振动特性
简谐振动的特性与公式
简谐振动的特性与公式简谐振动是指物体在回复力的作用下，以一个固定的角频率在平衡位置周围做往复运动的现象。
它是力学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
本文将探讨简谐振动的特性以及相关的公式。
一、简谐振动的特性1. 平衡位置与位移：简谐振动的平衡位置是物体在无外力作用下所处的位置，位移是物体相对于平衡位置的偏移量。
在简谐振动中，物体在平衡位置附近做往复运动，位移大小与方向随时间变化。
位移可以用矢量表示，方向与偏离平衡位置的方向相反。
2. 振动的周期与频率：简谐振动的周期是完成一次完整往复运动所需的时间，用符号T表示。
频率是单位时间内完成的往复运动次数，用符号f表示。
周期和频率之间存在以下关系：f=1/T。
3. 振幅与最大速度：简谐振动的振幅是位移的最大值，表示振动的幅度大小。
最大速度是物体在振动过程中达到的最大速度，与振幅相关。
振幅越大，最大速度越大。
4. 角频率与周期：角频率是简谐振动中角度随时间变化的快慢程度，用符号ω表示。
角频率与周期之间存在以下关系：ω=2πf=2π/T。
二、简谐振动的公式1. 位移与时间的关系：简谐振动的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述。
当物体从平衡位置出发向一个方向运动时，位移的函数关系可以表示为：x(t) = A * sin(ωt)，其中x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率。
2. 速度与时间的关系：简谐振动的速度随时间的变化也可以用正弦函数来描述。
速度的函数关系可以表示为：v(t) = A * ω * cos(ωt)，其中v(t)为时间t时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系：简谐振动的加速度随时间的变化同样可以用正弦函数来描述。
加速度的函数关系可以表示为：a(t) = -A * ω^2 *sin(ωt)，其中a(t)为时间t时刻的加速度。
以上公式是简谐振动中最基本的公式，通过它们可以计算出简谐振动过程中任意时刻的位移、速度和加速度。
三、应用举例简谐振动的特性与公式在实际应用中有着广泛的应用。
简谐振动的特性和应用
简谐振动的特性和应用简谐振动是一种周期性运动，即物体围绕平衡位置做往复运动，其特点在于振幅恒定、周期恒定，并且运动的速度和加速度与位移成正比。
简谐振动不仅在物理学中具有重要意义，也有广泛的应用。
一、简谐振动的特性简谐振动有以下几个主要特性：1. 振幅恒定：简谐振动的振幅是固定不变的，即物体每次运动都在一个相对稳定的范围内。
2. 周期恒定：简谐振动的周期是固定不变的，即物体在每个周期内所用的时间是相等的。
3. 速度和加速度与位移成正比：简谐振动中，物体的速度和加速度与位移成正比，且呈正弦函数关系。
即当物体位于平衡位置附近时，速度和加速度最大；当物体达到最大位移时，速度和加速度为零。
二、简谐振动的应用简谐振动不仅在物理学研究中具有重要作用，也有许多实际应用。
以下是简谐振动在不同领域的应用示例：1. 机械振动系统：简谐振动在机械振动系统中具有广泛应用。
例如，弹簧振子是一个常见的简谐振动系统，其应用于机械钟摆、悬挂桥梁和汽车悬挂系统等领域。
2. 电子学：简谐振动在电子学中的应用广泛而重要。
例如，射频电路中的谐振器使用简谐振动原理来产生特定频率的信号。
此外，电容和电感器的简谐振动用于电路中的滤波器和振荡器等。
3. 光学：简谐振动在光学领域的应用非常广泛。
例如，激光工作原理中利用了光的简谐振动性质。
此外，光谱分析、干涉仪和光学陀螺仪等器件也使用了简谐振动的原理。
4. 生物学：简谐振动的原理在生物学中也有应用。
例如，心脏的收缩和舒张可以看作是一种简谐振动，而心电图就是利用了心脏的简谐振动特性来测量心脏的电活动。
5. 地震学：地震学中的地震波也可以看作是一种简谐振动。
通过对地震波的研究，科学家可以了解地球内部的结构和性质，从而预测地震的发生。
综上所述，简谐振动作为一种周期性运动，在物理学中具有重要意义，并且在机械、电子学、光学、生物学和地震学等领域都有广泛的应用。
通过研究简谐振动的特性和应用，我们可以更好地理解自然界中的各种现象，并将其运用于工程和科学领域，推动人类社会的发展。
机械振动研究机械振动的原因特性和控制方法
机械振动研究机械振动的原因特性和控制方法机械振动研究：机械振动的原因、特性和控制方法机械振动是指机械装置在工作过程中产生的波动现象，它会影响机械设备的正常运行和寿命。
本文将探讨机械振动的原因、特性以及一些常用的控制方法。
一、机械振动的原因1. 不平衡：机械设备中存在的不平衡质量会导致振动。
比如旋转部件的质量分布不均匀，转子中心轴偏离几何中心等。
2. 轴承问题：轴承的损坏、磨损或不良安装都可能引起机械振动。
轴承的故障会导致旋转部件的不规则运动，进而引起振动。
3. 动力装置问题：能源输入装置（如电机）的问题可能导致机械振动。
比如电机在转子动平衡或接线不良的情况下会引发振动。
4. 摩擦与间隙：摩擦力和间隙会导致机械部件的不稳定运动，产生振动。
此外，润滑不良也可能触发机械振动。
5. 外界激励：机械设备所处的工作环境也可能成为外界激励的源头。
例如，设备周围的振动源、流体力学问题或地震等都可引发机械振动。
二、机械振动的特性1. 振动的频率：振动的频率是指单位时间内振动的次数。
机械振动的频率通常以赫兹（Hz）为单位进行测量。
2. 振动的幅值：振动的幅值是指振动过程中的最大偏移距离或最大速度。
它可以用来描述振动的强度。
3. 振动的相位：振动的相位是指振动过程中的位置关系。
它可以描述不同振动源的相对运动状态。
4. 振动的频谱：机械振动的频谱是指将振动信号在频域上的表示方法。
通过分析振动频谱可以得到振动源的特性和故障信息。
三、机械振动的控制方法1. 动平衡技术：对于不平衡产生的振动问题，可以通过动平衡技术来解决。
动平衡是利用平衡机或振动仪等设备，在设备运行时进行动态平衡调整，使设备达到平衡状态。
2. 轴承维护与保养：定期对轴承进行维护和保养，包括润滑、紧固、检修等，可以减少机械振动的发生。
3. 振动隔离技术：通过使用减振器、隔振垫等装置来减小振动的传导和辐射，降低机械设备对周围环境的振动影响。
4. 减少摩擦与间隙：优化机械组件的设计和加工工艺，减小摩擦力和间隙，从根本上减少振动产生。
物体的振动了解谐振和周期振动的特性
物体的振动了解谐振和周期振动的特性振动是指物体在平衡位置附近以某种规律来回摆动或振荡的运动。
在物理学中，振动包括谐振和周期振动两种不同的特性。
本文将探讨物体振动的特性、谐振和周期振动的概念以及它们的区别和应用。
一、物体振动的特性物体振动的特性可以通过以下几个方面来描述：1. 振幅：振幅是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。
振幅越大，说明物体振动的幅度越大。
2. 周期：周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期的倒数称为频率，表示每秒钟完成几次振动。
周期和频率是振动的基本特征参数。
3. 频率：频率和周期是互相关联的，频率越高表示单位时间内完成的振动次数越多，周期越短。
4. 相位：相位是指物体振动在某个特定时间点的状态。
相位差是指两个物体振动在同一时间点的状态差异。
5. 阻尼：阻尼是指振动系统受到的阻力或摩擦力导致振动逐渐减弱的现象。
强阻尼会使振动停止，而弱阻尼则使振动逐渐减小。
二、谐振的特性谐振是指自由振动系统在外界作用下，通过一种特殊的激励而产生的共振现象。
谐振具有以下几个特点：1. 共振频率：当外界作用频率与振动系统固有频率相等时，振动系统达到共振状态。
共振频率取决于系统本身的固有特性。
2. 能量传递：在共振状态下，能量会在振动系统中达到最大值，而在其他频率下几乎不传递能量。
3. 加速度最大：振动系统在共振状态下，加速度达到最大值，使物体做最大幅度的振动。
4. 宽频带：谐振并不是仅在一个准确的频率下才发生，而是在一个频率带内都会出现谐振现象。
谐振的应用广泛，例如音乐乐器共振、电路中的谐振电路以及桥梁和建筑物的共振等。
在这些应用中，控制和利用谐振特性对于系统性能的提高至关重要。
三、周期振动的特性周期振动是指物体按照恒定的周期进行振荡的现象。
周期振动的特性主要包括以下几个方面：1. 周期恒定：在周期振动中，物体的振动周期保持不变。
无论振幅大小如何，周期都始终保持一致。
2. 振幅变化：周期振动中，物体的振幅会随时间变化，但周期保持不变。
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性在工程力学中，振动是一个重要的研究领域。
振动被广泛应用于各种工程中，包括建筑结构、机械系统以及电子设备等。
振动可以分为自由振动和强迫振动两种类型。
本文将讨论自由振动和强迫振动的特性以及它们在工程中的应用。
一、自由振动的特性自由振动是指在没有外界干扰的情况下，结构或系统在其固有频率下进行的振动。
自由振动的特性主要包括振幅、周期、频率和阻尼等。
1. 振幅振幅是指振动的最大偏离量。
在自由振动中，振幅受到初始条件的影响，振幅越大，振动的能量也就越大。
2. 周期周期是指振动完成一个完整循环所需的时间。
自由振动的周期与结构的固有频率有关，固有频率越高，周期越短。
3. 频率频率是指振动单位时间内完成的循环次数。
频率是周期的倒数，用赫兹（Hz）表示。
自由振动的频率与周期相反，固有频率越高，频率越大。
4. 阻尼阻尼是指振动过程中能量的消耗。
在自由振动中，存在三种类型的阻尼：无阻尼、过阻尼和欠阻尼。
无阻尼振动指没有能量损耗的理想振动；过阻尼振动是指能量损耗过大，振动停止得很慢；欠阻尼振动是指振动的能量损耗较小，但是在振动停止时存在振荡。
二、强迫振动的特性强迫振动是指受到外界周期性力作用下的振动。
外界力的频率通常不等于结构的固有频率，因此会引发结构的共振。
强迫振动的特性主要包括固有频率、共振和受迫振动等。
1. 固有频率固有频率指的是结构或系统在自由振动状态下的固有频率。
在强迫振动中，结构的固有频率决定了其对外界激励的响应。
2. 共振共振是指外界力的频率与结构的固有频率相等或接近，导致结构振幅迅速增大的现象。
共振现象对于某些结构来说是有害的，因为会导致结构破坏或崩溃。
3. 受迫振动受迫振动是指在强迫振动中，结构受到外界激励而发生的振动。
外界激励可以是周期性的力或者者是其他形式的周期性变量。
三、自由振动和强迫振动在工程中的应用自由振动和强迫振动在工程中有着广泛的应用。
1. 自由振动的应用自由振动的研究可以用于建立结构的固有频率，通过调节结构的初始条件和强度来影响振动的特性。
工程力学中的振动特性如何分析？
工程力学中的振动特性如何分析？在工程力学的领域中，振动特性的分析是一项至关重要的任务。
振动现象广泛存在于各种工程结构和机械系统中，如桥梁、飞机机翼、汽车发动机等。
深入理解和准确分析振动特性，对于确保工程结构的安全性、可靠性以及优化其性能具有不可忽视的意义。
要分析工程力学中的振动特性，首先需要明确什么是振动。
简单来说，振动就是物体在平衡位置附近的往复运动。
这种运动可以是周期性的，也可以是非周期性的。
而振动特性则包括振动的频率、振幅、相位、振型等关键参数。
频率是振动特性中最为基本的参数之一。
它表示单位时间内振动的次数，通常以赫兹（Hz）为单位。
在实际工程中，通过测量振动的周期（完成一次振动所需的时间），可以计算出振动的频率。
例如，对于一个周期为 01 秒的振动，其频率为 10 赫兹。
不同的工程结构和机械系统往往具有特定的固有频率，当外界激励的频率接近或等于固有频率时，就可能发生共振现象，导致振动幅度急剧增大，从而对结构造成严重破坏。
振幅则反映了振动的强度大小。
它是物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离。
较大的振幅可能意味着振动能量较高，对结构的疲劳寿命和稳定性产生不利影响。
相位描述了不同振动点之间在时间上的相对关系。
通过分析相位，可以了解振动在空间和时间上的传播规律。
振型则是指结构在特定频率下振动的形态。
它反映了结构各部分振动的相对幅度和方向。
那么，如何对这些振动特性进行分析呢？常见的方法有理论分析、实验测量和数值模拟。
理论分析是基于力学原理和数学模型来推导振动特性。
例如，对于简单的单自由度振动系统，可以利用牛顿第二定律建立运动方程，然后求解得到振动频率和振型等特性。
对于复杂的多自由度系统，则可以通过矩阵分析等方法进行求解。
理论分析的优点是能够提供精确的解析解，但对于复杂的实际结构，往往难以建立准确的数学模型。
实验测量是通过各种传感器和测试设备直接获取振动数据。
常用的传感器包括加速度传感器、位移传感器等。
机械振动基本概念与特性
机械振动基本概念与特性一、引言机械振动是指物体在作用力下发生周期性的来回运动。
它是机械工程中的重要研究领域，对于设计和优化机械系统具有重要意义。
本文将介绍机械振动的基本概念与特性，以帮助读者更好地理解和应用振动学知识。
二、振动的基本概念1. 振动的定义振动是指物体相对于平衡位置以一定频率和幅度进行的周期性来回运动。
振动的频率表示单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
振动的幅度则表示物体离开平衡位置的最大偏移量。
2. 振动的周期与频率振动的周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，通常用秒（s）来表示。
频率则是指单位时间内振动的次数，其倒数即为周期的倒数。
频率和周期之间的关系可以用公式f=1/T表示，其中f表示频率，T表示周期。
3. 振动的幅度与振幅振动的幅度是指物体相对于平衡位置的最大偏移量。
振幅则是指振动的幅度的绝对值，即振动的最大偏移量的正值。
三、振动的特性1. 振动的阻尼振动的阻尼是指振动系统受到的阻力或摩擦力的影响，导致振动能量逐渐减小。
阻尼可以分为无阻尼、欠阻尼和过阻尼三种情况。
无阻尼指振动系统没有受到任何阻力或摩擦力的影响，振动能量保持不变。
欠阻尼指振动系统受到一定阻力或摩擦力的影响，但振动能量仍然保持在一定范围内。
过阻尼指振动系统受到较大的阻力或摩擦力的影响，振动能量迅速减小，振动过程较为缓慢。
2. 振动的共振共振是指振动系统在受到外力作用下，振幅不断增大的现象。
当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，共振现象最为明显。
共振可以使振动系统的能量传递更加高效，但也可能导致系统的破坏。
3. 振动的谐振谐振是指振动系统在受到外力作用下，振幅达到最大的状态。
当外力的频率与系统的固有频率完全相等时，谐振现象最为明显。
谐振可以使振动系统的能量传递更加高效，但也可能导致系统的破坏。
四、应用与展望机械振动的研究在许多领域都有重要的应用，如机械工程、航空航天、汽车工程等。
通过对振动特性的研究，可以优化机械系统的设计，提高系统的稳定性和工作效率。
简谐振动的特性与公式推导
简谐振动的特性与公式推导简谐振动是指一个物体在受到一个恢复力作用下，沿着某一方向以往复运动的现象。
下面将介绍简谐振动的特性以及相关的公式推导。
1. 简谐振动的定义及特性简谐振动的定义是指物体的运动是沿着某一方向，且回复力与物体的位移成正比的振动。
它具有以下几个特性：（1）周期性：简谐振动的运动是周期性的，即物体的位移随时间呈现一定的重复模式。
（2）恢复力的方向：简谐振动的恢复力与物体的位移方向相反。
当物体偏离平衡位置时，恢复力将会把物体拉回到平衡位置。
（3）振幅和频率：振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大位移量；频率是指单位时间内振动的次数。
振幅和频率决定了简谐振动的振动幅度大小和快慢。
2. 简谐振动的数学描述简谐振动可以用一个数学函数来描述，即正弦函数或余弦函数。
设物体的位移为x，时间为t，振动的周期为T，振幅为A，则简谐振动可以用以下函数表示：x = A*cos(2πt/T)这个函数描述了物体随时间变化的位移。
振幅A决定了物体振动的最大位移量，而周期T决定了振动完成一次的时间。
3. 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到。
设物体的质量为m，受到的恢复力与位移成正比，比例常数为k，则根据牛顿第二定律可以得到如下的运动方程：F = -kx其中，F 表示恢复力， x 表示位移。
由于恢复力与位移方向相反，所以加了负号。
结合牛顿第二定律 F = ma，可以得到：ma = -kx进一步化简为：m(d²x/dt²) = -kx这是简谐振动的运动方程。
4. 简谐振动的周期和频率由于简谐振动的运动方程是一个二阶微分方程，其通解为 x =A*cos(ωt + φ)，其中ω = √(k/m) 是角频率，φ 是初相位。
根据周期的定义，我们可以得到简谐振动的周期与角频率的关系：T = 2π/ω而频率 f 是周期的倒数，即：f = 1/T = ω/2π这个公式表明，角频率和频率由弹性系数 k 和质量 m 决定，而与振幅 A 无关。
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汽轮发电机组振动特性及处理对策——云南电力试验研究院（集团）公司穆钢前言汽轮发电机组振动状况对于机组的安全运行有至关重大的影响，轻则产生噪音（旋转机械的谐波干扰），影响机组的安全使用寿命；重则破坏机组的正常运行，损坏机组部件危及安全生产；更为严重者，可能会造成整个机组的灾难性破坏。
汽轮发电机组振动状况是国家综合工业实力的表征；机械制造技术水平的重要标志；发电企业生产管理水平的重要体现。
汽轮发电机组振动处理经历过三个阶段：原始型-经验型-故障诊断型。
汽轮发电机组振动是一项复杂的工程技术问题，其难点在于：同一振动现象，所产生的原因却各不相同，就当代的技术水平而言，还不能确定机组振动在现象-产生原因-处理措施三个方面完全意义上的一一对应关系；同一振动原因对于不同的机组，处理对策却各不相同。
汽轮发电机组各种各样的振动原因，可归纳为三个方面的问题（1）干扰力和干扰力矩的作用；（2）轴承油膜的不稳定和汽隙中的压力不稳定；（3）转子-轴承-基础系统中，支承系统的弹性变形和不稳定性。
在分析、处理机组振动故障的过程中，能否正确判断影响机组振动诸因素中的关键因素是属于哪一个方面的问题，是否有一个正确的原则性判论，是成功的处理机组振动故障的关键之所在。
转子振动的基本特性一、临界转速与转子固有频率相对应的转速，称为转子的临界转速。
数学表达式：ω= √K / MK：转子的刚度；M：转子的质量。
表达式表明：转子的结构和质量决定之后，其自由振动的固有频率就确定了，转子有一系列的固有频率，同理，转子就有一系列的临界转速。
二、共振转子以转速n旋转时，由于不平衡质量所产生的惯性离心力也以转速n的频率施加于转子本身，使转子受到周期性的干扰力。
当干扰力对转子的作用频率与转子的固有振动频率相同时，即ω =ωn ，称为共振。
机组发生共振时，振幅激剧增加振动强烈，当改变转速时，共振引起的振动将随之减小或消失。
工作转速避开共振转速的安全裕量：柔性转子 1.4 n1< n < 0.7n2 ;刚性转子 n1=（1.25～1.8）n 。
三、正进动、反进动考虑静弯曲（偏心矩e）时的单轮盘转子在x、y方向上的振动微分方程式：M d2x+kxx = Meω2 cosωt dt2M d2y+kyx = Meω2 sinωt dt2上式是二阶非齐次方程，其通解为：x=c1cosω1t+c2sinω1t+Axcosωty=c1sinω1t+c2cosω1t+Aysinωt式中的前二项是对应齐次方程（无阻尼情况下）的通解，在有阻尼情况下，这二项将迅速消失，在外干扰力作用下的振动，实际上只有第三项，即:x = A x cosωty = A y sin ωt将x 和y 代入微分方程，解得：如果x 、y 方向的刚度相同，则A X = A y ，于是有：可见，轮盘中心点（S ）的运动轨迹是一个圆，圆心在坐标原点0，圆的半径为：A x =Me ω2K x 一M ω2A y =Me ω2K y 一M ω2x =Me ω2cos ωtK 一M ω2y =Me ω2sin ωtK 一M ω2r = √x 2+y 2 = AA =Me ω2K 一M ω2转子的运动实际上可以看成两种运动的合成：一是轮盘绕其轴心（S ）等速转动，角速度ω；另一是轮盘中心（S ）点又绕其静平衡时的位置0点作圆周运动，矢量OS 的转动角速度也为ω。
上述结论建立了二个重要概念：一是由于偏心离心力的作用，轴被弯成固定的弯弓形状，就象弓绕其弦转动一样称为弓状迴转运动，这样的运动也称为涡动。
二是在转子旋转时，轴及轮盘以角速度ω绕其轴线旋转，这一轴线是转子弹性曲线的切线，而旋转着的弹性曲线在横截面处的位移轨迹，可以是圆，也可以是椭圆。
正进动：弹性曲线以与轮盘相同的角速度和相同的方向旋转，称为正进动。
反进动：弹性曲线以与轮盘相同的角速度旋转，但旋转方向相反，称为反进动。
四、振动位移、速度、加速度振动位移：物体振动时的瞬态幅值大小（通常用x 表示）；振动速度：单位时间内物体振动时的瞬态幅值大小（通常用v 表示）； 振动加速度：单位时间内物体振动速度的变化率（通常用a 表示）。
数学表达式：x = A 0 cos ωt五、幅频特性从微分方程的推导可知：V =dx = A 0ω cos(ωt+π/2)dta =dV = A 0ω2cos(ωt+π)dtA =Meω2=e (ω2 / KM)=e ( ω2ω12)K一Mω21-(ω2/ KM) 1-( ω2ω12)上式表达的几个极重要的概念，即转子的幅频特性。
幅频特性：（1）e ↘→ A ↘机组做动平衡的意义；（2）ω→ω1时，A ↑；（3）ω=ω1时，A→∞共振的危险；（4）ω>ω1之后，A ↘（逐渐减小），最后→ e , 即振幅放大系数β=A / e= -1，转子自动定心，运转趋于平稳，这是挠性转子可靠运转的原理，也是高频干扰力对于固有频率很低的振动系统，实际上不产生强迫振动的道理。
（5）ω<ω1时，干扰力与振动位移是同方向；（6）ω>ω1时，干扰力与振动位移是反方向，也就是说，在转速变化过程中，偏心激振力和振动位移的相差有一突变。
幅频特性曲线：βω/ω1六、共振方程ω=ω1时，方程式M d2x+kxx = Meω2 cosωt dt2变为：d2x+ω12 x = eω12 cosωt (1)dt2特解：x = At cos( ω1t + a )将其代入方程式（1），求得满足方程式（1）的A和a:A = e ω1/ 2 ； a = -π/2 .于是，得到方程式（1）的特解：x = e ω1 t cos( ω1t +π/2) / 2上式称为共振方程，其意义：（1）共振时，振幅是随时间t的延续而增大的，不论e多么小（干扰力多么小），机组在共振转速停留是很危险的。
（2）在启动机组时，当升速到接近临界转速时，应加快增速，在临界转速附近应很快冲过。
这样，转子的振幅还来不及增大就已超过临界转速，使转子进入自动定心的平稳运行过程。
（3）解释了实测临界转速高于计算临界转速的原因。
（4）解释了现场对同一台机组多次实测临界转速，在数值上存在着差别的七、阻尼力、机械滞后角、相频特性阻尼对转子振动的影响：转子振动时，通常存在着各种阻碍运动的阻力，这些阻力称为阻尼，它对转子振动起着衰减和抑制作用。
阻尼有不同的来源，如：（1）干摩擦；（2）材料内摩擦；（3）粘滞阻尼。
只有在粘滞阻尼下的強迫振动才是简谐运动，才可用简单的数学方程作详细分析。
单自由度有阻尼強迫振动的微分方程式：M d2x=-kx- cdx+Meω2cosωt dt2dt（惯性力、阻尼力和弹性恢复力与偏心不平衡离心力相平衡构成稳定系统。
）d2x= - kX -c*dx+eω2cosωtdt2M M dt令：2D=C/M ; ω12 = K/M式中：C: 阻尼比例系数，它表示速度为1个单位时所受到阻力的大小，用公斤.秒/厘米表示。
D：阻尼系数，表示单位时间内能量消耗率之一半。
微分方程由下式所代替：d2x+2D dx+ω12 x = eω2cosωt （1）dt2dt上式微分方程的通解，应是本微分方程的一个特解与下列齐次方程通解的化数和。
d2x+2D dx+ω12 x = 0 （2）dt2dt在有阻尼的情况下，齐次方程（2）式的通解将会消失，只剰下方程（1）式的特解这一部分，特解：x = A COS(ωt - φ) 将x 带入微分方程解得：A =eω2ω12[ ( 1-ω2)2 + 4 D2ω2]1/2ω12ω14φ = tg-1 (2Dω2)ω121-ω2ω12tgφ =2Dω2ω12 -ω2A：振动过程中的实际最大振幅；φ：机械滞后角，它表示机械振动中，由于惯性效应的存在，振幅（位移）始终滞后于引起振动的扰动力F一个角度，该角度和振动系的自振频率、ω/ω1的比值及系统的阻尼有关。
分析A的数学表达式，可得出如下结论：共振时，ω=ω1，共振振幅是 A = e / (2D/ω1)= e /2 rc, rc=D/ω1称为相对阻尼系数，在有阻尼的情况下，转子在共振转速时，其振幅不是无穷大，而是一有限值。
相频特性：（1）ω<ω时，φ的变化范围在0—900之间（tgφ为正）；1（2）ω=ω1时，φ = 90O（tgφ为∞）；（3）ω>ω1时，φ的变化范围在900—1800之间（tgφ为负）。
相频特性曲线：ππ/ω/ωn（φ-ω/ωn 关系曲线）D：阻尼系数，表示单位时间内能量消耗率之一半。
φ-ω/ωn 关系曲线表明：ω<ωn D大—φ大；ω=ωn φ与D无关；ω>ωn D大—φ小或D小—φ大。
做平衡时：重型机组D大（一般设计为16），φ取小点；轻型机组D小，φ取小点。
注：D是状态参数，是一个变量，将系统阻尼D作为非线性影响因素之一分析考虑，就不难解释影响系数对同一台机组都不能通用，更不用说对同型机组通用的原因。
八、力平衡、旋转矢量平面汇交力系：各力作用线位于同一平面，且汇交于一点。
平面汇交力系平衡的几何条件：力之多边形成闭合ΣF=0，或闭合积分为0。
力平衡：按平面汇交力系力平衡条件建立的微分方程式——惯性力（Mω2x）、弹性恢复力（kx）、阻尼力（cωx）与由于偏心矩的存在而产生的不平衡离心力（F= Me ω2）相平衡，即、稳定振动系统的力平衡条件，否则就是一个发散系统。
旋转矢量：位移、速度、加速度的图形表示 x ω2xωx(1)ω < ω12= x * k/M∵ xω2 < x ω1∴ Mω2x < xk2x Kx FCωMω2x(2) ω = ω12x∵ Mω2x = Mω12x = Mx*k/M = Mω2x∴ Kx = Mω1F Kx FCωxω2x Mωx(3) ω > ω1显然 M ω2x > kx = M ω12xFKxM ω2M ω2八、阻力特性（阻力对振动的影响）A =eω2ω12 [ ( 1-ω2)2 + 4 D 2ω2 ]1/2ω12ω14β=1 [ ( 1-ω2 )2 + 4 r c 2ω2 ]1/2ω12ω12r c ：相对阻尼系数。
式中： D 2 = r c 2ω12微分方程特解：x = A COS (ωt - φ) x =βA 0 COS (ωt - φ)β: 振动过程中的振幅放大系数（β=A/A 0）。
A 0 = eω2=Me ω2ω12kA：转轴在偏心离心力F= Meω2作用下的静挠度。
分析β得知：ω/ω1很小时，β→ 1；ω/ω1很大时，β→ 0；ω/ω1→ 1时，β↑↑，此时阻尼对β的影响很大，随着rc→0，β→∞。
βω/ωn阻尼特性：（1）ω << ω1 和ω>>ω1时，阻尼对振动的影响都很小。