)，∴(a1+3)2=a1⋅(a1+9)，解得a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），∴S n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．解：（1）∵圆C的圆心在y轴上，∴设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵圆C经过A（0，7），B（3，6）两点，∴{02+(7−b)2=r232+(6−b)2=r2，解得{b=2r=5，∴圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝25．（2）记圆心C到直线l的距离为d，∵|MN|=2√r2−d2=8，解得d＝3，当直线的斜率不存在时，l：x＝﹣3，此时圆心到直线的距离d＝3，符合；当直线的斜率存在时，l：y﹣1＝k（x+3），即kx﹣y+3k+1＝0，由d=√k+1=3，解得k=−43，∴直线l：−43x−y−4+1=0，即4x+3y+9＝0．综上，直线l为x＝﹣3或4x+3y+9＝0．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．解：（1）方法一：设圆心M到直线x＝﹣2的距离为d，则由题意得|MF|+1＝d，即|MF|＝d﹣1，从而动点M到定点F的距离与到定直线x＝﹣1的距离相等，故点M的轨迹E为抛物线，设E的方程为y2＝2px，p＞0，由题意p＝2，∴E的方程为y2＝4x；方法二：设动点M（x，y），由题意得√(x−1)2+y2+1=x+2，整理得y2＝4x，∴E的方程为y2＝4x；（2）易知直线l斜率不为0，故可设方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y2=4xx=my+2，消去x整理得：y2﹣4my﹣8＝0，Δ＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8，则S△ABO=S△APO+S△BPO=12⋅|OP|⋅|y1|+12⋅|OP|⋅|y2|=|y1|+|y2|，由题意A，B两点位于x轴异侧，所以y1，y2符号相反，所以S△ABO=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√m2+2=4√3，解得m＝±1，所以直线l的方程为x±y﹣2＝0．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．解：（1）当n＝1时，有a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，联立条件，得S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），即a n＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此a n =2n ；（2）删去数列{a n } 的第3i 项（其中 i ＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大排列依次为： a 1，a 2，a 4，a 5，a 7，a 8，…，数列 b n } 前6项为2，22，24，25．27，28，T 6＝2+4+16+32+128+256＝438．注意到a 1，a 4，a 7，…构成以a 1为首项，以8为公比的等比数列，a 2．a 5，a 8，…构成以a 2为首项，以8为公比的等比数列．T 2n ＝（a 1+a 4+a 7+⋯+a 3n ﹣2）+（a 2+a 5+a 8+⋯+a 3n ﹣1）=2(1−8n )1−8+4(1−8n)1−8 =67(8n −1)． 22．（12分）已知O 为坐标原点，A 1，A 2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积为定值−14，设动点M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，直线OE ，l ，OF 的斜率分别为k 1，k ，k 2（其中k ＞0），△OEF 的面积为S ，以OE ，OF 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1+S 2S的取值范围．解：（1）设M 的坐标为（x ，y ），依题意，得y x+2⋅y x−2=−14，整理得x 24+y 2=1(x ≠±2)． （2）设直线EF 的方程为 y ＝kx +m （m ≠0，且m ≠±1），联立{y =kx +m x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0， Δ＝64k 2m 2﹣4（4m 2﹣4）（1+4k 2）＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0，即1+4k 2＞m 2，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2， 因为k 1，k ，k 2成等比，所以y 1y 2x 1x 2=k 2，即(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 21+4k 2+m 2=0， 因为m ≠0且m ≠±1及k ＞0，上式可解得k =12， 所以x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，Δ＝16（2﹣m 2），m 2＜2，且m ≠±1，S 1+S 2=π4(|OE|2+|OF|2) =π4(x 12+y 12+x 22+y 22) =π4[2+34(x 12+x 22)]] =π4[2+34(x 1+x 2)2−32x 1x 2] =π4(2+3m 2−3m 2+3) =5π4，|EF|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅4√2−m21+4k2=2√1+k2⋅√2−m2，O到EF的距离d=|m|√1+k，S=|m|√2−m2=√(2−m2)m2=√−(m2−1)2+1，因为0＜m2＜2 且m≠±1，所以S∈（0，1），S1+S2S ∈(5π4，+∞)．。
2023-2024学年甘肃省高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a5=10，则S8=( )A. 10B. 20C. 30D. 403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为( )A. 6+42B. 7+42C. 10D. 114.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )A. 10种B. 20种C. 30种D. 40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为( )A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则( )A. a=0或a=−13B. a=−1或a=−2C. a=−1D. a=−27.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A. |PA|的最小值为2B. |PA|最小时，弦AB长为6C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D. 四边形PACB的面积最小值为38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点M，使得∠MF2F1=3∠MF1F2≠0，则双曲线C渐近线斜率的取值范围为( )A. (2,2)B. (1,3)C. (1,3]D. (−3,−1)∪(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。